Analízis 1

Alapderiváltak

Mit mér a derivált, és melyik függvénynek mi a deriváltja: a differenciahányadostól az alapderiváltak táblázatáig.

9 perc olvasás

1. Mit jelent a derivált egy függvénynél?

A derivált egyetlen kérdésre felel: milyen gyorsan változik a függvény egy adott pontban. Sok más feladattípus (az érintő, a szélsőérték, a függvényvizsgálat) erre épül.

Induljunk ki abból, amit meg tudunk mérni. Két pont között az átlagos változás a differenciahányados: mennyit változott a függvényérték, osztva azzal, hogy mennyit léptünk közben az x tengelyen. Ha a lépést egyre kisebbre vesszük, és ennek van véges határértéke, akkor ez a határérték a pillanatnyi változás.

A derivált definíciója

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

A függvény differenciálható az $x_0$ pontban, ha ez a határérték létezik és véges. A jelölés többféle lehet: $f'(x)$ , $\frac{df}{dx}$ , $\dot{f}(t)$ , de mind ugyanezt jelenti.

Egy egyszerű példa: a definíció használata

Számoljuk ki az $f(x)=x^{2}$ deriváltját az $x_0=1$ pontban közvetlenül a definícióból. A differenciahányados $\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , és ha az $x$ 1-hez tart, ez 2-höz. Tehát $f'(1)=2$ : a parabola az 1-nél pontosan kétszer olyan gyorsan emelkedik, mint amennyit jobbra lépünk. A lenti táblázat ugyanezt adja egy lépésben: $(x^{2})'=2x$ , és $2\cdot 1=2$ .

Az előző összefüggés megértése után fel tudjuk írni az adott pontbeli érintőt (szintén gyakori vizsgafeladat) a derivált függvény segítségével.

Az érintő egyenlete

y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0)

Egy egyszerű példa: érintő a parabolához

Maradjunk az $f(x)=x^{2}$ függvénynél és az $x_0=1$ pontnál. Két szám kell: $f(1)=1$ és az imént kiszámolt $f'(1)=2$ . Beírva a képletbe: $y=1+2(x-1)=2x-1$ . Ellenőrizd: az $x=1$ helyen az egyenes is 1-et ad, tehát tényleg átmegy az érintési ponton, és a meredeksége 2.

Differenciálhatóság és folytonosság

Ha egy függvény differenciálható egy pontban, akkor ott folytonos is. Fordítva nem igaz: $f(x)=|x|$ a 0-ban folytonos, de a bal és jobb oldali differenciahányados határértéke $-1$ és $1$ , tehát a derivált nem létezik. A grafikon töréspontjában és a függőleges érintőnél nincs derivált.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az alapderiváltak

Az alábbiakban összeszedtem Neked a deriválás alapszabályait. Ezeket érdemes először alaposan begyakorolni, mielőtt áttérünk a bonyolultabb összefüggésekre.

f(x)	f′(x)	Megjegyzés
$c$	$0$	c tetszőleges konstans
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	minden valós n kitevőre
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	x > 0
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^{2}}$	x ≠ 0
$e^{x}$	$e^{x}$	önmaga deriváltja
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	a > 0, a ≠ 1
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	x > 0
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$	x > 0, a > 0, a ≠ 1
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^{2} x}$	x ≠ π/2 + kπ
$\operatorname{ctg} x$	$-\dfrac{1}{\sin^{2} x}$	x ≠ kπ
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	\|x\| < 1
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	\|x\| < 1
$\operatorname{arctg} x$	$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	minden valós x-re
$\operatorname{sh} x$	$\operatorname{ch} x$	hiperbolikus szinusz
$\operatorname{ch} x$	$\operatorname{sh} x$	itt nincs mínusz, mint a sima sinusnál

Egy egyszerű példa: három sor a táblázatból

A táblázat használata tényleg csak kikeresés. Az $x^{5}$ deriváltja a hatványszabály szerint $5x^{4}$ : a kitevő előre jön, és eggyel csökken. Az $e^{x}$ deriváltja önmaga, az $e^{x}$ . A $\sin x$ deriváltja $\cos x$ , mínusz nélkül; a mínusz a $\cos x$ deriválásánál jön be. Ha ezt a három sort magabiztosan tudod, a következő leckében ezeket fogjuk összerakni bonyolultabb függvényekké.

A hatványszabály mindent lefed, aminek x az alapja

A $(x^n)'=n\,x^{n-1}$ szabály nem csak egész kitevőkre igaz. A gyököt és a törtet is érdemes előbb hatványba átírni, mert utána egy lépés az egész: $\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}$ , tehát a deriváltja $\tfrac{2}{3}x^{-1/3}$ ; illetve $\frac{1}{x^{4}}=x^{-4}$ , tehát a deriváltja $-4x^{-5}$ .

3. Tipikus hibák

A konstans elfelejtése. $(3x^{4})'=12x^{3}$ , nem $4x^{3}$ : a konstans szorzó végig ott marad.
A hatványszabály exponenciális függvényre. $(2^{x})'$ nem $x\cdot 2^{x-1}$ , hanem $2^{x}\ln 2$ . Ha a kitevőben van az $x$ , exponenciális szabály kell, nem hatványszabály.
Deriválás a definíciós tartomány ellenőrzése nélkül. $(\ln x)'=\tfrac{1}{x}$ csak $x>0$ esetén; a képlet önmagában nem figyelmeztet arra, hol nincs értelmezve a függvény.
Összekeverjük a deriváltfüggvényt a pontbeli deriválttal. $f'(x)$ egy függvény, $f'(3)$ egy szám. Az érintő egyenletéhez az utóbbi kell: előbb deriválunk, utána helyettesítünk.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)