Sorozatok: alapfogalmak

1. Mi az a sorozat?

A sorozat nem más, mint egy függvény, aminek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Ahelyett, hogy $f(n)$ -et írnánk, alsó indexet használunk: $a_n$ . Ez az n-edik tag, maga a sorozat pedig $(a_n)$ .

Két szokásos megadási mód van, és érdemes mindkettőt felismerni:

Explicit képlettel, amikor az n-edik tag közvetlenül kiszámolható: $a_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$ . Ha kell a századik tag, behelyettesítesz, és kész.
Rekurzióval, amikor egy tag az előzőből adódik: $a_1=1$ , $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ . Itt a századik taghoz elvileg végig kell menni az összes előzőn, ezért az ilyen sorozatoknál más eszközökre lesz szükség.

A sorozatok egyetlen igazán érdekes kérdése az, hogy mi történik velük hosszú távon: beállnak-e egy értékre, elszállnak-e, vagy örökké ugrálnak. Az alábbi három fogalom, a monotonitás, a korlátosság és a konvergencia, pontosan ezt írja le.

2. Monotonitás

Egy sorozat monoton növő, ha egyetlen tag sem kisebb az előzőnél, és monoton csökkenő, ha egyetlen tag sem nagyobb nála. Ha az egyenlőséget is kizárjuk, akkor szigorúan monoton.

Monotonitás

a_{n+1}\ge a_n \ \ (\forall n) \qquad\text{vagy}\qquad a_{n+1}\le a_n \ \ (\forall n)

A vizsgálatra két bevált eljárás van, és mindig az egyszerűbbet érdemes választani:

Különbségképzés: nézd meg az $a_{n+1}-a_n$ előjelét. Ha ez minden n-re pozitív, a sorozat szigorúan növő. Ez az alapértelmezett módszer.
Hányadosképzés: ha minden tag pozitív, elég az $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ hányadost 1-hez hasonlítani. Faktoriálisnál és hatványnál ez sokkal kényelmesebb, mert rengeteg minden kiesik.

Példa: különbségképzés

Legyen $a_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$ . Írjuk fel a különbséget közös nevezőre hozva:

a_{n+1}-a_n=\frac{2n+3}{n+4}-\frac{2n+1}{n+3}=\frac{(2n+3)(n+3)-(2n+1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}

A számlálóban $2n^2+9n+9$ és $2n^2+9n+4$ áll, a különbségük 5:

a_{n+1}-a_n=\frac{5}{(n+4)(n+3)}>0

A nevező minden pozitív n-re pozitív, tehát a sorozat szigorúan monoton növő.

Példa: hányadosképzés

Legyen $a_n=\dfrac{3^n}{n!}$ . Itt a különbség reménytelen, a hányados viszont majdnem magától adódik:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^{n}}=\frac{3}{n+1}

Ez $n=1$ és $n=2$ esetén 1-nél nagyobb, $n\ge 3$ esetén viszont már kisebb. A sorozat tehát az első pár tagon még nő, azután szigorúan csökkenő. Ez teljesen rendben van: a monotonitást elég egy indextől kezdve megkövetelni, a határérték szempontjából az első néhány tag soha nem számít.

3. Korlátosság

A sorozat felülről korlátos, ha van olyan $M$ szám, amit egyik tag sem lép át, és alulról korlátos, ha van olyan $K$ , ami alá egyik tag sem megy. Ha mindkettő teljesül, a sorozat korlátos.

Korlátosság

K\le a_n\le M \ \ (\forall n) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \exists\,C>0:\ |a_n|\le C

Példa: korlát keresése átalakítással

Maradjunk az $a_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$ sorozatnál. A korlátok nem látszanak rajta, ezért alakítsuk át úgy, hogy az n csak egy helyen szerepeljen:

a_n=\frac{2n+1}{n+3}=\frac{2(n+3)-5}{n+3}=2-\frac{5}{n+3}

Innen minden leolvasható. A kivont tag pozitív, tehát $a_n<2$ : a 2 felső korlát. Ahogy n nő, a kivont tag csökken, tehát a legkisebb tag az első: $a_1=\tfrac{3}{4}$ . Összesen:

\frac{3}{4}\le a_n<2

Ez a „szerepeljen az n csak egy helyen” átalakítás a sorozatos feladatok egyik legjobban megtérülő fogása, érdemes rászokni.

A korlát nem határérték

Abból, hogy $a_n<2$ , még egyáltalán nem következik, hogy a határérték 2. Az $a_n=1-\frac{1}{n}$ sorozat is 2 alatt marad, a határértéke mégis 1. A felső korlát csak annyit mond, hogy a sorozat nem megy fölé; hogy odáig el is jut-e, az külön kérdés.

4. A konvergencia definíciója

Eddig szemléletesen beszéltünk arról, hogy egy sorozat „tart valamihez”. A pontos definíció ezt teszi ellenőrizhetővé.

Konvergencia

\lim_{n\to\infty}a_n=A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\ \ \exists N\ \ \forall n>N:\ |a_n-A|<\varepsilon

Olvasd el még egyszer, de most a jelentésére figyelve: bármilyen szűk sávot rajzolsz az $A$ köré, a sorozatnak előbb-utóbb be kell mennie ebbe a sávba, és bent is kell maradnia. Az „előbb-utóbb” a lényeg: véges sok tag akárhol lehet, azok nem számítanak.

Az N függ az epszilontól

Ez a definíció leggyakrabban félreértett része. Szűkebb sávhoz (kisebb $\varepsilon$ ) általában későbbi indextől (nagyobb $N$ ) teljesül a feltétel. Ezért írjuk a kvantorokat ebben a sorrendben: előbb jön az epszilon, és csak utána keresünk hozzá N-et.

Példa: a definíció használata

Igazoljuk, hogy $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n+3}=2$ . A korábbi átalakítás miatt a távolság pontosan ismert:

|a_n-2|=\left|2-\frac{5}{n+3}-2\right|=\frac{5}{n+3}

Ez akkor kisebb egy adott epszilonnál, ha

\frac{5}{n+3}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n+3>\frac{5}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{5}{\varepsilon}-3

Tehát $N=\left\lceil \frac{5}{\varepsilon}-3\right\rceil$ megfelel: minden ennél nagyobb indexre a tagok 2-től epszilonnál közelebb vannak. Például $\varepsilon=0{,}01$ esetén $N=497$ .

5. Divergencia: nem minden sorozatnak van határértéke

Ami nem konvergens, az divergens. Ezen belül két lényegesen különböző eset van, és a dolgozatokban érdemes megnevezni, melyikről van szó.

Végtelenhez tart. Bármilyen nagy korlátot adsz meg, a sorozat egy idő után tartósan fölé megy: $a_n=n^2$ . Ilyenkor azt írjuk, hogy $\lim a_n=\infty$ , de a sorozat nem konvergens: a konvergencia véges határértéket jelent.
Oszcillál. Nincs semmilyen határérték, még végtelen sem: $a_n=(-1)^n$ örökké a $-1$ és az $1$ között ugrál, és soha nem marad bent egyetlen szűk sávban sem.

A váltakozó előjel önmagában nem baj

Az $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ sorozat tagjai felváltva pozitívak és negatívak, a sorozat mégis konvergens, a határértéke 0: a lengés amplitúdója nullához tart. A divergenciát nem az előjelváltás okozza, hanem az, ha a lengés nem csillapodik.

Egy fontos egyirányú kapcsolat: minden konvergens sorozat korlátos. Ez kényelmes cáfoló eszköz, hiszen ha egy sorozat nem korlátos, akkor biztosan nem konvergens. Visszafelé viszont nem igaz: az $(-1)^n$ korlátos, mégsem konvergens.

6. A monoton és korlátos sorozatok tétele

Ez a témakör legfontosabb tétele, mert olyankor is bizonyít konvergenciát, amikor a határértéket nem is ismerjük.

Monoton konvergencia tétel

(a_n) \ \text{monoton} \ \ \wedge\ \ (a_n)\ \text{korlátos} \ \ \Longrightarrow\ \ (a_n)\ \text{konvergens}

Szemléletesen: egy növő sorozat vagy elszáll a végtelenbe, vagy nekifeszül egy felső korlátnak. Ha van felső korlát, akkor az elszállás ki van zárva, tehát csak a beállás marad. A határérték ilyenkor a felső korlátok legkisebbike.

Példa: rekurzív sorozat

Legyen $a_1=1$ és $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ . Itt nincs explicit képlet, mégis eldönthető a kérdés:

Korlátosság. Teljes indukcióval $a_n<2$ : igaz $n=1$ -re, és ha $a_n<2$ , akkor $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{4}=2$ .
Monotonitás. $a_{n+1}>a_n \iff \sqrt{2+a_n}>a_n \iff 2+a_n>a_n^2$ , ami $0<a_n<2$ mellett teljesül. A sorozat tehát szigorúan növő.
Következtetés. Monoton és korlátos, tehát konvergens. Jelöljük a határértéket $A$ -val.
A határérték kiszámítása. A rekurzió mindkét oldalán határértéket véve $A=\sqrt{2+A}$ , innen $A^2-A-2=0$ , vagyis $A=2$ vagy $A=-1$ . A tagok pozitívak, tehát $A=2$ .

A negyedik lépés csak a harmadik után jöhet

A $A=\sqrt{2+A}$ egyenlet felírása feltételezi, hogy a határérték létezik. Ha ezt nem igazoltad előtte, a számolás értelmetlen eredményt is adhat: az $a_{n+1}=2a_n$ , $a_1=1$ sorozatra ugyanez a gondolatmenet $A=2A$ -t, vagyis $A=0$ -t adna, pedig a sorozat a végtelenbe tart. A dolgozatokban ezért a létezés igazolása önmagában is pontot ér.

7. Tipikus hibák

A korlátot határértéknek nézni. Attól, hogy egy sorozat minden tagja 2 alatt van, a határértéke még bármi lehet 2-ig bezárólag.
Monotonitás az első pár tagból. Két-három tag kiszámolása sejtést ad, bizonyítást nem. A $\frac{3^n}{n!}$ sorozat első tagjai nőnek, utána mégis csökken.
„Divergens, tehát végtelenhez tart.” Az $(-1)^n$ divergens, de korlátos. A divergencia csak annyit jelent, hogy nincs véges határérték.
Rekurziónál a határérték kiszámítása a létezés előtt. Előbb monotonitás és korlátosság, csak utána a határértékegyenlet.