Gyakorló feladatsor: deriválás

Megoldás

Tagonként, a hatványszabállyal: $(x^n)'=n\,x^{n-1}$.

Megoldás

1. Írjuk hatvány alakba: $f(x)=3x^{1/2}-2x^{-3}$.
2. Tagonként deriválva: $f'(x)=3\cdot\tfrac{1}{2}x^{-1/2}-2\cdot(-3)x^{-4}$.
3. Rendezve, és visszaírva gyök/tört alakba:
   $$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{x^{4}}$$

Megoldás

1. Szorzatszabály: $f'=(2x-1)'(x^{2}+3)+(2x-1)(x^{2}+3)'$.
2. Behelyettesítve: $f'(x)=2(x^{2}+3)+(2x-1)\cdot 2x$.
3. Kibontva és összevonva:
   $$f'(x)=6x^{2}-2x+6$$
4. Ellenőrzésképp ez a feladat szorzat nélkül, kibontással is menne: $(2x-1)(x^{2}+3)=2x^{3}-x^{2}+6x-3$, aminek a deriváltja ugyanez.

Megoldás

1. Legyen $u=x^{2}+1$ és $v=x-2$, ekkor $u'=2x$ és $v'=1$.
2. A hányadosszabály szerint:
   $$f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^{2}+1)\cdot 1}{(x-2)^{2}}$$
3. A számlálót kibontva: $2x^{2}-4x-x^{2}-1=x^{2}-4x-1$.
4. Tehát:
   $$f'(x)=\frac{x^{2}-4x-1}{(x-2)^{2}}$$

Megoldás

1. Láncszabály: a külső függvény $u^{5}$, a belső $4x-3$.
2. A külső deriváltja $5u^{4}$, a belsőé $4$.
3. Összeszorozva:
   $$f'(x)=5(4x-3)^{4}\cdot 4=20(4x-3)^{4}$$

Megoldás

1. Szorzatszabály, mert két, egymástól független módon viselkedő tényező van: $f'=(x^{2})'\sin(3x)+x^{2}\big(\sin(3x)\big)'$.
2. A második tényező deriváltjához láncszabály kell: $\big(\sin(3x)\big)'=\cos(3x)\cdot 3$.
3. Összerakva:
   $$f'(x)=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)$$

Megoldás

1. Az érintő egyenletéhez két adat kell: $f(1)$ és $f'(1)$.
2. $f(1)=1-2+1=0$.
3. A derivált: $f'(x)=3x^{2}-2$, tehát $f'(1)=3-2=1$.
4. Az érintő: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ alapján:
   $$y=0+1\cdot(x-1)=x-1$$

Megoldás

1. Stacionárius pontok: $f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$, ami $x=0$ és $x=2$ esetén nulla.
2. A típus eldöntéséhez a második derivált: $f''(x)=6x-6$.
3. $f''(0)=-6<0$, tehát $x=0$-ban lokális maximum van, értéke $f(0)=0$.
4. $f''(2)=6>0$, tehát $x=2$-ben lokális minimum van, értéke $f(2)=8-12=-4$.