Analízis 1

Alapintegrálok

Mi a primitív függvény, és melyik függvénynek mi az integrálja: a határozatlan integráltól az alapintegrálok táblázatáig.

8 perc olvasás

1. A primitív függvény és a határozatlan integrál

Az integrálás a deriválás megfordítása. A kérdés nem az, hogy egy függvény hogyan változik, hanem az, hogy melyik függvény változik így.

Az $F$ függvény a $f$ primitív függvénye egy intervallumon, ha ott $F'(x)=f(x)$ . Ha egy ilyet találtunk, akkor végtelen sokat találtunk: a konstans deriváltja nulla, tehát $F(x)+C$ is primitív függvény. Intervallumon ráadásul minden primitív függvény ilyen alakú, két primitív függvény tehát csak konstansban térhet el.

A határozatlan integrál

\int f(x)\,dx = F(x)+C \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x)=f(x)

Ebből két gyakorlati következmény adódik, és mindkettőt érdemes komolyan venni:

A $+C$ a válasz része. Nélküle a megoldás nem egy függvénysereget ad meg, hanem annak egyetlen tagját: ez a leggyakrabban levont pont az egész témakörben.
Az eredmény mindig ellenőrizhető: deriváld vissza. Ha nem az integrandust kapod, valahol hiba van. Ez az egyetlen témakör, ahol a saját megoldásod helyessége percek alatt eldönthető.

Létezés és felírhatóság két külön kérdés

Minden intervallumon folytonos függvénynek van primitív függvénye. Az viszont nem igaz, hogy az mindig felírható a szokásos függvényekkel: $e^{-x^{2}}$ , $\frac{\sin x}{x}$ és $\frac{1}{\ln x}$ integrálja létezik, de nem fejezhető ki elemi alakban. Ha egy feladatban ilyesmire jutsz, általában nem a számolással van baj, hanem az utat kell újragondolni.

2. Az alapintegrálok

Ez a táblázat a deriválttáblázat visszafelé olvasva. Aki az alapderiváltakat tudja, annak ez már majdnem ingyen van, egyetlen sor kivételével, amit külön meg kell jegyezni.

f(x)	∫ f(x) dx	Megjegyzés
$x^{n}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	minden n ≠ −1 kitevőre
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|+C$	az n = −1 kivétel
$e^{x}$	$e^{x}+C$
$a^{x}$	$\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$	a > 0, a ≠ 1
$\sin x$	$-\cos x+C$	a mínusz jel itt kerül be
$\cos x$	$\sin x+C$
$\dfrac{1}{\cos^{2}x}$	$\operatorname{tg} x+C$
$\dfrac{1}{\sin^{2}x}$	$-\operatorname{ctg} x+C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\arcsin x+C$	\|x\| < 1
$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	$\operatorname{arctg} x+C$
$\operatorname{sh} x$	$\operatorname{ch} x+C$
$\operatorname{ch} x$	$\operatorname{sh} x+C$

A kivétel: n = −1

A $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ képlet $n=-1$ esetén nullával osztana, ezért ott nem használható. Helyette $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ , és az abszolút érték nem elhagyható, mert a $\frac{1}{x}$ a negatív féltengelyen is értelmezve van.

3. Tipikus hibák

Lemarad a $+C$ . Határozatlan integrálnál a válasz nélküle hiányos, és ez a legolcsóbban elvesztett pont az egész félévben.
Hiányzó abszolút érték. $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$ , és ugyanígy $\int\frac{f'}{f}dx=\ln|f|+C$ is (helyettesítéssel), az abszolút érték nélkül a képlet a negatív féltengelyen hibás.
Az $a^{x}$ integrálja osztás nélkül. $\int a^{x}dx$ nem $a^{x}+C$ , hanem $\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$ : csak $a=e$ esetén tűnik el az osztás, mert $\ln e=1$ .

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció