Analízis 1

Alapintegrálok

Mi a primitív függvény, és melyik függvénynek mi az integrálja: a határozatlan integráltól az alapintegrálok táblázatáig.

8 perc olvasás

1. A primitív függvény és a határozatlan integrál

Az integrálás a deriválás megfordítása. A kérdés nem az, hogy egy függvény hogyan változik, hanem az, hogy melyik függvény változik így. Ebben a leckében a legelejéről indulunk: mi az a primitív függvény, és melyek azok az alapintegrálok, amiket érdemes fejből tudni.

Az $F$ függvény a $f$ primitív függvénye egy intervallumon, ha ott $F'(x)=f(x)$ . Ha egy ilyet találtunk, akkor végtelen sokat találtunk: a konstans deriváltja nulla, tehát $F(x)+C$ is primitív függvény. Intervallumon ráadásul minden primitív függvény ilyen alakú, két primitív függvény tehát csak konstansban térhet el.

A határozatlan integrál

\int f(x)\,dx = F(x)+C \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x)=f(x)

Egy egyszerű példa

Melyik függvény deriváltja a $2x$ ? Tudjuk, hogy $(x^{2})'=2x$ , tehát az $x^{2}$ jó. De az $x^{2}+5$ deriváltja is $2x$ , és az $x^{2}-100$ -é is. Ezért írjuk, hogy $\int 2x\,dx=x^{2}+C$ : a $C$ az összes lehetséges konstanst egyszerre jelöli. Ellenőrzés: $(x^{2}+C)'=2x$ , rendben.

Ebből két gyakorlati következmény adódik, és mindkettőt érdemes komolyan venni:

A $+C$ a válasz része. Nélküle a megoldás nem egy függvénysereget ad meg, hanem annak egyetlen tagját: ez a leggyakrabban levont pont az egész témakörben.
Az eredmény mindig ellenőrizhető: deriváld vissza. Ha nem az integrandust kapod, valahol hiba van. Ez az egyetlen témakör, ahol a saját megoldásod helyessége percek alatt eldönthető.

Létezés és felírhatóság két külön kérdés

Minden intervallumon folytonos függvénynek van primitív függvénye. Az viszont nem igaz, hogy az mindig felírható a szokásos függvényekkel: $e^{-x^{2}}$ , $\frac{\sin x}{x}$ és $\frac{1}{\ln x}$ integrálja létezik, de nem fejezhető ki elemi alakban. Ha egy feladatban ilyesmire jutsz, általában nem a számolással van baj, hanem az utat kell újragondolni.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az alapintegrálok

Az alábbi táblázatot úgy állítottam össze Neked, hogy a deriválttáblázat visszafelé olvasva legyen. Ha az alapderiváltakat tudod, ez már majdnem ingyen van, egyetlen sor kivételével, amit külön érdemes megjegyezni.

f(x)	∫ f(x) dx	Megjegyzés
$x^{n}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	minden n ≠ −1 kitevőre
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|+C$	az n = −1 kivétel
$e^{x}$	$e^{x}+C$
$a^{x}$	$\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$	a > 0, a ≠ 1
$\sin x$	$-\cos x+C$	a mínusz jel itt kerül be
$\cos x$	$\sin x+C$
$\dfrac{1}{\cos^{2}x}$	$\operatorname{tg} x+C$
$\dfrac{1}{\sin^{2}x}$	$-\operatorname{ctg} x+C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\arcsin x+C$	\|x\| < 1
$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	$\operatorname{arctg} x+C$
$\operatorname{sh} x$	$\operatorname{ch} x+C$
$\operatorname{ch} x$	$\operatorname{sh} x+C$

Egy egyszerű példa: a hatványszabály használata

Az $\int x^{3}\,dx$ a táblázat első sora $n=3$ mellett: a kitevőt eggyel növeljük, és osztunk az új kitevővel: $\dfrac{x^{4}}{4}+C$ . Ugyanez gyöknél is megy, ha előbb hatvánnyá írod: $\int\sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C$ . Mindkettőt ellenőrizd deriválással: az elsőnél $\left(\frac{x^{4}}{4}\right)'=x^{3}$ , tényleg visszakaptuk az integrandust.

A kivétel: n = −1

A $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ képlet $n=-1$ esetén nullával osztana, ezért ott nem használható. Helyette $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ , és az abszolút érték nem elhagyható, mert a $\frac{1}{x}$ a negatív féltengelyen is értelmezve van.

3. Tipikus hibák

Lemarad a $+C$ . Határozatlan integrálnál a válasz nélküle hiányos, és ez a legolcsóbban elvesztett pont az egész félévben.
Hiányzó abszolút érték. $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$ , és ugyanígy $\int\frac{f'}{f}dx=\ln|f|+C$ is (helyettesítéssel), az abszolút érték nélkül a képlet a negatív féltengelyen hibás.
Az $a^{x}$ integrálja osztás nélkül. $\int a^{x}dx$ nem $a^{x}+C$ , hanem $\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$ : csak $a=e$ esetén tűnik el az osztás, mert $\ln e=1$ .

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)