Analízis 1

Racionális törtfüggvények integrálása

A harmadik nagy integrálási módszer: polinomosztás, a nevező szorzattá alakítása, és a tört felbontása olyan darabokra, amiket már ismersz.

13 perc olvasás

1. A módszer egészben

Racionális törtfüggvény az, ami polinom per polinom: $\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Ilyet integrálni elsőre reménytelennek tűnik, pedig az egész témakör egyetlen gondolatra épül: bontsuk a törtet olyan darabokra, amiket már ismerünk.

A célalakok mind szerepelnek az alapintegrálok táblázatában, tehát ha idáig eljutunk, a feladat kész:

\int\frac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|+C,\qquad \int\frac{A}{(x-a)^{k}}\,dx=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C

Az eljárás mindig ugyanaz a négy lépés:

Áltört-e? Ha a számláló foka nem kisebb a nevezőénél, polinomosztás.
A nevező szorzattá alakítása gyöktényezős alakra.
Parciális törtekre bontás: felírjuk, milyen alakú törtek összege a kifejezés.
Az együtthatók meghatározása, majd tagonkénti integrálás.

Ebben a leckében a legegyszerűbb, egyben leggyakoribb esetet visszük végig: amikor a nevezőnek csupa különböző valós gyöke van. A többszörös gyökök és a nem bontható másodfokú tagok a következő lecke témái.

2. 1. lépés: polinomosztás

A parciális törtekre bontás csak valódi törtre működik, vagyis ha a számláló foka szigorúan kisebb a nevezőénél. Ha nem így van, először osztani kell.

Áltört felbontása

\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},\qquad \deg R<\deg Q

A hányadospolinom $S(x)$ integrálása triviális, a maradéktörttel pedig már dolgozhatunk tovább.

Példa

Az $\frac{x^{3}+2x}{x^{2}-1}$ törtnél a számláló foka 3, a nevezőé 2, tehát osztunk:

\frac{x^{3}+2x}{x^{2}-1}=x+\frac{3x}{x^{2}-1}

Ellenőrzés fejben: $x\cdot(x^{2}-1)=x^{3}-x$ , és $(x^{3}+2x)-(x^{3}-x)=3x$ . A maradék foka 1, a nevezőé 2, tehát innen már valódi törttel dolgozunk.

Ezt a lépést nem lehet kihagyni

Ha áltörtet próbálsz felbontani, az egyenletrendszer ellentmondásra vezet, és általában sokára veszed észre. Az első mozdulat mindig a fokszámok összehasonlítása.

3. 2. lépés: a nevező szorzattá alakítása

A bontás alakját teljes egészében a nevező gyöktényezős alakja határozza meg. Másodfokúnál a megoldóképlet, magasabb foknál gyökkeresés és polinomosztás, sokszor pedig egyszerű kiemelés vagy nevezetes azonosság segít.

$x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ — megoldóképlettel vagy Viète-formulákkal.
$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ — nevezetes azonosság.
$x^{3}-x=x(x-1)(x+1)$ — előbb kiemelés, aztán azonosság.

Ha egy harmadfokú nevező nem esik szét ránézésre, próbáld ki a konstans tag osztóit: az egész gyököket az $x=\pm 1,\pm 2,\dots$ behelyettesítés általában előhozza, és onnan polinomosztással csökkenthető a fokszám.

4. 3. lépés: a bontás felírása

Ha a nevezőnek csupa különböző, egyszeres valós gyöke van, akkor minden gyöktényezőhöz pontosan egy tag tartozik, konstans számlálóval.

Egyszeres valós gyökök esete

\frac{R(x)}{(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k)}=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\dots+\frac{A_k}{x-a_k}

Hány ismeretlen lesz?

Pontosan annyi, amennyi a nevező fokszáma. Ha a felírásod ismeretlenjeinek száma nem egyezik ezzel, a bontás alakja hibás, és az egyenletrendszer vagy ellentmondó, vagy határozatlan lesz. Ez a leggyorsabb önellenőrzés a témakörben.

5. 4. lépés: az együtthatók meghatározása

A felírt egyenlőséget közös nevezőre hozzuk, majd a számlálókat egyenlővé tesszük. Az így kapott azonosságnak minden $x$ -re teljesülnie kell, és ebből kétféleképpen juthatunk el az együtthatókig.

Együttható-összehasonlítás. Kibontod a zárójeleket, és az azonos fokú tagok együtthatóit egyenlővé teszed. Mindig működik, de több számolás.
Letakarásos (behelyettesítéses) módszer. A gyököket egyesével behelyettesíted. Minden behelyettesítés egy tag kivételével mindent kinulláz, tehát egy ismeretlen azonnal kiesik. Egyszeres valós gyököknél ez a gyorsabb út.

Teljes példa

Számítsuk ki a $\displaystyle\int\frac{5x-4}{x^{2}-x-2}\,dx$ integrált.

Áltört? Nem: a számláló foka 1, a nevezőé 2. Nincs polinomosztás.
Nevező szorzattá. $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ .
A bontás alakja.
$\frac{5x-4}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\quad\Longrightarrow\quad 5x-4=A(x+1)+B(x-2)$
Behelyettesítés a gyökökbe. $x=2$ esetén $6=3A$ , tehát $A=2$ . $x=-1$ esetén $-9=-3B$ , tehát $B=3$ .
Integrálás tagonként.
$\int\frac{5x-4}{x^{2}-x-2}\,dx=\int\frac{2}{x-2}\,dx+\int\frac{3}{x+1}\,dx=2\ln|x-2|+3\ln|x+1|+C$

Példa polinomosztással

Folytassuk a korábban elkezdett $\displaystyle\int\frac{x^{3}+2x}{x^{2}-1}\,dx$ feladatot. Az osztás után:

\int\left(x+\frac{3x}{x^{2}-1}\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+\int\frac{3x}{(x-1)(x+1)}\,dx

A maradéktörtre $3x=A(x+1)+B(x-1)$ , ahonnan $x=1$ -nél $A=\tfrac32$ , $x=-1$ -nél $B=\tfrac32$ . Így

\frac{x^{2}}{2}+\frac32\ln|x-1|+\frac32\ln|x+1|+C=\frac{x^{2}}{2}+\frac32\ln|x^{2}-1|+C

Néha nincs is szükség bontásra

Az előző példa maradéktörtje $\frac{3x}{x^{2}-1}$ valójában $\frac{f'}{f}$ alakú (a nevező deriváltja $2x$ ), tehát $\frac32\ln|x^{2}-1|$ egy sorban is megkapható. Mielőtt nekiállsz a bontásnak, mindig nézd meg, nem egyszerű helyettesítésről van-e szó: sok időt lehet vele spórolni.

6. Tipikus hibák

Bontás polinomosztás nélkül. Áltörtnél az egyenletrendszer ellentmondó lesz. Az első lépés mindig a fokszámok összevetése.
Hiányzó abszolút érték. $\int\frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C$ , abszolút értékkel. Nélküle a megoldás a gyök egyik oldalán hibás.
Rossz számú ismeretlen. A bontásban annyi együttható kell, amennyi a nevező fokszáma, se több, se kevesebb.
A behelyettesítéses módszer erőltetése. Egyszeres valós gyököknél tökéletes, de többszörös gyöknél és nem bontható másodfokú tagoknál nem ad meg minden együtthatót. Ott együttható-összehasonlítás kell, lásd a következő leckét.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció