Analízis 2

Többváltozós függvények és parciális deriválás

Amikor egy függvénynek nem egy, hanem több változója van: értelmezési tartomány, parciális deriváltak és a másodrendű deriváltak.

14 perc olvasás

1. Mi az a többváltozós függvény?

Eddig olyan függvényekkel dolgoztunk, amiknek egyetlen bemenete volt: $x$ . A valóságban egy mennyiség sokszor több dologtól függ egyszerre: egy téglatest térfogata a három élétől, egy termék bevétele az áron kívül a marketingköltségtől is. Egy kétváltozós függvény minden $(x,y)$ számpárhoz rendel egy $z$ értéket:

Kétváltozós függvény

z=f(x,y)

Egy egyszerű példa

Legyen $f(x,y)=x^{2}+y$ . Ez a függvény két számot vár, és egyet ad vissza: $f(2,3)=4+3=7$ , $f(0,1)=0+1=1$ , $f(-1,5)=1+5=6$ . Az egyetlen újdonság az egyváltozós esethez képest, hogy a bemenet egy számpár, ezért a helyek a síkon vannak, nem a számegyenesen.

Az értelmezési tartomány most nem egy intervallum, hanem a sík egy részhalmaza: $\mathcal{D}_f\subseteq\mathbb{R}^{2}$ . Ugyanazok a kizáró okok érvényesek, mint egyváltozós esetben (nullával osztás, negatív alatt páros gyök, nem pozitív logaritmusa), csak most egy tartományt adnak a síkon, nem pontokat.

Az értelmezési tartomány leolvasása

Mi a $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ értelmezési tartománya?

A gyök alatt nem állhat negatív szám: $1-x^{2}-y^{2}\ge 0$ .
Átrendezve: $x^{2}+y^{2}\le 1$ .
Ez pontosan az origó középpontú, 1 sugarú kör a kerületével együtt:
$\mathcal{D}_f=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}\le 1\big\}$

A grafikon most egy felület

Egyváltozós függvénynél a grafikon egy görbe a síkban. Kétváltozós függvénynél a grafikon egy felület a térben, ezt papíron nehéz rajzolni, ezért a gyakorlatban ritkán a teljes felületet vizsgáljuk, hanem a parciális deriváltakat, amik pontosan azt mondják meg, hogyan változik a felület, ha csak az egyik irányba lépünk.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A parciális derivált

A parciális derivált ugyanazt a kérdést teszi fel, mint az egyváltozós derivált: mennyit változik a függvény, ha egy kicsit lépünk. A különbség az, hogy itt két irányba lehet lépni, és mindig csak az egyiket vizsgáljuk: a másik változót rögzítjük.

A parciális derivált definíciója

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}

Vagyis: $y$ -t befagyasztjuk $y_0$ -nál, és úgy deriválunk $x$ szerint, mintha $f$ csak $x$ -től függő, egyváltozós függvény lenne. A $y$ szerinti parciális derivált definíciója ugyanez, felcserélt szereppel.

Egy egyszerű példa

Maradjunk az $f(x,y)=x^{2}+y$ függvénynél. $x$ szerint deriválva az $y$ egy konstans, aminek a deriváltja nulla, tehát $f_x=2x$ . $y$ szerint deriválva az $x^{2}$ a konstans, ezért $f_y=1$ . A $(2,3)$ pontban tehát $x$ irányban 4-es meredekséggel emelkedik a felület, $y$ irányban 1-essel. Ennyi az egész: egy betűt választunk, a másikat számnak nézzük.

A jelölés többféle lehet, mind ugyanazt jelenti:

Jelölés	Jelentés
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$	a legyakoribb, a „kerek d” jelöli, hogy több változó van
$f_x$	rövid alsó indexes forma
$f_x(x_0,y_0)$	a derivált értéke egy konkrét pontban

A gyakorlatban egyetlen szabály elég

Deriváld a kívánt változó szerint úgy, mintha a másik változó konstans lenne: minden korábban tanult szabály (hatvány, szorzat, hányados, láncszabály) ugyanúgy érvényes, csak a másik betű most egy szám szerepét játssza.

3. Kidolgozott példák

Az alábbiakban három példát mutatok, amik a vizsgafeladatok túlnyomó részét lefedik: egy polinomot, egy láncszabályos és egy szorzatszabályos esetet.

1. Polinom mindkét változóban

Deriváljuk parciálisan mindkét változó szerint: $f(x,y)=x^{3}y^{2}-4xy+y$ .

$x$ szerint: $y$ konstans, tehát $x^{3}y^{2}$ úgy deriválódik, mint $x^{3}$ szorozva egy konstanssal, $-4xy$ pedig mint $-4y\cdot x$ ; az utolsó tag ( $y$ ) eltűnik:
$f_x(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y$
$y$ szerint: most $x$ a konstans, és az utolsó tag deriváltja 1:
$f_y(x,y)=2x^{3}y-4x+1$

2. Láncszabály: a másik változó a belső függvényben

Deriváljuk parciálisan: $f(x,y)=\sin(xy)$ .

A külső függvény $\sin$ , a belső $xy$ . $x$ szerint deriválva a belső, $y$ -t konstansnak tekintve: $\dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y$ .
A láncszabály szerint:
$f_x(x,y)=y\cos(xy)$
Ugyanígy, felcserélt szereppel:
$f_y(x,y)=x\cos(xy)$

3. Szorzat- és láncszabály együtt

Deriváljuk parciálisan: $f(x,y)=x^{2}e^{xy}$ .

$x$ szerint mindkét tényező függ $x$ -től, tehát szorzatszabály kell: $f_x=(x^{2})_x\,e^{xy}+x^{2}\,(e^{xy})_x$ . A második tényezőnél láncszabály: $(e^{xy})_x=y\,e^{xy}$ .
Összerakva és kiemelve:
$f_x(x,y)=2x\,e^{xy}+x^{2}y\,e^{xy}=e^{xy}\big(2x+x^{2}y\big)$
$y$ szerint $x^{2}$ konstans, csak az exponenciálist kell láncszabállyal deriválni ( $(e^{xy})_y=x\,e^{xy}$ ):
$f_y(x,y)=x^{3}e^{xy}$

4. Másodrendű parciális deriváltak és a Young-tétel

Ahogy egyváltozós esetben $f''$ -t úgy kapjuk, hogy $f'$ -t még egyszer deriváljuk, itt is tovább lehet deriválni, csak most már azt is el kell dönteni,melyik változó szerint. Négy másodrendű parciális derivált van:

Jelölés	Jelentés
$f_{xx}$	$f_x$ még egyszer $x$ szerint
$f_{yy}$	$f_y$ még egyszer $y$ szerint
$f_{xy}$	$f_x$ deriválva $y$ szerint (vegyes)
$f_{yx}$	$f_y$ deriválva $x$ szerint (vegyes)

Nézzük meg az előző lecke első példáján ( $f(x,y)=x^{3}y^{2}-4xy+y$ , ahol $f_x=3x^{2}y^{2}-4y$ és $f_y=2x^{3}y-4x+1$ ) a két vegyes deriváltat:

f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y^{2}-4y\big)=6x^{2}y-4, \qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{3}y-4x+1\big)=6x^{2}y-4

A Young-tétel (Schwarz-tétel)

Nem véletlen, hogy $f_{xy}=f_{yx}$ lett: ha a másodrendű parciális deriváltak folytonosak, a vegyes deriváltak mindig megegyeznek, függetlenül attól, milyen sorrendben deriválunk. A legtöbb, vizsgán előforduló függvényre ez a feltétel teljesül, ezért a vegyes deriváltat elég egyszer kiszámolni, és utána ellenőrzésre is használható.

5. A gradiens

A két elsőrendű parciális derivált egyetlen vektorba rendezve adja a gradienst:

A gradiens

\nabla f(x,y)=\big(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\big)

Egy egyszerű példa

Az $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ függvénynél $f_x=2x$ és $f_y=2y$ , tehát $\nabla f=(2x,\,2y)$ . Az $(1,1)$ pontban ez $(2,2)$ : a vektor az origótól kifelé mutat. Ez tényleg logikus, hiszen ez a felület egy tál, ami az origóból kifelé minden irányban emelkedik, és a legmeredekebben pontosan „sugárirányban”.

A gradiens tehát abba az irányba mutat, amerre a függvény az adott pontból a leggyorsabban nő; a hossza pedig azt mondja meg, milyen meredeken. Egy kevésbé szemléletes függvénynél, a $f(x,y)=\sin(xy)$ -nél a $(1,\pi)$ pontban:

\nabla f(1,\pi)=\big(\pi\cos\pi,\;1\cdot\cos\pi\big)=(-\pi,-1)

6. Tipikus hibák

A másik változót nullának venni konstans helyett. A $f(x,y)=4xy$ függvény $x$ szerinti deriváltja $4y$ , nem $0$ : a konstans nem tűnik el, csak nem $x$ -től függ többé.
Elmarad a láncszabály, ha a másik változó a belsőben van. $\big(\sin(xy)\big)_x$ nem $\cos(xy)$ , hanem $y\cos(xy)$ : a belső függvény deriváltja (itt $y$ ) most is kötelező szorzótényező.
Felcserélt $f_x$ és $f_y$ . Mindig azt írd le előbb, melyik változó szerint deriválsz, és csak utána kezdd a számolást: két hasonló kinézetű kifejezésnél könnyű összekeverni a kettőt.
A $\partial$ és a $d$ jelölés összemosása. A kerek $\partial$ emlékeztet arra, hogy a másik változó rögzítve van; ha csak egy változó van, marad a szokásos $f'$ vagy $\frac{df}{dx}$ .

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció