A határérték számítás alapjai

1. Mit jelent az, hogy „tart valamihez”?

Ebben a leckében összeszedtem Neked mindent, ami a határérték fogalmához és kiszámításához kell. A határérték arra a kérdésre felel, hogy merre tart a függvény egy pont közelében, függetlenül attól, hogy abban a pontban mi történik, sőt attól is, hogy értelmezve van-e ott egyáltalán.

Ez a különbségtétel az egész témakör lényege. Az $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ függvény a 2-ben nincs értelmezve, mégis teljesen egyértelmű, hogy a 2 közelében a függvényértékek 4-hez simulnak: a határérték pontosan ezt írja le.

A határérték pontos definíciója

\lim_{x\to a} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon

Szavakban: bármilyen szűk $\varepsilon$ sávot adnak meg $A$ körül, található az $a$ körül olyan $\delta$ környezet, amin belül a függvény már nem lép ki abból a sávból. A $0<|x-a|$ feltétel az, ami magát az $a$ pontot kizárja.

Egy egyszerű példa: a definíció számokkal

Nézzük a $\lim_{x\to 3} 2x=6$ határértéket. Ha a sáv szélessége $\varepsilon=0{,}1$ , azt szeretnénk, hogy $|2x-6|<0{,}1$ legyen. Mivel $|2x-6|=2|x-3|$ , ez pontosan akkor teljesül, ha $|x-3|<0{,}05$ . Tehát a $\delta=0{,}05$ jó választás: ha az $x$ ennél közelebb van a 3-hoz, a $2x$ biztosan 0,1-nél közelebb van a 6-hoz. Bármilyen kisebb epszilonhoz ugyanígy találunk deltát (a fele), ezért a határérték tényleg 6.

Három változatot érdemes külön néven ismerni:

Egyoldali határérték: $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ csak balról, $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ csak jobbról közelít. A határérték pontosan akkor létezik, ha mindkettő létezik és megegyezik.
Végtelenben vett határérték: $\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ : a függvény vízszintes aszimptotához simul.
Végtelen határérték: $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ : a függvény minden korlát fölé nő. Ez nem „létezik a határérték” a szó szoros értelmében, hanem a divergencia egy megnevezett fajtája; a grafikonon függőleges aszimptota tartozik hozzá.

A pontbeli érték nem számít

Ha egy függvényt egyetlen pontban átdefiniálunk, a határértéke nem változik. Ezért nem elég ránézni $f(a)$ -ra: lehet, hogy létezik és mégsem egyenlő a határértékkel: pontosan ez a szakadás esete.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Műveletek határértékkel és a kritikus alakok

Ha $\lim f = A$ és $\lim g = B$ is létezik és véges, akkor a határérték átvihető a műveleteken:

\lim (f\pm g)=A\pm B,\qquad \lim (f\cdot g)=A\cdot B,\qquad \lim \frac{f}{g}=\frac{A}{B}\;\;(B\neq 0)

A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy először mindig behelyettesítünk. Ha értelmes szám jön ki, kész vagyunk. Például $\lim_{x\to 2}(x^{2}+3x)=4+6=10$ , és itt tényleg nincs más teendő. A feladat ott kezdődik, ahol a behelyettesítés az alábbi alakok valamelyikét adja. Ezeket gyűjtöttem össze a táblázatban, a mellettük álló feloldási módszerrel együtt:

Kritikus alak	Tipikus feloldás
$\frac{0}{0}$	szorzattá alakítás és egyszerűsítés, gyöktelenítés, nevezetes határérték, L'Hospital
$\frac{\infty}{\infty}$	a domináns taggal való osztás vagy L'Hospital
$\infty-\infty$	közös nevezőre hozás vagy gyöktelenítés
$0\cdot\infty$	az egyik tényezőt a nevezőbe víve $\frac{0}{0}$ vagy $\frac{\infty}{\infty}$ alakra hozzuk
$1^{\infty},\; 0^{0},\; \infty^{0}$	logaritmálás: $f^{g}=e^{g\ln f}$ , majd a kitevő határértéke

A kritikus alak nem eredmény

A $\frac{0}{0}$ nem azt jelenti, hogy nincs határérték, és azt sem, hogy 0 vagy 1. Azt jelenti, hogy a művelet önmagában nem dönti el: a válasz attól függ, milyen gyorsan tart nullához a számláló és a nevező. Ezért kell minden ilyen esetben átalakítani a kifejezést.

3. Sorozatok határértéke

A sorozat olyan függvény, aminek csak a pozitív egészekben van értéke, így a határérték is csak egyféle lehet: $n\to\infty$ . Ha ez a határérték létezik és véges, a sorozat konvergens, egyébként divergens.

Elméleti feladatokban a leghasznosabb állítás, hogy monoton és korlátos sorozat konvergens: ezzel akkor is bizonyítható a konvergencia, ha a határértéket nem ismerjük.

Számolós feladatokban két eszköz visz el majdnem mindent. Az első: polinom per polinom esetén a legmagasabb fokú tagok döntenek, és a legcélravezetőbb velük végigosztani.

\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+2n-1}{n^{2}-5} = \lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1-\frac{5}{n^{2}}} = 3

A második a növekedési sorrend. Nagy $n$ -re a következő sorozatok mindegyike nagyságrenddel gyorsabban nő az előtte állónál, és egy hányadosban a gyorsabban növő tag dönt:

Növekedési sorrend

\ln n \;\ll\; n^{\alpha} \;\ll\; a^{n} \;\ll\; n! \;\ll\; n^{n} \qquad (\alpha>0,\; a>1)

Ezért $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{10}}{2^{n}}=0$ és $\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0$ , bármilyen nagynak tűnik is a számláló az első néhány tagnál.

Egy egyszerű példa: nézzük meg számokkal

A $\frac{2^{n}}{n!}$ sorozat az elején még nő: $n=1$ -nél 2, $n=2$ -nél is 2. Utána viszont a faktoriális átveszi az irányítást: $n=5$ -nél $\frac{32}{120}\approx 0{,}27$ , $n=10$ -nél már $\frac{1024}{3\,628\,800}\approx 0{,}0003$ . A faktoriális hátrébb áll a sorban, tehát gyorsabb, és a tört 0-hoz tart.

Két gyakran előkerülő gyökös határérték

$\sqrt[n]{a}\to 1$ minden rögzített $a>0$ esetén, és $\sqrt[n]{n}\to 1$ is. Az $e$ szám pedig épp egy sorozat határértékeként van értelmezve: $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ .

4. Függvényhatárértékek kiszámítása

Az alábbiakban végigmegyek Veled a leggyakoribb feladattípusokon. Kezdjük azzal, ami a legtöbbször előjön: racionális törtfüggvény a végtelenben. Itt a fokszámok viszonya dönt, a részletek nem számítanak:

számláló fokszáma kisebb → a határérték $0$ ,
a két fokszám egyenlő → a főegyütthatók hányadosa,
számláló fokszáma nagyobb → a határérték $\pm\infty$ , az előjelet a főegyütthatók és a fokszámkülönbség adja.

1. Nulla per nulla: egyszerűsítés

Számítsuk ki: $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$ .

Behelyettesítve $\frac{0}{0}$ adódik, tehát átalakítás kell.
A számláló szorzattá bontható: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ .
Mivel $x\neq 2$ (a határérték a pontot kizárja), egyszerűsíthetünk $(x-2)$ -vel:
$\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$

2. Végtelen mínusz végtelen: gyöktelenítés

Számítsuk ki: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)$ .

Az alak $\infty-\infty$ , tehát önmagában nem mond semmit. Bővítsünk a konjugálttal:
$\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}$
Osszunk el számlálót és nevezőt $x$ -szel (pozitív $x$ -re $\sqrt{x^{2}}=x$ ):
$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$
Most már behelyettesíthető:
$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Pólusnál mindig két oldal van

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ nem létezik, mert balról $-\infty$ , jobbról $+\infty$ . Ahol a nevező nullává válik, ott külön kell megvizsgálni a két oldalt, és a válasz gyakran az, hogy a (kétoldali) határérték nem létezik.

5. Nevezetes határértékek

Ezek olyan $\frac{0}{0}$ és $1^{\infty}$ alakok, amiket egyszer levezetünk, utána pedig készen használunk. A feladatok jelentős része arra megy ki, hogy fel kell ismerni az alakot, és a kifejezést oda kell alakítani.

Határérték	Értéke
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$	$1$
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$	$\frac{1}{2}$
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}$	$1$
$\lim_{x\to 0}\frac{a^{x}-1}{x}$	$\ln a$
$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$	$1$
$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$	$e$
$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}$	$e^{k}$
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$	$1$

A használatuk kulcsa, hogy a képletben szereplő $x$ helyén bármi állhat, ami nullához tart, csak arra kell ügyelni, hogy a nevezőben ugyanaz legyen. A legegyszerűbb eset: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}$ . A számlálóban $2x$ áll, ezért a nevezőbe is azt szeretnénk: bővítünk 2-vel, és $2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}\to 2\cdot 1=2$ . Ugyanez egy kicsit több számmal:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{5}{3}\cdot\frac{\sin 5x}{5x}=\frac{5}{3}\cdot 1=\frac{5}{3}

6. A L'Hospital-szabály

Ez a leggyorsabb eszköz a kritikus alakokra, feltéve, hogy a feltételei teljesülnek, és hogy nem használjuk ott, ahol nem szabad. A lényege egyszerű: ha a számláló és a nevező is 0-hoz (vagy végtelenhez) tart, akkor az dönt, hogy milyen gyorsan teszik ezt, a sebességet pedig a derivált méri.

L'Hospital-szabály

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Egy egyszerű példa

Vegyük a korábbi $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$ határértéket, amit szorzattá alakítással már kiszámoltunk. A behelyettesítés $\frac00$ -t ad, tehát deriválhatjuk a számlálót és a nevezőt külön-külön: $(x^{2}-4)'=2x$ és $(x-2)'=1$ . Így $\lim_{x\to 2}\frac{2x}{1}=4$ , ugyanaz, mint korábban, csak gyorsabban. Ha egy feladatnál mindkét út járható, válaszd azt, amelyikben kevesebbet lehet elrontani.

A szabály akkor alkalmazható, ha mind a négy feltétel teljesül:

a behelyettesítés $\frac{0}{0}$ vagy $\frac{\infty}{\infty}$ alakot ad,
$f$ és $g$ differenciálható az $a$ egy környezetében (magát az $a$ -t kivéve),
$g'(x)\neq 0$ ebben a környezetben,
és a jobb oldali határérték létezik. Ha nem, a szabály nem mond semmit, és más úton kell próbálkozni.

Kétszeri alkalmazás

Számítsuk ki: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}$ .

Behelyettesítve $\frac{0}{0}$ , tehát deriválhatunk külön-külön: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{2x}$ .
Ez megint $\frac{0}{0}$ , tehát még egyszer: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{2}$ .
Ez már behelyettesíthető:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$

A többi kritikus alakot előbb hányadossá kell alakítani. A $0\cdot\infty$ esetén az egyik tényező a nevezőbe kerül; az $1^{\infty}$ típusú alakoknál pedig a szokásos lépés a logaritmálás:

\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0

Két hiba, ami azonnal rossz eredményt ad

Az egyik: a szabály nem a hányadosszabály. Külön kell deriválni a számlálót és a nevezőt, nem pedig a törtet deriválni.

A másik: nem kritikus alakra alkalmazni. A $\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x}$ egyszerű behelyettesítéssel $2$ , L'Hospitallal viszont $1$ jönne ki, az utóbbi hibás. Minden alkalmazás előtt ellenőrizni kell az alakot.

7. Folytonosság: a határérték legfontosabb alkalmazása

A folytonosság definíciója egyetlen egyenlet, ami viszont három dolgot követel meg egyszerre:

Folytonosság az a pontban

\lim_{x\to a} f(x)=f(a)

$f(a)$ létezik, tehát a függvény értelmezve van a pontban,
a határérték létezik (a két oldali határérték megegyezik),
és a kettő egyenlő.

Egy egyszerű példa

Az $f(x)=x^{2}$ a 2-ben folytonos: a határérték $\lim_{x\to 2}x^{2}=4$ , a függvényérték $f(2)=4$ , és a kettő egyenlő. Ezzel szemben a $g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ függvénynek a 2-ben létezik a határértéke (láttuk, hogy 4), de $g(2)$ nem létezik, mert nullával kellene osztani. Az első feltétel sérül, tehát a függvény ott nem folytonos, hiába „nézne ki” a grafikonja majdnem úgy, mint az $x+2$ egyenes.

Ha valamelyik feltétel sérül, szakadás van. A három szokásos eset:

Megszüntethető szakadás: a határérték létezik, de a pontbeli érték hiányzik vagy más, például $\frac{\sin x}{x}$ a 0-ban. Egyetlen érték átdefiniálásával folytonossá tehető.
Ugrás: a két egyoldali határérték létezik, de különbözik, szakaszonként megadott függvényeknél tipikus.
Végtelen szakadás: valamelyik oldali határérték végtelen, a grafikonon függőleges aszimptota, például $\frac{1}{x}$ a 0-ban.

Ezért fontos: két tétel, amit sokszor kell idézni

Korlátos és zárt $[a,b]$ intervallumon folytonos függvény felveszi a minimumát és a maximumát(Weierstrass), és felvesz minden köztes értéket a két végpontbeli érték között (Bolzano). Az utóbbiból következik a gyakorlatban legtöbbet használt következmény: ha $f(a)$ és $f(b)$ előjele különböző, akkor a függvénynek van gyöke az $(a,b)$ intervallumban.

8. Tipikus hibák

A kritikus alak eredményként kezelése. A $\frac{0}{0}$ vagy $\infty-\infty$ nem szám, hanem jelzés arra, hogy a kifejezést át kell alakítani.
L'Hospital az alak ellenőrzése nélkül. Csak $\frac{0}{0}$ és $\frac{\infty}{\infty}$ esetén szabad alkalmazni; máshol rossz eredményt ad.
L'Hospital hányadosszabállyal. A számláló és a nevező külön deriválandó: a törtet deriválni itt nem azt jelenti.
Az egyoldali határértékek elhagyása. Ahol a nevező nullázódik, vagy szakaszonként változik a képlet, ott a bal és jobb oldali határértéket külön kell megnézni.
„Ami korlátos, az konvergens.” Nem: a $(-1)^{n}$ sorozat korlátos, de divergens. Ugyanígy $\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ sem létezik, mert a függvény végtelen sokszor lengi be a $[-1,1]$ sávot.
Sorozatra vonatkozó eszköz függvényre. A $n!$ és a növekedési sorrend sorozatokról szól. Függvényhatárértéknél L'Hospital vagy átalakítás a járható út.