Folytonos valószínűségi változók

Paraméteres sűrűségfüggvény végigszámolva

Legyen $f(x)=cx$, ha $0\le x\le 2$, és $f(x)=0$ egyébként. (a) Mennyi $c$? (b) Írd fel $F$-et. (c) Mennyi $E(X)$ és $D(X)$? (d) Mennyi $P(X>1{,}5)$ és a medián?

1. (a) A teljes terület egy:
   $$\int_{0}^{2}cx\,dx=c\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=2c=1\ \Longrightarrow\ c=\frac{1}{2}$$
2. (b) Integrálás nullától $x$-ig:
   $$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t}{2}\,dt=\frac{x^{2}}{4}\quad (0\le x\le 2)$$
   $$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \dfrac{x^{2}}{4}, & 0\le x\le 2 \\ 1, & x>2 \end{cases}$$
   Ellenőrzés: $F(2)=1$, ahogy kell.
3. (c) A két integrál:
   $$E(X)=\int_{0}^{2}x\cdot\frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx 1{,}333$$
   $$E(X^{2})=\int_{0}^{2}x^{2}\cdot\frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x^{4}}{8}\right]_{0}^{2}=2$$
   $$D^{2}(X)=2-\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9},\qquad D(X)=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}471$$
4. (d) $P(X>1{,}5)=1-F(1{,}5)=1-\frac{2{,}25}{4}=0{,}4375$, a medián pedig
   $$\frac{m^{2}}{4}=0{,}5\ \Longrightarrow\ m=\sqrt{2}\approx 1{,}414$$
   A medián kisebb a várható értéknél — a sűrűség jobbra növekszik, tehát az eloszlás balra elnyújtott.

Nem korlátos értékkészlet: mikor létezik a várható érték

Legyen $f(x)=\dfrac{3}{x^{4}}$, ha $x\ge 1$, és $0$ egyébként. Ellenőrizd, hogy sűrűségfüggvény, és számold ki a várható értékét, szórását, valamint a $P(X>2)$ valószínűséget.

1. Az integrál improprius, de konvergens:
   $$\int_{1}^{\infty}\frac{3}{x^{4}}\,dx=\left[-\frac{1}{x^{3}}\right]_{1}^{\infty}=0-(-1)=1$$
   Nemnegatív, az integrálja egy: sűrűségfüggvény.
2. Az eloszlásfüggvény ugyanezzel a primitív függvénnyel:
   $$F(x)=1-\frac{1}{x^{3}}\quad (x\ge 1)\ \Longrightarrow\ P(X>2)=1-F(2)=\frac{1}{8}=0{,}125$$
3. $$E(X)=\int_{1}^{\infty}x\cdot\frac{3}{x^{4}}\,dx=3\int_{1}^{\infty}x^{-3}\,dx=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$
   $$E(X^{2})=3\int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx=3,\qquad D^{2}(X)=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4},\qquad D(X)\approx 0{,}866$$
4. Érdemes megnézni, mi történne $f(x)=1/x^{2}$ esetén: a sűrűség rendben lenne, de az $E(X)=\int x^{-1}dx$ divergálna. Vannak tehát olyan eloszlások, amelyeknek nincs várható értéke — a nehéz farkú eloszlásoknál ez nem elméleti kuriózum, hanem valós modellezési kérdés.

Miért nem cserélhető fel a függvény és a várható érték

Egy négyzet alakú lemez oldalhossza az első példa $X$ változója (méterben). Mennyi a lemez területének várható értéke?

1. A terület $T=X^{2}$, tehát a keresett mennyiség $E(X^{2})$ — amit már kiszámoltunk:
   $$E(T)=E(X^{2})=2\ \text{m}^{2}$$
2. A kézenfekvőnek tűnő, de hibás gondolatmenet az lenne, hogy az átlagos oldalhossz $4/3$, tehát az átlagos terület ennek a négyzete:
   $$\bigl[E(X)\bigr]^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}\approx 1{,}78\ \ne\ 2$$
3. A kettő különbsége éppen a szórásnégyzet: $E(X^{2})-[E(X)]^{2}=D^{2}(X)=2/9$. Nem lineáris függvénynél tehát $E\bigl(g(X)\bigr)\ne g\bigl(E(X)\bigr)$, és az eltérés annál nagyobb, minél nagyobb az ingadozás. Csak a lineáris $g$ esetén egyezik a kettő.