Analízis 1

Teljes függvényvizsgálat

A korábbi eszközök egy helyen: értelmezési tartomány, aszimptota, monotonitás és konvexitás egy végigvezetett példán.

18 perc olvasás

1. Mit jelent a teljes függvényvizsgálat?

A teljes függvényvizsgálat nem új anyag: ugyanazokat az eszközöket használja, amiket a deriválásnál és a határérték számításnál már megismertél, csak egy fix sorrendben, egyetlen függvényre végigvezetve. A cél az, hogy a végén anélkül tudjuk elképzelni a grafikont, hogy pontonként ábrázolnánk. Ebben a leckében lépésről lépésre végigvezetlek az eljáráson, minden lépéshez egy egyszerű példával, a végén pedig egy teljes vizsgálatot mutatok.

A szokásos lépéssor, amit érdemes fejben tartani:

Értelmezési tartomány
Szimmetria (páros / páratlan)
Zérushelyek, tengelymetszetek
Határértékek a tartomány szélein, aszimptoták
Monotonitás és szélsőérték (első derivált)
Konvexitás és inflexiós pont (második derivált)
Összefoglalás, vázlat

Nem kell mindig mind a hét lépés

Egy vizsgán ritkán kérik az összeset egyszerre. Ez a lecke a teljes eljárást mutatja be egy példán, hogy lásd, hogyan illeszkedik össze minden darab; a gyakorlatban a feladat szövege dönti el, melyik lépésekre van szükség.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Értelmezési tartomány és szimmetria

Mindig itt kezdünk: mielőtt bármit számolnánk, tudnunk kell, hol értelmezhető a függvény egyáltalán. A tipikus kizáró okok: nullával osztás, negatív szám alatt páros gyök, vagy nem pozitív szám logaritmusa.

A szimmetria két speciális esetet nevez meg, amik felére csökkentik a munkát: ha az egyik teljesül, elég a pozitív féltengelyen vizsgálódni, a másik oldal ugyanabból adódik.

Típus	Feltétel	Grafikon
Páros	$f(-x)=f(x)$	szimmetrikus az y-tengelyre
Páratlan	$f(-x)=-f(x)$	szimmetrikus az origóra

A legtöbb függvény se nem páros, se nem páratlan: ez is érvényes eredmény, nem hiányos vizsgálat.

Egy egyszerű példa

Az $f(x)=\dfrac{x^{4}-1}{x^{2}}$ függvénynél a nevező nem lehet nulla, tehát $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . A szimmetriához $-x$ -et helyettesítünk: $f(-x)=\dfrac{(-x)^{4}-1}{(-x)^{2}}=\dfrac{x^{4}-1}{x^{2}}=f(x)$ , tehát a függvény páros. Ez azt jelenti, hogy elég a pozitív oldalon vizsgálódni, a negatív oldal tükörkép lesz.

3. Zérushelyek és tengelymetszetek

Az x-tengelymetszetek az $f(x)=0$ egyenlet megoldásai. Az y-tengelymetszet az $f(0)$ érték, feltéve hogy a 0 az értelmezési tartományban van.

Egy egyszerű példa

Az $f(x)=x^{2}-4$ zérushelyei az $x^{2}-4=0$ egyenletből $x=-2$ és $x=2$ : itt metszi a grafikon az x-tengelyt. Az y-tengelyt az $f(0)=-4$ pontban metszi. Ez a három pont már önmagában sokat elárul a parabola helyzetéről.

A többszörös gyök nem old meg, hanem érint

Ha egy zérushely páros multiplicitású (például a képlet $(x-a)^{2}$ alakú szorzót tartalmaz), a grafikon ott érinti a tengelyt, nem metszi. Ez a megfigyelés később, a szélsőérték-vizsgálatnál is visszaköszön.

4. Határértékek és aszimptoták

Azokban a pontokban kell határértéket vizsgálni, ahol a függvény nincs értelmezve, illetve a végtelenben, ha az értelmezési tartomány odáig tart. Az eredmény háromféle aszimptotát adhat.

Típus	Feltétel	Egyenlet
Függőleges	$\lim_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty$ egy kizárt $a$ pontban	$x=a$
Vízszintes	$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L$ véges	$y=L$
Ferde	$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ végtelen, de $f(x)-mx$ tart valamihez	$y=mx+b$

Ferde aszimptota tipikusan akkor van, ha $f$ egy tört, amiben a számláló fokszáma pontosan eggyel nagyobb a nevezőénél. Az egyenes meredekségét és tengelymetszetét külön határértékkel kapjuk:

A ferde aszimptota paraméterei

m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-mx\big)

Egy egyszerű példa

Az $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ függvénynél a számláló másodfokú, a nevező elsőfokú, tehát ferde aszimptotára számítunk. A meredekség: $m=\lim\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}=1$ . A tengelymetszet: $b=\lim\left(\dfrac{x^{2}+1}{x}-x\right)=\lim\dfrac{1}{x}=0$ . Az aszimptota tehát az $y=x$ egyenes. Ugyanezt látod, ha a törtet szétbontod: $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ , és a második tag nagy $x$ -re eltűnik.

Vízszintes és ferde aszimptota nem lehet együtt ugyanabba az irányba

Ha $x\to+\infty$ esetén van vízszintes aszimptota, akkor arra az irányra ferde már nincs, és fordítva. A kettő $x\to-\infty$ és $x\to+\infty$ irányban külön-külön is eltérhet egymástól, ezért mindkét irányt érdemes ellenőrizni.

5. Monotonitás, szélsőérték, konvexitás

Innentől a derivált dönt. Ugyanaz a két eszköz, amit a deriválási szabályok leckében részletesen levezettünk, itt csak összefoglalva:

Első derivált. A stacionárius pontok ( $f'(x)=0$ ) és az értelmezési tartomány kizárt pontjai osztják fel a tartományt szakaszokra; ezeken az $f'$ előjele adja a monotonitást és a szélsőértékek típusát.
Második derivált. Ahol $f''(x)>0$ , a grafikon konvex; ahol $f''(x)<0$ , konkáv. Ahol $f''$ előjelet vált és a függvény ott értelmezve van, ott inflexiós pont van.

Egy egyszerű példa

Legyen $f(x)=x^{3}-3x$ . Az első derivált $f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$ , ami az $x=-1$ és $x=1$ helyen nulla. A $-1$ előtt pozitív (például $f'(-2)=9$ ), a kettő között negatív ( $f'(0)=-3$ ), az 1 után megint pozitív: tehát $x=-1$ -nél lokális maximum, $x=1$ -nél lokális minimum van. A második derivált $f''(x)=6x$ , ami a 0-ban vált előjelet negatívból pozitívba: a 0 inflexiós pont, előtte a grafikon konkáv, utána konvex.

A kizárt pontok nem inflexiós pontok

A második derivált előjele gyakran a függvény saját kizárt pontjainál (például egy függőleges aszimptotánál) is vált. Ez önmagában nem inflexiós pont: az inflexiós ponthoz az kell, hogy a függvény ott értelmezve legyen, és ott is a saját értékét vegye fel.

6. Kidolgozott példa: teljes vizsgálat

Most rakjuk össze az egészet egyetlen függvényen. Vizsgáljuk meg a $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$ függvényt, pontosan abban a sorrendben, ahogy a lépéssor mondja.

Értelmezési tartomány. A nevező nem lehet nulla, tehát $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .
Szimmetria. $f(-x)=\dfrac{x^{2}}{-x-1}=-\dfrac{x^{2}}{x+1}$ , ami se nem $f(x)$ , se nem $-f(x)$ : a függvény se nem páros, se nem páratlan.
Zérushely. $x^{2}=0$ miatt $x=0$ , kétszeres gyökként: a grafikon itt érinti a tengelyt, nem metszi. Ez egyben az y-tengelymetszet is: $f(0)=0$ .
Aszimptoták. Az $x=1$ pontban $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ és $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ : függőleges aszimptota $x=1$ . A számláló fokszáma eggyel nagyobb a nevezőénél, tehát ferde aszimptotát várunk; polinomosztással:
$\frac{x^{2}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$
Mivel $\frac{1}{x-1}\to 0$ , ha $x\to\pm\infty$ , az aszimptota $y=x+1$ .
Első derivált. Hányadosszabállyal:
$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^{2}}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}$
A nevező mindig pozitív, tehát az előjelet a számláló dönti el. Stacionárius pontok: $x=0$ és $x=2$ .
Monotonitás és szélsőérték. $f'>0$ a $(-\infty,0)$ és a $(2,+\infty)$ intervallumon, $f'<0$ a $(0,1)$ és az $(1,2)$ intervallumon. A $+$ és $-$ közti váltás miatt $x=0$ -ban lokális maximum van ( $f(0)=0$ ), $x=2$ -ben pedig lokális minimum ( $f(2)=4$ ).
Második derivált. Ismét deriválva:
$f''(x)=\frac{2}{(x-1)^{3}}$
Ez sosem nulla, tehát nincs inflexiós pont: $x=1$ ugyan előjelváltás, de a függvény ott nincs értelmezve. $f''<0$ , ha $x<1$ (konkáv), és $f''>0$ , ha $x>1$ (konvex).

Összefoglalva:

Tulajdonság	Eredmény
Értelmezési tartomány	$\mathbb{R}\setminus\{1\}$
Szimmetria	nincs (se nem páros, se nem páratlan)
Zérushely / y-metszet	$x=0$
Függőleges aszimptota	$x=1$
Ferde aszimptota	$y=x+1$
Növekvő	$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$
Csökkenő	$(0,1)\cup(1,2)$
Lokális maximum	$x=0,\; f(0)=0$
Lokális minimum	$x=2,\; f(2)=4$
Konkáv	$(-\infty,1)$
Konvex	$(1,+\infty)$

7. Tipikus hibák

Az értelmezési tartomány kihagyása az elején. Egy stacionárius pont vagy egy aszimptota csak akkor számít, ha a függvény ott (vagy annak közelében) egyáltalán értelmezve van. Ha ezt a lépést kihagyod, könnyen belefuthatsz egy nem létező pontba.
Elfelejtett ferde aszimptota. Ha csak azt nézzük, hogy a függvény a végtelenben végtelenhez tart, és megállunk ott, lemarad a $y=mx+b$ egyenes, pedig a fokszámok különbsége (pontosan eggyel) ezt előre jelzi.
Szélsőérték a tartományon kívüli pontban. Az $f'(x)=0$ egyenlet megoldásai közül csak azok számítanak, amelyek az értelmezési tartományban vannak.
Előjelváltás automatikusan inflexiós pont. Csak akkor az, ha a függvény az adott pontban értelmezve van: egy aszimptotánál történő előjelváltás nem inflexiós pont.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)