Teljes függvényvizsgálat

1. Mit jelent a teljes függvényvizsgálat?

A teljes függvényvizsgálat nem új anyag: ugyanazokat az eszközöket használja, amiket a deriválásnál és a határérték számításnál már megismertél, csak egy fix sorrendben, egyetlen függvényre végigvezetve. A cél az, hogy a végén anélkül tudjuk elképzelni a grafikont, hogy pontonként ábrázolnánk.

A szokásos lépéssor:

1. Értelmezési tartomány
2. Szimmetria (páros / páratlan)
3. Zérushelyek, tengelymetszetek
4. Határértékek a tartomány szélein, aszimptoták
5. Monotonitás és szélsőérték (első derivált)
6. Konvexitás és inflexiós pont (második derivált)
7. Összefoglalás, vázlat

2. Értelmezési tartomány és szimmetria

Mindig itt kezdünk: mielőtt bármit számolnánk, tudnunk kell, hol értelmezhető a függvény egyáltalán. A tipikus kizáró okok: nullával osztás, negatív szám alatt páros gyök, vagy nem pozitív szám logaritmusa.

A szimmetria két speciális esetet nevez meg, amik felére csökkentik a munkát: ha az egyik teljesül, elég a pozitív féltengelyen vizsgálódni, a másik oldal ugyanabból adódik.

A legtöbb függvény se nem páros, se nem páratlan: ez is érvényes eredmény, nem hiányos vizsgálat.

3. Zérushelyek és tengelymetszetek

Az x-tengelymetszetek az $f(x)=0$ egyenlet megoldásai. Az y-tengelymetszet az $f(0)$ érték, feltéve hogy a 0 az értelmezési tartományban van.

4. Határértékek és aszimptoták

Azokban a pontokban kell határértéket vizsgálni, ahol a függvény nincs értelmezve, illetve a végtelenben, ha az értelmezési tartomány odáig tart. Az eredmény háromféle aszimptotát adhat.

Ferde aszimptota tipikusan akkor van, ha $f$ egy tört, amiben a számláló fokszáma pontosan eggyel nagyobb a nevezőénél. Az egyenes meredekségét és tengelymetszetét külön határértékkel kapjuk:

5. Monotonitás, szélsőérték, konvexitás

Innentől a derivált dönt. Ugyanaz a két eszköz, amit a deriválási szabályok leckében részletesen levezettünk, itt csak összefoglalva:

• Első derivált. A stacionárius pontok ($f'(x)=0$) és az értelmezési tartomány kizárt pontjai osztják fel a tartományt szakaszokra; ezeken az $f'$ előjele adja a monotonitást és a szélsőértékek típusát.
• Második derivált. Ahol $f''(x)>0$, a grafikon konvex; ahol $f''(x)<0$, konkáv. Ahol $f''$ előjelet vált és a függvény ott értelmezve van, ott inflexiós pont van.

6. Kidolgozott példa: teljes vizsgálat

Vizsgáljuk meg a $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$ függvényt.

1. Értelmezési tartomány. A nevező nem lehet nulla, tehát $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
2. Szimmetria. $f(-x)=\dfrac{x^{2}}{-x-1}=-\dfrac{x^{2}}{x+1}$, ami se nem $f(x)$, se nem $-f(x)$: a függvény se nem páros, se nem páratlan.
3. Zérushely. $x^{2}=0$ miatt $x=0$, kétszeres gyökként: a grafikon itt érinti a tengelyt, nem metszi. Ez egyben az y-tengelymetszet is: $f(0)=0$.
4. Aszimptoták. Az $x=1$ pontban $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ és $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$: függőleges aszimptota $x=1$. A számláló fokszáma eggyel nagyobb a nevezőénél, tehát ferde aszimptotát várunk; polinomosztással:
   $$\frac{x^{2}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$$
   Mivel $\frac{1}{x-1}\to 0$, ha $x\to\pm\infty$, az aszimptota $y=x+1$.
5. Első derivált. Hányadosszabállyal:
   $$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^{2}}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}$$
   A nevező mindig pozitív, tehát az előjelet a számláló dönti el. Stacionárius pontok: $x=0$ és $x=2$.
6. Monotonitás és szélsőérték. $f'>0$ a $(-\infty,0)$ és a $(2,+\infty)$ intervallumon, $f'<0$ a $(0,1)$ és az $(1,2)$ intervallumon. A $+$ és $-$ közti váltás miatt $x=0$-ban lokális maximum van ($f(0)=0$), $x=2$-ben pedig lokális minimum ($f(2)=4$).
7. Második derivált. Ismét deriválva:
   $$f''(x)=\frac{2}{(x-1)^{3}}$$
   Ez sosem nulla, tehát nincs inflexiós pont: $x=1$ ugyan előjelváltás, de a függvény ott nincs értelmezve. $f''<0$, ha $x<1$ (konkáv), és $f''>0$, ha $x>1$ (konvex).

Összefoglalva:

7. Tipikus hibák

• Az értelmezési tartomány kihagyása az elején. Egy stacionárius pont vagy egy aszimptota csak akkor számít, ha a függvény ott (vagy annak közelében) egyáltalán értelmezve van. Ha ezt a lépést kihagyod, könnyen belefuthatsz egy nem létező pontba.
• Elfelejtett ferde aszimptota. Ha csak azt nézzük, hogy a függvény a végtelenben végtelenhez tart, és megállunk ott, lemarad a $y=mx+b$ egyenes, pedig a fokszámok különbsége (pontosan eggyel) ezt előre jelzi.
• Szélsőérték a tartományon kívüli pontban. Az $f'(x)=0$ egyenlet megoldásai közül csak azok számítanak, amelyek az értelmezési tartományban vannak.
• Előjelváltás automatikusan inflexiós pont. Csak akkor az, ha a függvény az adott pontban értelmezve van: egy aszimptotánál történő előjelváltás nem inflexiós pont.