Sorozatok határértékének kiszámítása

1. Műveletek határértékkel

Ebben a leckében azokat a fogásokat szedtem össze Neked, amikkel a határérték-feladatok túlnyomó része megoldható. Kezdjük a legegyszerűbbel: ha két sorozat konvergens, akkor az összegük, a különbségük, a szorzatuk és (nem nulla nevező esetén) a hányadosuk is konvergens, mégpedig ahhoz az értékhez, amit várnánk:

Műveleti szabályok

\lim (a_n\pm b_n)=A\pm B,\qquad \lim (a_n b_n)=AB,\qquad \lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\ \ (B\neq 0)

Egy egyszerű példa

Legyen $a_n=2+\frac{1}{n}$ és $b_n=3-\frac{1}{n}$ . Az első 2-höz, a második 3-hoz tart, mert az $\frac1n$ egyre kisebb lesz. A szabályok szerint ekkor $a_n+b_n\to 5$ , $a_n b_n\to 6$ és $\frac{a_n}{b_n}\to\frac23$ . Nem kell semmit átalakítani, csak behelyettesíteni a határértékeket.

A hangsúly a konvergens szón van. Ha valamelyik sorozat a végtelenbe tart, ezek a szabályok nem alkalmazhatók közvetlenül, és előállnak a kritikus alakok:

\infty-\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad 0\cdot\infty,\qquad \frac{0}{0},\qquad 1^{\infty}

Ezek nem hibák, hanem jelzések: azt mondják, hogy a behelyettesítés nem dönti el a kérdést, és át kell alakítani a kifejezést. A következő szakaszok mind egy-egy ilyen átalakításról szólnak.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Racionális törtek: a legnagyobb hatvány kiemelése

Polinom per polinom alakban mindig $\frac{\infty}{\infty}$ áll elő. A megoldás egyetlen mozdulat: oszd el a számlálót is és a nevezőt is a nevező legnagyobb hatványával. Egy egészen egyszerű példán: a $\frac{2n+1}{n+3}$ sorozatnál n-nel osztunk, és $\frac{2+\frac1n}{1+\frac3n}\to\frac{2+0}{1+0}=2$ . Ugyanez a gondolat működik magasabb fokszámnál is:

Példa

\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-5n+1}{2n^{2}+7n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{7}{n}} =\frac{3-0+0}{2+0}=\frac{3}{2}

Osztás után minden $\frac{1}{n^k}$ alakú tag nullához tart, és csak a főegyütthatók maradnak.

Ebből a számolásból egy általános szabály olvasható ki, amit érdemes fejből tudni. Jelölje $p$ a számláló, $q$ a nevező fokszámát:

$p<q$ : a határérték 0. A nevező gyorsabban nő.
$p=q$ : a határérték a főegyütthatók hányadosa.
$p>q$ : a határérték $\pm\infty$ , az előjelet a főegyütthatók hányadosa adja.

3. Gyökös kifejezések: gyöktelenítés

Két gyökös tag különbsége tipikusan $\infty-\infty$ alakú. A fogás mindig ugyanaz: bővíts a konjugálttal, vagyis ugyanazzal a kifejezéssel, csak a középső jelet megfordítva. A nevezetes azonosság miatt a gyökök eltűnnek a számlálóból.

A konjugálttal bővítés

\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}

Egy egyszerű példa

Mennyi a $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ határértéke? Mindkét gyök a végtelenbe tart, tehát $\infty-\infty$ alakú. Bővítsünk a konjugálttal, vagyis a $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ kifejezéssel:

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\ \longrightarrow\ 0

A számlálóban 1 maradt, a nevező a végtelenbe tart, tehát a tört 0-hoz. Vagyis a két gyök különbsége egyre kisebb lesz, pedig mindkettő elszáll.

Példa

Számítsuk ki a $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^{2}+3n}-n\right)$ határértéket. Bővítünk a konjugálttal:

\sqrt{n^{2}+3n}-n=\frac{(n^{2}+3n)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}

Most már $\frac{\infty}{\infty}$ alakú, tehát jöhet az előző szakasz módszere: emeljünk ki n-et a nevezőből is.

\frac{3n}{n\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1\right)}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}\ \longrightarrow\ \frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}

Mit vártunk volna?

Nagy n-re $n^{2}+3n\approx\left(n+\tfrac{3}{2}\right)^{2}$ , tehát a gyök nagyjából $n+\tfrac32$ , és a különbség tényleg $\tfrac32$ . Ez a becslés nem helyettesíti a levezetést, de jó ellenőrzés: ha mást kaptál, keresd a hibát.

4. Nevezetes sorozatok

Ezeket a dolgozaton nem levezetni kell, hanem felismerni, ezért összegyűjtöttem őket egy táblázatba. Minden sor egy kész határérték $n\to\infty$ mellett, amire a számolás közben hivatkozhatsz.

a_n	határérték	feltétel
$q^{n}$	$0$	ha \|q\| < 1
$q^{n}$	$\infty$	ha q > 1
$\sqrt[n]{a}$	$1$	minden a > 0 esetén
$\sqrt[n]{n}$	$1$
$\dfrac{n^{k}}{q^{n}}$	$0$	ha q > 1, bármely k-ra
$\dfrac{q^{n}}{n!}$	$0$	minden q-ra
$\dfrac{n!}{n^{n}}$	$0$
$\dfrac{\ln n}{n}$	$0$
$\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^{n}$	$e^{x}$	x = 1 esetén ez maga az e

A táblázat közepe egyetlen gondolatot ismétel különböző alakban: van egy növekedési sorrend, és a gyorsabb mindig legyőzi a lassabbat.

Növekedési sorrend

\ln n \ \prec\ n^{k} \ \prec\ q^{n}\ (q>1) \ \prec\ n! \ \prec\ n^{n}

Ha egy törtben két különböző sebességű tag versenyez, elég megnézni, melyik van előrébb ebben a sorban: ha a gyorsabb a nevezőben van, akkor a határérték 0, ha a számlálóban, akkor végtelen. A $\frac{n^{100}}{2^{n}}\to 0$ ezért nem meglepetés, csak elsőre az.

Egy egyszerű példa: nézzük meg számokkal

Az $\frac{n^{2}}{2^{n}}$ sorozatban a hatványfüggvény versenyez az exponenciálissal. Az elején még nem látszik, ki nyer: $n=2$ -nél az érték $\frac{4}{4}=1$ , $n=4$ -nél $\frac{16}{16}=1$ . De $n=10$ -nél már $\frac{100}{1024}\approx 0{,}1$ , $n=20$ -nál pedig $\frac{400}{1\,048\,576}\approx 0{,}0004$ . Az exponenciális előrébb van a sorban, tehát a tört 0-hoz tart, pontosan úgy, ahogy a táblázat ígéri.

5. Az e szám és az 1 a végtelenediken alak

Az $\left(1+\frac1n\right)^{n}$ sorozat az előző lecke tétele szerint konvergens: monoton nő és 3 alatt marad. A határértéke egy új szám, amit $e$ -vel jelölünk.

Az e szám

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\approx 2{,}71828\qquad\text{általánosan}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}

Ez a $1^{\infty}$ kritikus alak mintapéldája: az alap 1-hez tart, a kitevő a végtelenbe, és az eredmény se nem 1, se nem végtelen. Minden ilyen feladat célja, hogy a kifejezést a fenti alakra hozzuk.

Egy egyszerű példa

A $\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}$ sorozat pontosan a képlet alakja $x=2$ mellett, tehát a határértéke $e^{2}$ . Ha a kitevőben nem n, hanem például $2n$ áll, akkor a hatványozás szabálya szerint $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}\to e^{2}$ . Ezt a két mozdulatot (mi van a számlálóban, és hányszorosa a kitevő) érdemes mindig külön megnézni.

Példa

Számítsuk ki a $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n}$ határértéket. Először írjuk az alapot $1+\text{valami}$ alakba:

\frac{n+2}{n-1}=\frac{(n-1)+3}{n-1}=1+\frac{3}{n-1}

A kitevőben n áll, a nevezőben $n-1$ . Ezt igazítjuk ki egy szorzótényezővel:

\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{n}=\underbrace{\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{n-1}}_{\to\ e^{3}}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{1}}_{\to\ 1}

Az első tényező a nevezetes alak $x=3$ mellett, a második 1-hez tart. A határérték tehát $e^{3}$ .

Az 1 a végtelenediken nem 1

A leggyakoribb hiba, hogy „az alap 1-hez tart, egy akárhanyadik hatványa 1, tehát a határérték 1”. Ez nem igaz: az alap nem pontosan 1, és a nullához tartó eltérést a végtelenbe tartó kitevő felnagyítja. Pontosan ezért kapunk $e^{3}$ -t 1 helyett.

6. A rendőrelv és a korlátos szorzó

Ha egy sorozatot nem tudsz közvetlenül kiszámolni, néha elég közrefogni két olyannal, amit igen. A nevét onnan kapta, hogy ha két rendőr ugyanoda tart, a közéjük fogott gyanúsítottnak is oda kell mennie.

Rendőrelv (közrefogási elv)

b_n\le a_n\le c_n \ \ \text{és}\ \ \lim b_n=\lim c_n=A \qquad\Longrightarrow\qquad \lim a_n=A

Egy egyszerű példa

Az $a_n=\frac{n}{n^{2}+1}$ sorozat tagjai pozitívak, tehát alulról a 0 közrefogja. Felülről: ha a nevezőből elhagyjuk a $+1$ -et, a tört csak nagyobb lesz, tehát $0\le\frac{n}{n^{2}+1}\le\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}$ . A két szélső sorozat 0-hoz tart, így a középső is: $\lim a_n=0$ .

Példa: gyök alatti összeg

Mennyi a $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}$ ? A gyök alatt a 3 hatványa dominál, ezért alulról és felülről is azzal becslünk:

\sqrt[n]{3^{n}}\ \le\ \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}\ \le\ \sqrt[n]{2\cdot 3^{n}}=3\cdot\sqrt[n]{2}

A bal oldal pontosan 3, a jobb oldal pedig $3\cdot 1=3$ felé tart, mert $\sqrt[n]{2}\to 1$ . A közrefogott sorozat határértéke tehát 3.

A rendőrelv leggyakoribb következménye egy külön is megjegyezhető szabály: nullsorozat szorozva korlátos sorozattal nullsorozat.

Példa: korlátos szorzó

A $\frac{\sin n}{n}$ sorozatnál a $\sin n$ nem konvergens, a műveleti szabály tehát nem használható. De $|\sin n|\le 1$ , ezért

-\frac{1}{n}\ \le\ \frac{\sin n}{n}\ \le\ \frac{1}{n}

A két szélső sorozat 0-hoz tart, tehát a középső is: $\lim\frac{\sin n}{n}=0$ .

7. Tipikus hibák

Műveleti szabály divergens sorozatokra. A $\lim(a_n-b_n)=\lim a_n-\lim b_n$ csak konvergens sorozatokra igaz. Ha mindkettő végtelenhez tart, a különbség bármi lehet, ezért kell a gyöktelenítés.
A $\infty-\infty=0$ hiedelem. A fenti példában az eredmény $\tfrac32$ volt, $\sqrt{n^{2}+3n}-n^{2}$ esetén pedig $-\infty$ . A kritikus alak semmit nem dönt el.
Az e-s alaknál a kitevő figyelmen kívül hagyása. A $\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n}$ határértéke nem $e^{2}$ , hanem $e^{6}$ : a kitevő szorzója a kitevőbe megy.
L'Hospital közvetlenül a sorozatra. A sorozat nem deriválható, mert csak egész helyeken van értelmezve. Ha használni akarod, előbb ki kell terjeszteni valós változóra, és ezt le is kell írni.

1. Műveletek határértékkel

2. Racionális törtek: a legnagyobb hatvány kiemelése

3. Gyökös kifejezések: gyöktelenítés

4. Nevezetes sorozatok

5. Az e szám és az 1 a végtelenediken alak

6. A rendőrelv és a korlátos szorzó

7. Tipikus hibák

Elakadtál menet közben?