Matek Barnával
Ingyenes tananyagok

Analízis 1

Sorozatok határértékének kiszámítása

A gyakorlati oldal: hogyan bánjunk a kritikus alakokkal, mik a nevezetes sorozatok, és hogyan kezeljük a rekurzív sorozatokat.

14 perc olvasás

1. Műveletek határértékkel

Ha két sorozat konvergens, akkor az összegük, a különbségük, a szorzatuk és (nem nulla nevező esetén) a hányadosuk is konvergens, mégpedig a várt értékhez:

Műveleti szabályok

lim⁡(an±bn)=A±B,lim⁡(anbn)=AB,lim⁡anbn=AB  (B≠0)\lim (a_n\pm b_n)=A\pm B,\qquad \lim (a_n b_n)=AB,\qquad \lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\ \ (B\neq 0)

A hangsúly a konvergens szón van. Ha valamelyik sorozat a végtelenbe tart, ezek a szabályok nem alkalmazhatók közvetlenül, és előállnak a kritikus alakok:

∞−∞,∞∞,0⋅∞,00,1∞\infty-\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad 0\cdot\infty,\qquad \frac{0}{0},\qquad 1^{\infty}

Ezek nem hibák, hanem jelzések: azt mondják, hogy a behelyettesítés nem dönti el a kérdést, és át kell alakítani a kifejezést. A következő szakaszok mind egy-egy ilyen átalakításról szólnak.

2. Racionális törtek: a legnagyobb hatvány kiemelése

Polinom per polinom alakban mindig ∞∞\frac{\infty}{\infty} áll elő. A megoldás egyetlen mozdulat: oszd el a számlálót is és a nevezőt is a nevező legnagyobb hatványával.

Példa

lim⁡n→∞3n2−5n+12n2+7n=lim⁡n→∞3−5n+1n22+7n=3−0+02+0=32\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-5n+1}{2n^{2}+7n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{7}{n}} =\frac{3-0+0}{2+0}=\frac{3}{2}

Osztás után minden 1nk\frac{1}{n^k} alakú tag nullához tart, és csak a főegyütthatók maradnak.

Ebből a számolásból egy általános szabály olvasható ki, amit érdemes fejből tudni. Jelölje pp a számláló, qq a nevező fokszámát:

  • p<qp<q: a határérték 0. A nevező gyorsabban nő.
  • p=qp=q: a határérték a főegyütthatók hányadosa.
  • p>qp>q: a határérték ±∞\pm\infty, az előjelet a főegyütthatók hányadosa adja.

3. Gyökös kifejezések: gyöktelenítés

Két gyökös tag különbsége tipikusan ∞−∞\infty-\infty alakú. A fogás mindig ugyanaz: bővíts a konjugálttal, vagyis ugyanazzal a kifejezéssel, csak a középső jelet megfordítva. A nevezetes azonosság miatt a gyökök eltűnnek a számlálóból.

A konjugálttal bővítés

A−B=(A−B)(A+B)A+B=A−BA+B\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}

Példa

Számítsuk ki a lim⁡n→∞(n2+3n−n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^{2}+3n}-n\right) határértéket. Bővítünk a konjugálttal:

n2+3n−n=(n2+3n)−n2n2+3n+n=3nn2+3n+n\sqrt{n^{2}+3n}-n=\frac{(n^{2}+3n)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}

Most már ∞∞\frac{\infty}{\infty} alakú, tehát jöhet az előző szakasz módszere: emeljünk ki n-et a nevezőből is.

3nn(1+3n+1)=31+3n+1 ⟶ 31+1=32\frac{3n}{n\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1\right)}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}\ \longrightarrow\ \frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}

Mit vártunk volna?

Nagy n-re n2+3n≈(n+32)2n^{2}+3n\approx\left(n+\tfrac{3}{2}\right)^{2}, tehát a gyök nagyjából n+32n+\tfrac32, és a különbség tényleg 32\tfrac32. Ez a becslés nem helyettesíti a levezetést, de jó ellenőrzés: ha mást kaptál, keresd a hibát.

4. Nevezetes sorozatok

Ezeket nem levezetni kell a dolgozaton, hanem felismerni. A táblázat minden sora egy kész határérték n→∞n\to\infty mellett.

a_nhatárértékfeltétel
qnq^{n}00ha |q| < 1
qnq^{n}∞\inftyha q > 1
an\sqrt[n]{a}11minden a > 0 esetén
nn\sqrt[n]{n}11
nkqn\dfrac{n^{k}}{q^{n}}00ha q > 1, bármely k-ra
qnn!\dfrac{q^{n}}{n!}00minden q-ra
n!nn\dfrac{n!}{n^{n}}00
ln⁡nn\dfrac{\ln n}{n}00
(1+xn)n\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^{n}exe^{x}x = 1 esetén ez maga az e

A táblázat közepe egyetlen gondolatot ismétel különböző alakban: van egy növekedési sorrend, és a gyorsabb mindig legyőzi a lassabbat.

Növekedési sorrend

ln⁡n ≺ nk ≺ qn (q>1) ≺ n! ≺ nn\ln n \ \prec\ n^{k} \ \prec\ q^{n}\ (q>1) \ \prec\ n! \ \prec\ n^{n}

Ha egy törtben két különböző sebességű tag versenyez, elég megnézni, melyik van előrébb ebben a sorban: ha a nevezőben, akkor a határérték 0, ha a számlálóban, akkor végtelen. A n1002n→0\frac{n^{100}}{2^{n}}\to 0 ezért nem meglepetés, csak elsőre az.

5. Az e szám és az 1 a végtelenediken alak

Az (1+1n)n\left(1+\frac1n\right)^{n} sorozat az előző lecke tétele szerint konvergens: monoton nő és 3 alatt marad. A határértéke egy új szám, amit ee-vel jelölünk.

Az e szám

lim⁡n→∞(1+1n)n=e≈2,71828aˊltalaˊnosanlim⁡n→∞(1+xn)n=ex\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\approx 2{,}71828\qquad\text{általánosan}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}

Ez a 1∞1^{\infty} kritikus alak mintapéldája: az alap 1-hez tart, a kitevő a végtelenbe, és az eredmény se nem 1, se nem végtelen. Minden ilyen feladat célja, hogy a kifejezést a fenti alakra hozzuk.

Példa

Számítsuk ki a lim⁡n→∞(n+2n−1)n\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n} határértéket. Először írjuk az alapot 1+valami1+\text{valami} alakba:

n+2n−1=(n−1)+3n−1=1+3n−1\frac{n+2}{n-1}=\frac{(n-1)+3}{n-1}=1+\frac{3}{n-1}

A kitevőben n áll, a nevezőben n−1n-1. Ezt igazítjuk ki egy szorzótényezővel:

(1+3n−1)n=(1+3n−1)n−1⏟→ e3⋅(1+3n−1)1⏟→ 1\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{n}=\underbrace{\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{n-1}}_{\to\ e^{3}}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{1}}_{\to\ 1}

Az első tényező a nevezetes alak x=3x=3 mellett, a második 1-hez tart. A határérték tehát e3e^{3}.

Az 1 a végtelenediken nem 1

A leggyakoribb hiba, hogy „az alap 1-hez tart, egy akárhanyadik hatványa 1, tehát a határérték 1”. Ez nem igaz: az alap nem pontosan 1, és a nullához tartó eltérést a végtelenbe tartó kitevő felnagyítja. Pontosan ezért kapunk e3e^{3}-t 1 helyett.

6. A rendőrelv és a korlátos szorzó

Ha egy sorozatot nem tudsz közvetlenül kiszámolni, néha elég közrefogni két olyannal, amit igen.

Rendőrelv (közrefogási elv)

bn≤an≤cn  eˊs  lim⁡bn=lim⁡cn=A⟹lim⁡an=Ab_n\le a_n\le c_n \ \ \text{és}\ \ \lim b_n=\lim c_n=A \qquad\Longrightarrow\qquad \lim a_n=A

Példa: gyök alatti összeg

Mennyi a lim⁡n→∞2n+3nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}? A gyök alatt a 3 hatványa dominál, ezért alulról és felülről is azzal becslünk:

3nn ≤ 2n+3nn ≤ 2⋅3nn=3⋅2n\sqrt[n]{3^{n}}\ \le\ \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}\ \le\ \sqrt[n]{2\cdot 3^{n}}=3\cdot\sqrt[n]{2}

A bal oldal pontosan 3, a jobb oldal pedig 3⋅1=33\cdot 1=3 felé tart, mert 2n→1\sqrt[n]{2}\to 1. A közrefogott sorozat határértéke tehát 3.

A rendőrelv leggyakoribb következménye egy külön is megjegyezhető szabály: nullsorozat szorozva korlátos sorozattal nullsorozat.

Példa: korlátos szorzó

A sin⁡nn\frac{\sin n}{n} sorozatnál a sin⁡n\sin n nem konvergens, a műveleti szabály tehát nem használható. De ∣sin⁡n∣≤1|\sin n|\le 1, ezért

−1n ≤ sin⁡nn ≤ 1n-\frac{1}{n}\ \le\ \frac{\sin n}{n}\ \le\ \frac{1}{n}

A két szélső sorozat 0-hoz tart, tehát a középső is: lim⁡sin⁡nn=0\lim\frac{\sin n}{n}=0.

7. Tipikus hibák

  • Műveleti szabály divergens sorozatokra. A lim⁡(an−bn)=lim⁡an−lim⁡bn\lim(a_n-b_n)=\lim a_n-\lim b_n csak konvergens sorozatokra igaz. Ha mindkettő végtelenhez tart, a különbség bármi lehet, ezért kell a gyöktelenítés.
  • A ∞−∞=0\infty-\infty=0 hiedelem. A fenti példában az eredmény 32\tfrac32 volt, n2+3n−n2\sqrt{n^{2}+3n}-n^{2} esetén pedig −∞-\infty. A kritikus alak semmit nem dönt el.
  • Az e-s alaknál a kitevő figyelmen kívül hagyása. A (1+2n)3n\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n} határértéke nem e2e^{2}, hanem e6e^{6}: a kitevő szorzója a kitevőbe megy.
  • L'Hospital közvetlenül a sorozatra. A sorozat nem deriválható, mert csak egész helyeken van értelmezve. Ha használni akarod, előbb ki kell terjeszteni valós változóra, és ezt le is kell írni.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalásaIngyenes konzultáció