Analízis 2

Kettős integrál

Integrálás nem egy szakaszon, hanem egy síkbeli tartományon: hogyan lesz belőle két egyszeres integrál, és hogyan írjuk fel a határokat.

14 perc olvasás

1. Mit jelent a kettős integrál?

Az egyváltozós határozott integrál a görbe alatti területet adta meg egy szakasz fölött. A kettős integrál ugyanez egy dimenzióval feljebb: egy $z=f(x,y)$ felület alatti térfogatot ad meg egy síkbeli $T$ tartomány fölött. Ebben a leckében azt szeretném megmutatni Neked, hogy a kettős integrál nem új technika, hanem két egymás utáni régi integrál, és a nehézség szinte mindig a határok felírásában van, nem a számolásban.

A kettős integrál

\iint_{T}f(x,y)\,dA\ \approx\ \sum_{i} f(x_i,y_i)\,\Delta A_i

A gondolat szó szerint ugyanaz, mint egy változóban: felosztjuk a tartományt apró darabokra, minden darab fölé egy hasábot állítunk, és összeadjuk a térfogatukat. Az integrál ennek az összegnek a határértéke.

Egy egyszerű példa: a doboz

Legyen $f(x,y)=2$ konstans a $T=[0,3]\times[0,1]$ téglalapon. A felület egy vízszintes sík 2 magasságban, alatta egy $3\times1\times2$ -es doboz van, aminek a térfogata 6. A kettős integrál pontosan ezt adja: minden apró hasáb magassága 2, az alapterületek összege a téglalap területe, 3, tehát $\iint_T 2\,dA=2\cdot3=6$ . Ha a magasság helyről helyre változik, ugyanezt csináljuk, csak a hasábok nem egyformák.

Ha $f\equiv 1$ , akkor minden hasáb magassága 1, tehát az integrál éppen a tartomány területét adja. Ez praktikus önellenőrzés: ha egy területszámítás nem jön ki, valószínűleg a határokkal van baj, nem a függvénnyel.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Integrálás téglalapon: a Fubini-tétel

A jó hír az, hogy soha nem kell kettős határértéket számolni. A Fubini-tétel szerint a kettős integrál két egymás utáni egyváltozós integrálásra bomlik.

Fubini-tétel téglalapon

\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\!\!\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_{c}^{d}\!\!\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)dy

A belső integrálásnál a másik változó konstansnak számít, pontosan úgy, ahogy a parciális deriválásnál. Téglalapon a sorrend szabadon választható, mindkettő ugyanazt adja. Próbáld ki a dobozon: $\int_0^3\left(\int_0^1 2\,dy\right)dx=\int_0^3 2\,dx=6$ , pontosan az, amit a térfogatból tudtunk. Egy kicsit érdekesebb integrandussal ugyanez a menet:

Példa

Számítsuk ki az $\iint_{T}(x+2y)\,dA$ integrált, ahol $T=[0,1]\times[0,2]$ .

Belső integrál y szerint, az x-et konstansnak véve:
$\int_{0}^{2}(x+2y)\,dy=\Big[xy+y^{2}\Big]_{y=0}^{y=2}=2x+4$
Külső integrál x szerint. Itt már közönséges egyváltozós integrál áll:
$\int_{0}^{1}(2x+4)\,dx=\Big[x^{2}+4x\Big]_{0}^{1}=5$

Ellenőrzés: a belső integrál eredménye

A belső integrálás után a beintegrált változónak el kell tűnnie. Ha az első lépés eredményében még mindig szerepel y, akkor vagy a határokat, vagy a változót tévesztetted el. Ez a leggyorsabb hibaszűrő az egész témakörben.

3. Normáltartomány: amikor a határok függvények

A valódi feladatokban a tartomány ritkán téglalap. A leggyakoribb eset a normáltartomány: az egyik változó két konstans között mozog, a másik pedig két függvény között.

x szerint normáltartomány

T=\{(x,y)\ :\ a\le x\le b,\ \ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\quad\Longrightarrow\quad \iint_{T}f\,dA=\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx

A külső határok mindig számok

Ez a témakör egyetlen igazán megjegyzendő szabálya. A belső integrál határai függhetnek a külső változótól, a külső integrál határai viszont mindig konstansok. Ha a végeredményben x vagy y maradt, a felírás hibás: az integrál értéke szám, nem függvény.

Egy egyszerű példa: háromszög fölött

Legyen $T$ az a háromszög, amit az $x$ tengely, az $y=x$ egyenes és az $x=1$ egyenes határol, és számoljuk ki a területét kettős integrállal ( $f\equiv1$ ). Egy rögzített $x$ -nél az $y$ 0-tól $x$ -ig fut, az $x$ pedig 0-tól 1-ig: $\int_0^1\int_0^x 1\,dy\,dx=\int_0^1 x\,dx=\frac12$ . Ez tényleg a háromszög területe. Figyeld meg: a belső határ függött $x$ -től, a külső két szám volt.

A határok felírása mindig ugyanaz a három lépés, ezt érdemes minden feladatnál végigjárni:

Rajzold le a tartományt. Ez nem elhagyható lépés, hanem maga a feladat nehezebbik fele. Keresd meg a határoló görbék metszéspontjait.
Vetítsd le a külső változó tengelyére. Az árnyék két széle adja a külső, konstans határokat.
Húzz egy függőleges egyenest egy tetszőleges x-nél. Ahol belép a tartományba, az az alsó, ahol kilép, az a felső belső határ.

Példa: két görbe közötti tartomány

Számítsuk ki az $\iint_{T}(x+y)\,dA$ integrált, ahol $T$ az $y=x^{2}$ parabola és az $y=x$ egyenes közötti tartomány.

Metszéspontok: $x^{2}=x$ , tehát $x=0$ és $x=1$ . Ez adja a külső határokat.
Melyik van felül? A $(0,1)$ intervallumon $x^{2}<x$ (próbáld ki $x=\tfrac12$ -nél), tehát a parabola az alsó, az egyenes a felső határ: $x^{2}\le y\le x$ .
Belső integrál:
$\int_{x^{2}}^{x}(x+y)\,dy=\Big[xy+\tfrac{y^{2}}{2}\Big]_{y=x^{2}}^{y=x}=\frac32x^{2}-x^{3}-\frac{x^{4}}{2}$
Külső integrál:
$\int_{0}^{1}\left(\frac32x^{2}-x^{3}-\frac{x^{4}}{2}\right)dx=\frac12-\frac14-\frac{1}{10}=\frac{3}{20}$

4. Az integrálási sorrend cseréje

Ugyanaz a tartomány általában kétféleképpen is leírható: x szerint és y szerint normálként. A két felírás ugyanazt az értéket adja, de a számolás nehézsége drámaian eltérhet.

A határokat nem lehet egyszerűen felcserélni

A sorrendcsere nem annyi, hogy a $dy\,dx$ helyére $dx\,dy$ -t írsz, és a határokat átmásolod. A tartományt újra le kell írni a másik változó szemszögéből, és ehhez gyakorlatilag mindig rajzolni kell.

Példa: amikor a csere ment meg

Számítsuk ki az $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{y^{2}}\,dy\,dx$ integrált. A belső integrál reménytelen: az $e^{y^{2}}$ függvénynek nincs elemi primitív függvénye.

Olvasd ki a tartományt a határokból: $0\le x\le 1$ és $x\le y\le 1$ . Ez az $y=x$ egyenes fölötti háromszög az egységnégyzetben.
Írd le ugyanezt y szerint: az y most 0-tól 1-ig megy, és egy rögzített y-nál az x a 0-tól az $y$ -ig fut. Vagyis $0\le y\le 1$ , $0\le x\le y$ .
Számolj a másik sorrendben. Most az $e^{y^{2}}$ a belső integrálban konstansnak számít:
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}e^{y^{2}}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}y\,e^{y^{2}}\,dy=\left[\frac{e^{y^{2}}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{e-1}{2}$

A csere után a maradék integrál $\frac{f'}{f}$ -szerű helyettesítés, néhány másodperc. Ha egy feladatban a belső integrál elvégezhetetlennek tűnik, ez szinte biztosan a keresett trükk.

5. Tipikus hibák

Változó a külső határokban. A külső integrál határai mindig konstansok. Ha nem azok, a tartomány felírása hibás.
A belső integrálásnál a másik változó „elfelejtése”. Az $\int (x+2y)\,dy$ integrálban az x konstans, tehát $xy$ lesz belőle, nem $\frac{x^{2}}{2}$ .
Rajz nélküli sorrendcsere. A határok átmásolása szinte mindig rossz eredményt ad. Az egyetlen megbízható út: felrajzolni a tartományt és újra leolvasni.
Alsó és felső határ felcserélése. Két görbe közti tartománynál ellenőrizd egy belső pont behelyettesítésével, melyik van felül. Fordítva a végeredmény előjelet vált.
Negatív terület. Ha $f\ge 0$ és negatív eredményt kaptál, a határok cseréltek fel. Mindig nézd meg, hogy az eredmény előjele értelmes-e.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció