Matek Barnával
Ingyenes tananyagok

Analízis 1

Görbe alatti terület

Az integrál értéke és a terület nem ugyanaz. Hol kell abszolút érték, hogyan számolunk két görbe közti területet, és mi a teendő a metszéspontokkal.

12 perc olvasás

1. Az integrál előjeles, a terület nem

Ha a függvény a teljes [a,b][a,b] szakaszon a tengely fölött fut, akkor nincs miről beszélni: a görbe alatti terület egyszerűen az integrál értéke.

Ha f nemnegatív

T=∫abf(x) dx(f(x)≥0 az [a,b]-n)T=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\qquad (f(x)\ge 0\ \text{az }[a,b]\text{-n})

Egy egyszerű példa

Mekkora a terület az y=x2y=x^{2} parabola alatt a [0,2][0,2] szakaszon? A parabola itt végig a tengely fölött van, tehát csak integrálni kell: T=∫02x2dx=[x33]02=83T=\int_{0}^{2}x^{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}. Nagyságrendi ellenőrzés: a befoglaló 2×42\times 4-es téglalap területe 8, és a parabola alatti rész ennek nagyjából a harmada. Stimmel.

A baj ott kezdődik, ahol a görbe a tengely alá bukik. Ott a határozott integrál negatív értékeket ad össze, tehát a tengely alatti darab levonódik a fölötte lévőből. A területet viszont mindenki pozitívnak érti. A kettőt tehát külön kell választani:

A valódi terület

T=∫ab∣f(x)∣ dxT=\int_{a}^{b}\big|f(x)\big|\,dx

Csakhogy abszolút értéket integrálni nem tudsz közvetlenül. Amit a gyakorlatban csinálsz: megkeresed, hol vált előjelet a függvény, szakaszokra bontod az intervallumot, és a negatív részek integrálját ellenkező előjellel veszed.

Egy egyszerű példa: a különbség két számban

Vegyük az f(x)=xf(x)=x egyenest a [−1,1][-1,1] szakaszon. Az integrál ∫−11x dx=[x22]−11=12−12=0\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0, mert a tengely alatti háromszög pont kioltja a fölöttit. A terület viszont két egyforma háromszög, egyenként 12\frac12, tehát T=12+12=1T=\frac12+\frac12=1. Ugyanez képlettel: a 0-nál kettévágunk, és a bal felet ellenkező előjellel vesszük: T=−∫−10x dx+∫01x dx=12+12=1T=-\int_{-1}^{0}x\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx=\frac12+\frac12=1.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalásavagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Amikor a görbe metszi a tengelyt

  1. Oldd meg az f(x)=0f(x)=0 egyenletet, és tartsd meg azokat a gyököket, amik az [a,b][a,b] szakaszon belül vannak. Ezek az osztópontok.
  2. Döntsd el minden részszakaszon a függvény előjelét: elég egy tetszőleges belső pontot behelyettesíteni.
  3. Számold ki külön az integrálokat, és a negatív előjelű szakaszokon vedd az integrál ellentettjét.
  4. Add össze a kapott (mind pozitív) darabokat.

Példa: a szinusz egy teljes periódusa

Mekkora a sin⁡x\sin x grafikonja és az xx tengely által bezárt terület a [0,2π][0,2\pi] szakaszon?

Az integrál értéke nulla, hiszen a második félhullám pontosan kioltja az elsőt:

∫02πsin⁡x dx=[−cos⁡x]02π=−1+1=0\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_{0}^{2\pi}=-1+1=0

A terület viszont nyilván nem nulla. Az előjelváltás x=πx=\pi-nél van, ezért:

T=∫0πsin⁡x dx−∫π2πsin⁡x dx=2−(−2)=4T=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=2-(-2)=4

Rajzolj, mielőtt integrálsz

Egy húszmásodperces vázlat megmutatja, hány szakaszra kell bontani, és nagyságrendileg mekkora eredményt vársz. Ha a végén negatív „területet” kapsz, akkor biztosan kimaradt egy előjelváltás — a rajz miatt ez azonnal kiderül.

3. Két görbe közti terület

A dolgozatokban ez a leggyakoribb változat. A szabály egyetlen mondat: felső mínusz alsó, a metszéspontok között.

Két görbe közti terület

T=∫ab(ffelso˝(x)−falsoˊ(x))dxT=\int_{a}^{b}\Big(f_{\text{felső}}(x)-f_{\text{alsó}}(x)\Big)dx

Ebben az alakban nincs szükség előjelvizsgálatra a tengelyre nézve: teljesen mindegy, hogy a két görbe a tengely fölött vagy alatt fut, csak az számít, melyik van feljebb. A különbség ott is pozitív, ahol mindkét függvény negatív.

Egy egyszerű példa

Mekkora a terület az y=x+1y=x+1 és az y=xy=x egyenes között a [0,3][0,3] szakaszon? Az első mindig eggyel feljebb van, tehát felső mínusz alsó: T=∫03((x+1)−x)dx=∫031 dx=3T=\int_{0}^{3}\big((x+1)-x\big)dx=\int_{0}^{3}1\,dx=3. Ez egy 3 széles, 1 magas ferde sáv (paralelogramma), és a területe tényleg 3. A képlet tehát azt teszi, amit vársz tőle; a következő példában csak a határokat kell magadnak megkeresned.

  1. Keresd meg a metszéspontokat: oldd meg az f(x)=g(x)f(x)=g(x) egyenletet. Ezek adják a határokat, ha a feladat nem ad meg mást.
  2. Döntsd el, melyik van felül. Egy köztes pont behelyettesítése elég hozzá.
  3. Integráld a különbséget. Ha a két görbe többször is metszi egymást, szakaszonként külön, mert a szerepük felcserélődik.

Példa: parabola és egyenes

Mekkora területet zár be az y=x2y=x^{2} parabola és az y=x+2y=x+2 egyenes?

  1. Metszéspontok: x2=x+2 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x1=−1, x2=2x^{2}=x+2\ \Rightarrow\ x^{2}-x-2=0\ \Rightarrow\ x_1=-1,\ x_2=2.
  2. Melyik van felül? A x=0x=0 pontban az egyenes értéke 2, a parabolának 0, tehát az egyenes a felső.
  3. T=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12T=\int_{-1}^{2}\big(x+2-x^{2}\big)dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}
    T=(2+4−83)−(12−2+13)=103+76=92T=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}

Ha többször metszik egymást

Az y=x3y=x^{3} és az y=xy=x három pontban metszi egymást: −1, 0, 1-1,\ 0,\ 1. A [−1,0][-1,0] szakaszon a köbös van felül, a [0,1][0,1]-en az egyenes. Egyetlen integrállal számolva a két rész kioltaná egymást, és nullát kapnál. Két külön integrál kell, mindkettő pozitív értékkel: T=14+14=12T=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12.

4. Mikor érdemes y szerint integrálni

Van, amikor a tartomány „fekvő”: az alsó vagy a felső határ nem egyetlen függvény, hanem szakaszonként változik. Ilyenkor a szerepek felcserélésével gyakran egyetlen integrál elég.

Integrálás y szerint

T=∫cd(xjobb(y)−xbal(y))dyT=\int_{c}^{d}\Big(x_{\text{jobb}}(y)-x_{\text{bal}}(y)\Big)dy

Példa: a fekvő parabola

Mekkora területet zár be az x=y2x=y^{2} görbe és az x=y+2x=y+2 egyenes?

xx szerint ez kellemetlen: a bal oldali határoló görbe a parabola két ága, tehát két integrál kellene. yy szerint viszont a jobb oldali határ végig az egyenes, a bal oldali végig a parabola:

y2=y+2 ⇒ y1=−1, y2=2y^{2}=y+2\ \Rightarrow\ y_1=-1,\ y_2=2
T=∫−12(y+2−y2)dy=92T=\int_{-1}^{2}\big(y+2-y^{2}\big)dy=\frac{9}{2}

Ugyanaz a szám jött ki, mint az előző fejezetben — nem véletlenül: ez ugyanaz az alakzat, csak az y=xy=x egyenesre tükrözve.

Hogyan döntsd el?

Rajzold fel a tartományt, és képzelj bele függőleges csíkokat. Ha minden csík ugyanattól a görbétől ugyanaddig tart, akkor xx szerint integrálj. Ha közben „gazdát cserél” az alsó vagy a felső határ, próbáld vízszintes csíkokkal, azaz yy szerint. Ugyanez a gondolat tér vissza később a kettős integrálnál a normáltartományoknál.

5. Tipikus hibák

  • Az integrál értékét írni a terület helyére. Ha a függvény előjelet vált, a kettő nem ugyanaz. Ha a feladat „területet” kérdez, a válasz sosem lehet negatív.
  • A metszéspontok kihagyása. Ha a feladat nem ad határokat, azokat neked kell kiszámolnod az f(x)=g(x)f(x)=g(x) egyenletből. Ellenőrizd, hogy mindegyik gyököt megtaláltad-e.
  • Fordítva kivonni. A „felső mínusz alsó” sorrend nem esztétikai kérdés: fordítva a terület negatív lesz. Egy köztes pont behelyettesítése két másodperc, és eldönti.
  • Több metszéspontnál egyetlen integrál. Ahol a két görbe helyet cserél, ott új integrál kezdődik. Egyben számolva a részek kiolthatják egymást.
  • Rajz nélkül nekiindulni. A legtöbb hiba a fentiek közül azonnal látszana egy vázlaton. Ez az a feladattípus, ahol a rajz nem díszítés, hanem a megoldás része.
Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalásaCsoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)