Analízis 1

Görbe alatti terület

Az integrál értéke és a terület nem ugyanaz. Hol kell abszolút érték, hogyan számolunk két görbe közti területet, és mi a teendő a metszéspontokkal.

12 perc olvasás

1. Az integrál előjeles, a terület nem

Ha a függvény a teljes $[a,b]$ szakaszon a tengely fölött fut, akkor nincs miről beszélni: a görbe alatti terület egyszerűen az integrál értéke.

Ha f nemnegatív

T=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\qquad (f(x)\ge 0\ \text{az }[a,b]\text{-n})

A baj ott kezdődik, ahol a görbe a tengely alá bukik. Ott a határozott integrál negatív értékeket ad össze, tehát a tengely alatti darab levonódik a fölötte lévőből. A területet viszont mindenki pozitívnak érti. A kettőt tehát külön kell választani:

A valódi terület

T=\int_{a}^{b}\big|f(x)\big|\,dx

Csakhogy abszolút értéket integrálni nem tudsz közvetlenül. Amit a gyakorlatban csinálsz: megkeresed, hol vált előjelet a függvény, szakaszokra bontod az intervallumot, és a negatív részek integrálját ellenkező előjellel veszed.

2. Amikor a görbe metszi a tengelyt

Oldd meg az $f(x)=0$ egyenletet, és tartsd meg azokat a gyököket, amik az $[a,b]$ szakaszon belül vannak. Ezek az osztópontok.
Döntsd el minden részszakaszon a függvény előjelét: elég egy tetszőleges belső pontot behelyettesíteni.
Számold ki külön az integrálokat, és a negatív előjelű szakaszokon vedd az integrál ellentettjét.
Add össze a kapott (mind pozitív) darabokat.

Példa: a szinusz egy teljes periódusa

Mekkora a $\sin x$ grafikonja és az $x$ tengely által bezárt terület a $[0,2\pi]$ szakaszon?

Az integrál értéke nulla, hiszen a második félhullám pontosan kioltja az elsőt:

\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_{0}^{2\pi}=-1+1=0

A terület viszont nyilván nem nulla. Az előjelváltás $x=\pi$ -nél van, ezért:

T=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=2-(-2)=4

Rajzolj, mielőtt integrálsz

Egy húszmásodperces vázlat megmutatja, hány szakaszra kell bontani, és nagyságrendileg mekkora eredményt vársz. Ha a végén negatív „területet” kapsz, akkor biztosan kimaradt egy előjelváltás — a rajz miatt ez azonnal kiderül.

3. Két görbe közti terület

A dolgozatokban ez a leggyakoribb változat. A szabály egyetlen mondat: felső mínusz alsó, a metszéspontok között.

Két görbe közti terület

T=\int_{a}^{b}\Big(f_{\text{felső}}(x)-f_{\text{alsó}}(x)\Big)dx

Ebben az alakban nincs szükség előjelvizsgálatra a tengelyre nézve: teljesen mindegy, hogy a két görbe a tengely fölött vagy alatt fut, csak az számít, melyik van feljebb. A különbség ott is pozitív, ahol mindkét függvény negatív.

Keresd meg a metszéspontokat: oldd meg az $f(x)=g(x)$ egyenletet. Ezek adják a határokat, ha a feladat nem ad meg mást.
Döntsd el, melyik van felül. Egy köztes pont behelyettesítése elég hozzá.
Integráld a különbséget. Ha a két görbe többször is metszi egymást, szakaszonként külön, mert a szerepük felcserélődik.

Példa: parabola és egyenes

Mekkora területet zár be az $y=x^{2}$ parabola és az $y=x+2$ egyenes?

Metszéspontok: $x^{2}=x+2\ \Rightarrow\ x^{2}-x-2=0\ \Rightarrow\ x_1=-1,\ x_2=2$ .
Melyik van felül? A $x=0$ pontban az egyenes értéke 2, a parabolának 0, tehát az egyenes a felső.
$T=\int_{-1}^{2}\big(x+2-x^{2}\big)dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$
$T=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}$

Ha többször metszik egymást

Az $y=x^{3}$ és az $y=x$ három pontban metszi egymást: $-1,\ 0,\ 1$ . A $[-1,0]$ szakaszon a köbös van felül, a $[0,1]$ -en az egyenes. Egyetlen integrállal számolva a két rész kioltaná egymást, és nullát kapnál. Két külön integrál kell, mindkettő pozitív értékkel: $T=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$ .

4. Mikor érdemes y szerint integrálni

Van, amikor a tartomány „fekvő”: az alsó vagy a felső határ nem egyetlen függvény, hanem szakaszonként változik. Ilyenkor a szerepek felcserélésével gyakran egyetlen integrál elég.

Integrálás y szerint

T=\int_{c}^{d}\Big(x_{\text{jobb}}(y)-x_{\text{bal}}(y)\Big)dy

Példa: a fekvő parabola

Mekkora területet zár be az $x=y^{2}$ görbe és az $x=y+2$ egyenes?

$x$ szerint ez kellemetlen: a bal oldali határoló görbe a parabola két ága, tehát két integrál kellene. $y$ szerint viszont a jobb oldali határ végig az egyenes, a bal oldali végig a parabola:

y^{2}=y+2\ \Rightarrow\ y_1=-1,\ y_2=2

T=\int_{-1}^{2}\big(y+2-y^{2}\big)dy=\frac{9}{2}

Ugyanaz a szám jött ki, mint az előző fejezetben — nem véletlenül: ez ugyanaz az alakzat, csak az $y=x$ egyenesre tükrözve.

Hogyan döntsd el?

Rajzold fel a tartományt, és képzelj bele függőleges csíkokat. Ha minden csík ugyanattól a görbétől ugyanaddig tart, akkor $x$ szerint integrálj. Ha közben „gazdát cserél” az alsó vagy a felső határ, próbáld vízszintes csíkokkal, azaz $y$ szerint. Ugyanez a gondolat tér vissza később a kettős integrálnál a normáltartományoknál.

5. Tipikus hibák

Az integrál értékét írni a terület helyére. Ha a függvény előjelet vált, a kettő nem ugyanaz. Ha a feladat „területet” kérdez, a válasz sosem lehet negatív.
A metszéspontok kihagyása. Ha a feladat nem ad határokat, azokat neked kell kiszámolnod az $f(x)=g(x)$ egyenletből. Ellenőrizd, hogy mindegyik gyököt megtaláltad-e.
Fordítva kivonni. A „felső mínusz alsó” sorrend nem esztétikai kérdés: fordítva a terület negatív lesz. Egy köztes pont behelyettesítése két másodperc, és eldönti.
Több metszéspontnál egyetlen integrál. Ahol a két görbe helyet cserél, ott új integrál kezdődik. Egyben számolva a részek kiolthatják egymást.
Rajz nélkül nekiindulni. A legtöbb hiba a fentiek közül azonnal látszana egy vázlaton. Ez az a feladattípus, ahol a rajz nem díszítés, hanem a megoldás része.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció