Gyakorló feladatsor: határozott integrál

Megoldás

Tagonként keresünk primitív függvényt, majd Newton–Leibniz. A $+C$ itt nem kell, kiesne a kivonásban.

Megoldás

1. Legyen $u=x^{2}+1$, ekkor $du=2x\,dx$, tehát $x\,dx=\frac{du}{2}$.
2. Az új határok: $x=0\Rightarrow u=1$ és $x=1\Rightarrow u=2$. Ezzel nem kell visszahelyettesíteni.
3. $$\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^{2}+1}=\frac12\int_{1}^{2}\frac{du}{u}=\frac12\Big[\ln u\Big]_{1}^{2}=\frac{\ln 2}{2}$$

Megoldás

1. Parciális integrálás, a szokásos trükkel: $u=\ln x$ és $v'=1$, tehát $u'=\frac1x$ és $v=x$.
2. $$\int_{1}^{e}\ln x\,dx=\Big[x\ln x\Big]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}x\cdot\frac{1}{x}\,dx$$
3. A maradék integrál már triviális:
   $$=\big(e\cdot 1-0\big)-\Big[x\Big]_{1}^{e}=e-(e-1)=1$$

Megoldás

1. A tartomány szimmetrikus a nullára, ezért érdemes a két tagot külön nézni.
2. Az $x^{3}$ páratlan függvény, tehát az integrálja szimmetrikus tartományon $0$. Egy sort sem kell számolni.
3. Az $x^{2}$ páros, tehát elég a fél tartományon integrálni és kettővel szorozni:
   $$\int_{-1}^{1}x^{2}dx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac23$$
4. A végeredmény tehát $0+\frac23=\frac23$.

Megoldás

1. A határokat a metszéspontok adják: $4-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm 2$.
2. A parabola a $[-2,2]$ szakaszon végig a tengely fölött fut, tehát nincs szükség előjelvizsgálatra: az integrál értéke maga a terület.
3. A függvény páros, így elég a felét számolni:
   $$T=\int_{-2}^{2}\big(4-x^{2}\big)dx=2\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=2\left(8-\frac83\right)=\frac{32}{3}$$

Megoldás

1. Metszéspontok: $x^{2}=2x\Rightarrow x(x-2)=0$, tehát $x=0$ és $x=2$.
2. Melyik van felül? Az $x=1$ pontban az egyenes 2, a parabola 1, tehát az egyenes a felső.
3. $$T=\int_{0}^{2}\big(2x-x^{2}\big)dx=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=4-\frac83=\frac43$$

Megoldás

1. Körlapmódszer: $V=\pi\int_a^b f(x)^{2}dx$. A négyzetre emelés itt eltünteti a gyököt.
2. $$V=\pi\int_{0}^{4}\big(\sqrt{x}\big)^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=8\pi$$
3. Ellenőrzés nagyságrendre: a test belefér egy $r=2$ sugarú, $h=4$ magas hengerbe, aminek a térfogata $16\pi$. A $8\pi$ ennek a fele, ami hihető.

Megoldás

1. A derivált: $f'(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}$.
2. A gyök alatti kifejezés teljes négyzetté áll össze — ez a feladattípus lényege:
   $$1+\big(f'(x)\big)^{2}=1+\frac{x^{2}}{4}-\frac12+\frac{1}{4x^{2}}=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)^{2}$$
3. Az $[1,2]$ szakaszon a zárójelben álló kifejezés pozitív, tehát a gyök egyszerűen elhagyható:
   $$L=\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)dx=\left[\frac{x^{2}}{4}+\frac{\ln x}{2}\right]_{1}^{2}$$
4. $$L=\left(1+\frac{\ln 2}{2}\right)-\frac14=\frac34+\frac{\ln 2}{2}\approx 1{,}097$$