Fourier-transzformáció

1. A Fourier-sortól a transzformációig

A Fourier-sor egy periodikus jelet bontott fel: a felhasznált frekvenciák a körfrekvencia egész számú többszörösei voltak, tehát a spektrum diszkrét — különálló vonalak, egymástól $\frac{\pi}{L}$ távolságra.

Mi történik, ha a jel nem periodikus? A kézenfekvő ötlet: tekintsük úgy, mintha a periódusa végtelen lenne, és nézzük meg, mi lesz a sorral, ha $L\to\infty$ . A szomszédos frekvenciák távolsága ekkor nullához tart, a vonalak összeérnek, és két dolog változik meg:

A diszkrét $\frac{n\pi}{L}$ frekvenciákból folytonos $\omega$ változó lesz.
Az együtthatók összegéből integrál lesz — ahogy a Riemann-összegből is integrál lett, amikor a felosztást finomítottuk.

A végeredmény nem együtthatók sorozata, hanem egy függvény: minden $\omega$ frekvenciához megmondja, milyen erősen és milyen fázisban van jelen a jelben. Ez a jel spektruma.

Egy feltétel, amit érdemes tudni

A transzformált akkor létezik biztosan, ha a jel abszolút integrálható, azaz $\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,dt<\infty$ . Ez az, ami a periodikus jelekre nem teljesül — ezért van szükség rájuk a Fourier-sorra, és ezért jelenik meg a táblázat alján a $\delta$ , ha mégis transzformálni akarjuk őket.

2. A definíció és az inverz

Fourier-transzformáció

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt

Inverz transzformáció

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega

A kettő majdnem szimmetrikus: az egyetlen különbség az $e$ kitevőjének előjele és az $\frac{1}{2\pi}$ szorzó. Érdemes megjegyezni, melyik oldalon melyik van, mert a legtöbb elrontott feladat itt csúszik el.

Konvenciók: nézd meg, mit használ az előadó

Három elterjedt írásmód van, és mindegyik ugyanazt jelenti, csak máshova teszi a $2\pi$ -t:

Aszimmetrikus (a fenti): oda semmi, vissza $\frac{1}{2\pi}$ . Ez a leggyakoribb mérnöki jegyzetekben.
Szimmetrikus: mindkét irányban $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ . Matematikusabb előadásokon ez szokás, mert így a transzformáció normatartó.
Frekvenciás: $e^{-2\pi i f t}$ a kitevőben, és sehol nincs szorzó. Jelfeldolgozásban ez az elterjedt.

A táblázatok értékei konvenciónként eltérnek egy $2\pi$ hatványban. Mindig azt használd, amit az előadáson láttál, és írd is oda a dolgozat elejére, melyikkel dolgozol.

A transzformált általában komplex értékű, még akkor is, ha a jel valós. Az $|F(\omega)|$ az amplitúdóspektrum (mennyi van az adott frekvenciából), az argumentuma pedig a fázisspektrum. Valós $f$ esetén $F(-\omega)=\overline{F(\omega)}$ , tehát az amplitúdóspektrum páros — elég a pozitív felét megrajzolni.

3. Kidolgozott példák

Az ablakfüggvény: négyszögből sinc

Legyen $f(t)=1$ , ha $|t|\le a$ , és 0 egyébként. Az integrál csak a $[-a,a]$ szakaszon nem nulla:

F(\omega)=\int_{-a}^{a}e^{-i\omega t}dt=\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{-a}^{a}=\frac{e^{-i\omega a}-e^{i\omega a}}{-i\omega}

Az Euler-formulából $e^{i x}-e^{-i x}=2i\sin x$ , tehát a számláló $-2i\sin a\omega$ :

F(\omega)=\frac{2\sin a\omega}{\omega}=2a\,\operatorname{sinc}(a\omega)

Ez az egyik legfontosabb transzformáltpár. Vedd észre a „fordított arányt”: minél keskenyebb az ablak (kis $a$ ), annál szélesebb a spektruma. Egy rövid impulzushoz sok frekvencia kell.

Egyoldalas exponenciális

Legyen $f(t)=e^{-at}$ , ha $t\ge0$ (és 0 negatív időkre), ahol $a>0$ :

F(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-i\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+i\omega)t}dt=\left[\frac{e^{-(a+i\omega)t}}{-(a+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{a+i\omega}

A felső határnál a kifejezés nullához tart, mert $|e^{-(a+i\omega)t}|=e^{-at}\to0$ — a képzetes rész csak forgat, a nagyságot az $a$ viszi le. Pontosan ezért kellett $a>0$ .

Kétoldalas exponenciális

Ha $f(t)=e^{-a|t|}$ , az integrált ketté kell bontani, mert az abszolút érték előjelet vált:

F(\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-i\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{a-i\omega}+\frac{1}{a+i\omega}

F(\omega)=\frac{(a+i\omega)+(a-i\omega)}{a^{2}+\omega^{2}}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}

A jel páros, és a transzformáltja valós lett — ez nem véletlen: páros valós jel spektruma mindig valós és páros.

4. Nevezetes transzformáltpárok

f(t)	F(ω)
$\text{ablak: }1\ \ (\|t\|\le a),\ 0\ \text{egyébként}$	$\dfrac{2\sin a\omega}{\omega}$
$e^{-at}u(t)\quad (a>0)$	$\dfrac{1}{a+i\omega}$
$e^{-a\|t\|}\quad (a>0)$	$\dfrac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$
$e^{-t^{2}/2}$	$\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^{2}/2}$
$\delta(t)$	$1$
$1$	$2\pi\,\delta(\omega)$

Az utolsó két sor formális

A $\delta$ nem függvény, hanem disztribúció, és az utolsó két sor csak ebben a tágabb értelemben igaz. A gyakorlatban mégis ezekkel dolgozunk: az $\mathcal{F}\{\delta\}=1$ azt mondja, hogy egy pillanatszerű ütés minden frekvenciát egyformán tartalmaz — ezért lehet vele egy rendszert „megkopogtatni”, és a válaszából leolvasni a viselkedését.

5. A tételek, amikkel táblázatból lehet dolgozni

A definíciót ritkán kell kiszámolni: a legtöbb feladat egy táblázati pár plusz egy-két tétel. Ezek a tételek arról szólnak, hogy egy időbeli művelet mivé válik a frekvenciatartományban.

Linearitás. $\mathcal{F}\{\alpha f+\beta g\}=\alpha F+\beta G$
Időeltolás. $\mathcal{F}\{f(t-a)\}=e^{-i\omega a}F(\omega)$ — a késleltetés csak a fázist forgatja, az amplitúdóspektrumot nem változtatja meg.
Moduláció (frekvenciaeltolás). $\mathcal{F}\{e^{i\omega_{0}t}f(t)\}=F(\omega-\omega_{0})$ — az előző tükörképe: szorzás vivőjellel a spektrumot tolja el.
Skálázás. $\mathcal{F}\{f(at)\}=\frac{1}{|a|}F\!\left(\frac{\omega}{a}\right)$ — az időben összenyomott jel spektruma szétterül, és fordítva.
Deriválás. $\mathcal{F}\{f'\}=i\omega\,F(\omega)$ — a deriválásból szorzás lesz, ugyanúgy, mint a Laplace-transzformációnál. Ez teszi használhatóvá differenciálegyenletekre.
Konvolúció. $\mathcal{F}\{f*g\}=F(\omega)\,G(\omega)$ — a konvolúcióból egyszerű szorzás lesz. Ez a jelfeldolgozás legtöbbet használt tétele: egy szűrő hatása a frekvenciatartományban egy szorzás.

Parseval–Plancherel-formula

\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2}d\omega

Ez a jel energiájáról szól: mindegy, hogy időben vagy frekvenciában számoljuk össze, ugyanannyi jön ki. A Fourier-soroknál látott Parseval-formula folytonos megfelelője.

Tétel használata számolás helyett

Mennyi az $f(t)=e^{-3|t-2|}$ transzformáltja? Nem kell integrálni: a táblázat harmadik sora $a=3$ -mal megadja az eltolatlan jelét, az időeltolás tétele pedig hozzáteszi a fázistényezőt:

\mathcal{F}\{e^{-3|t|}\}=\frac{6}{9+\omega^{2}}\quad\Longrightarrow\quad F(\omega)=e^{-2i\omega}\cdot\frac{6}{9+\omega^{2}}

6. Kapcsolat a Laplace-transzformációval

A két transzformáció közel áll egymáshoz, és a vizsgán gyakori kérdés, mi a különbség. Írjuk egymás mellé a definíciókat:

\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\qquad \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt

Az integrálási tartomány. A Laplace $0$ -tól indul, tehát a jel „múltja” nem érdekli — ezért illik hozzá a kezdetiérték-feladat. A Fourier az egész időtengelyen integrál.
A kitevő. A Laplace $s=\sigma+i\omega$ komplex változóval dolgozik, aminek a valós része egy $e^{-\sigma t}$ csillapítást visz be. Ettől olyan jelekre is létezik, amik nem csengenek le — a Fourier-transzformációhoz viszont abszolút integrálhatóság kell.
Az összefüggés. Ha a jel $t<0$ -ra nulla és a képlet a képzetes tengelyen is konvergál, akkor a Fourier-transzformált a Laplace-transzformált megszorítása erre a tengelyre:

A két transzformáció kapcsolata

F(\omega)=\mathcal{L}\{f\}(s)\Big|_{s=i\omega}

Jó ellenőrzés: a fenti egyoldalas exponenciálisra $\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}$ , és $s=i\omega$ behelyettesítésével valóban $\frac{1}{a+i\omega}$ jön ki.

Melyiket mire

Laplace: kezdetiérték-feladat, bekapcsolási jelenség, szabályozás — ott, ahol van egy $t=0$ kezdőpillanat. Fourier: spektrumelemzés, szűrés, állandósult állapot — ott, ahol az érdekes kérdés az, hogy milyen frekvenciák vannak a jelben.

7. Tipikus hibák

Konvenciók keverése. Ha a definícióban nincs $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ , akkor a táblázatban sem lehet. Egy feladaton belül végig ugyanazt használd, és írd is le, melyiket.
Előjelhiba a kitevőben. Oda $e^{-i\omega t}$ , vissza $e^{+i\omega t}$ . Felcserélve a spektrum tükröződik.
Az abszolút érték figyelmen kívül hagyása. Az $e^{-a|t|}$ integrálját két részre kell bontani; egyben számolva rossz eredmény jön ki.
Valós eredményt várni. A transzformált általában komplex. Ha a feladat spektrumot kérdez, jellemzően az $|F(\omega)|$ a válasz, nem maga az $F$ .
A skálázási tételből kimaradó nevező. Az $f(at)$ transzformáltjában az $\frac{1}{|a|}$ szorzó nem elhagyható, és az abszolút érték sem: negatív $a$ -ra enélkül előjelhibát kapsz.