Analízis 2

Differenciálegyenletek: alapfogalmak

Mit jelent az, hogy egy egyenlet ismeretlenje nem szám, hanem függvény: rend, általános és partikuláris megoldás, kezdetiérték-feladat.

10 perc olvasás

1. Mi az a differenciálegyenlet?

Egy közönséges egyenletben az ismeretlen egy szám: az $x^{2}-5x+6=0$ megoldása a 2 és a 3. Differenciálegyenletben az ismeretlen egy függvény, és az egyenletben nemcsak a függvény, hanem a deriváltja is szerepel:

y'=2x,\qquad y'+3y=0,\qquad y''-4y'+4y=e^{x}

Megoldani annyit tesz: megtalálni minden olyan függvényt, ami behelyettesítve azonosságot ad. Az elsőnél ez könnyű — ez gyakorlatilag egy integrálás:

y'=2x\quad\Longrightarrow\quad y=x^{2}+C

Vedd észre a $+C$ -t: nem egyetlen megoldás van, hanem végtelen sok, egy egész függvénysereg. Ez a differenciálegyenletek alaptapasztalata, és minden további fogalom ebből következik.

Miért ez az egész?

A természettörvények nagy része differenciálegyenlet alakjában fogalmazódik meg, mert azt írják le, hogy egy mennyiség hogyan változik. A radioaktív bomlás ( $y'=-ky$ ), a lehűlés, a rezgőmozgás ( $y''+\omega^{2}y=0$ ) vagy egy RC-kör feszültsége mind ilyen. A megoldás az, ami megmondja, mi lesz a rendszerrel az idő múlásával.

2. Rend és típus

Mielőtt bármit megoldanál, be kell sorolni az egyenletet — a megoldási módszer ugyanis kizárólag a típustól függ. Három kérdést érdemes feltenni.

Mennyi a rendje? A legmagasabb előforduló derivált rendje. Az $y'+3y=x$ elsőrendű, az $y''-4y'+4y=0$ másodrendű.
Közönséges vagy parciális? Ha az ismeretlen függvény egyváltozós, az egyenlet közönséges (ez a mi esetünk); ha többváltozós és parciális deriváltak szerepelnek benne, akkor parciális differenciálegyenlet — az már külön tárgy.
Lineáris? Akkor lineáris, ha az $y$ és a deriváltjai csak első hatványon, egymással nem összeszorozva szerepelnek. Az $y'+xy=\sin x$ lineáris; az $y'=y^{2}$ vagy az $y\,y'=x$ nem.

A linearitás az y-ra vonatkozik, nem az x-re

Az $y'+x^{2}y=e^{x^{3}}$ egyenlet lineáris, pedig tele van csúnya $x$ -es kifejezéssel. Az $x$ szerepelhet akárhogyan: ő csak együttható. Csak az számít, hogyan szerepel benne az $y$ és a deriváltjai. Ez a különbségtétel dönti el, hogy melyik lecke módszerét kell elővenned.

3. Általános és partikuláris megoldás

Az $n$ -edrendű egyenlet általános megoldásában $n$ darab szabad konstans van — annyi, ahányszor integrálni kellett hozzá.

Általános megoldás: a konstansokat tartalmazó függvénysereg, ami az összes megoldást leírja. Elsőrendűnél egy konstans, másodrendűnél kettő.
Partikuláris megoldás: a seregnek egy konkrét tagja, amit a konstansok rögzítésével kapunk.

Példa

Az $y'=y$ egyenlet általános megoldása $y=Ce^{x}$ . Ez egy görbesereg: minden $C$ egy másik exponenciális görbét ad, és ezek kitöltik a síkot. A $y=3e^{x}$ ennek egy partikuláris megoldása.

Geometriailag ez azt jelenti, hogy az általános megoldás görbék serege, és a sík (majdnem) minden pontján pontosan egy ilyen görbe halad át. Egy konkrét megoldás kiválasztásához tehát elég egyetlen pontot megadni — ez vezet a következő fogalomhoz.

4. Kezdetiérték-feladat

A feladatok többsége nem áll meg az általános megoldásnál, hanem megad egy feltételt is, például azt, hogy a keresett függvény milyen értéket vesz fel egy adott helyen:

Kezdetiérték-feladat

y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}

Az eljárás mindig ugyanez a két lépés: előbb az általános megoldás, utána a konstans. Fordítva nem működik, és félmegoldásért nincs teljes pontszám.

Példa

Oldjuk meg az $y'=2x$ egyenletet az $y(1)=5$ feltétellel. Az általános megoldás $y=x^{2}+C$ , ide behelyettesítve:

5=1^{2}+C\ \Longrightarrow\ C=4\ \Longrightarrow\ y=x^{2}+4

Másodrendűnél két feltétel kell

Ha az egyenlet másodrendű, két konstans van, tehát két adat kell a rögzítésükhöz — jellemzően $y(x_0)$ és $y'(x_0)$ . Ilyenkor a behelyettesítés egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert ad; ehhez a második egyenlethez a megoldás deriváltját is fel kell írni.

5. Ellenőrzés és iránymező

A differenciálegyenleteknek van egy nagy előnyük a vizsgán: a megoldás mindig ellenőrizhető. Deriváld vissza, amit kaptál, és helyettesítsd be az eredeti egyenletbe. Ha azonosságot kapsz, jó; ha nem, ott a hiba. Ez a lépés két percbe kerül, és a legtöbb elrontott feladatot megmenti.

Ellenőrzés

Igaz-e, hogy $y=Ce^{-3x}$ megoldása az $y'+3y=0$ egyenletnek?

y'=-3Ce^{-3x}\ \Longrightarrow\ y'+3y=-3Ce^{-3x}+3Ce^{-3x}=0\quad\checkmark

Van egy szemléletes eszköz is. Az $y'=f(x,y)$ egyenlet a sík minden pontjában megmondja, mekkora meredekségű a rajta áthaladó megoldás. Ha sok pontban felrajzolunk egy rövid, ilyen meredekségű vonaldarabot, megkapjuk az iránymezőt, amiből a megoldásgörbék alakja leolvasható anélkül, hogy bármit megoldanánk. Az $y'=y$ iránymezője például a tengely fölött felfelé, alatta lefelé mutat, egyre meredekebben — pontosan az exponenciális viselkedés.

Innen hova tovább

A következő három lecke egy-egy megoldható típust vesz sorra: szétválasztható változójú, elsőrendű lineáris, majd a másodrendű állandó együtthatós egyenletek. A besorolás tehát nem formaság: ez dönti el, melyik módszert veszed elő.

6. Tipikus hibák

A $+C$ elhagyása. Enélkül nem az általános megoldást adtad meg, csak egy darabot belőle. Differenciálegyenletnél ez tartalmi hiba, nem figyelmetlenség.
Kevesebb konstans, mint amennyi a rend. Másodrendű egyenlet általános megoldásában két független konstansnak kell lennie. Ha csak egy van, valamit elveszítettél útközben.
A kezdeti feltétel túl korai behelyettesítése. Előbb mindig az általános megoldást írd fel teljesen, és csak a legvégén rögzítsd a konstanst.
Rossz típusbesorolás. Egy nemlineáris egyenletre alkalmazott lineáris módszer értelmes kinézetű, de hamis eredményt ad. A besorolás az első lépés, nem az utolsó.
Az ellenőrzés kihagyása. A visszahelyettesítés gyakorlatilag ingyen van, és minden számolási hibát megmutat.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció