Analízis 2

Differenciálegyenletek: alapfogalmak

Mit jelent az, hogy egy egyenlet ismeretlenje nem szám, hanem függvény: rend, általános és partikuláris megoldás, kezdetiérték-feladat.

10 perc olvasás

1. Mi az a differenciálegyenlet?

Ebben a leckében még nem oldunk meg nehéz egyenleteket: a célom az, hogy a fogalmakat tisztázzuk, mert a további leckék mind ezekre épülnek. Egy közönséges egyenletben az ismeretlen egy szám: az $x^{2}-5x+6=0$ megoldása a 2 és a 3. Differenciálegyenletben az ismeretlen egy függvény, és az egyenletben nemcsak a függvény, hanem a deriváltja is szerepel:

y'=2x,\qquad y'+3y=0,\qquad y''-4y'+4y=e^{x}

Megoldani annyit tesz: megtalálni minden olyan függvényt, ami behelyettesítve azonosságot ad. Az elsőnél ez könnyű — ez gyakorlatilag egy integrálás:

y'=2x\quad\Longrightarrow\quad y=x^{2}+C

Vedd észre a $+C$ -t: nem egyetlen megoldás van, hanem végtelen sok, egy egész függvénysereg. Ez a differenciálegyenletek alaptapasztalata, és minden további fogalom ebből következik.

Miért ez az egész?

A természettörvények nagy része differenciálegyenlet alakjában fogalmazódik meg, mert azt írják le, hogy egy mennyiség hogyan változik. A radioaktív bomlás ( $y'=-ky$ ), a lehűlés, a rezgőmozgás ( $y''+\omega^{2}y=0$ ) vagy egy RC-kör feszültsége mind ilyen. A megoldás az, ami megmondja, mi lesz a rendszerrel az idő múlásával.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Rend és típus

Mielőtt bármit megoldanál, be kell sorolni az egyenletet — a megoldási módszer ugyanis kizárólag a típustól függ. Az óráimon mindig ezt a három kérdést kérem először, mert ha a besorolás megvan, a feladat fele kész:

Mennyi a rendje? A legmagasabb előforduló derivált rendje. Az $y'+3y=x$ elsőrendű, az $y''-4y'+4y=0$ másodrendű.
Közönséges vagy parciális? Ha az ismeretlen függvény egyváltozós, az egyenlet közönséges (ez a mi esetünk); ha többváltozós és parciális deriváltak szerepelnek benne, akkor parciális differenciálegyenlet — az már külön tárgy.
Lineáris? Akkor lineáris, ha az $y$ és a deriváltjai csak első hatványon, egymással nem összeszorozva szerepelnek. Az $y'+xy=\sin x$ lineáris; az $y'=y^{2}$ vagy az $y\,y'=x$ nem.

Egy egyszerű példa: három egyenlet besorolása

$y'=x^{2}$ : elsőrendű (csak $y'$ van benne), lineáris (az $y$ nem is szerepel, a derivált első hatványon). Megoldani egy integrálás.
$y''+y=0$ : másodrendű, lineáris. Ez a rezgőmozgás egyenlete; a megoldásai szinuszok és koszinuszok, amit a másodrendű leckében fogunk kihozni.
$y'=y^{2}$ : elsőrendű, de nem lineáris, mert az $y$ négyzeten áll. Ide a szétválasztható módszer kell.

A linearitás az y-ra vonatkozik, nem az x-re

Az $y'+x^{2}y=e^{x^{3}}$ egyenlet lineáris, pedig tele van csúnya $x$ -es kifejezéssel. Az $x$ szerepelhet akárhogyan: ő csak együttható. Csak az számít, hogyan szerepel benne az $y$ és a deriváltjai. Ez a különbségtétel dönti el, hogy melyik lecke módszerét kell elővenned.

3. Általános és partikuláris megoldás

Az $n$ -edrendű egyenlet általános megoldásában $n$ darab szabad konstans van — annyi, ahányszor integrálni kellett hozzá.

Általános megoldás: a konstansokat tartalmazó függvénysereg, ami az összes megoldást leírja. Elsőrendűnél egy konstans, másodrendűnél kettő.
Partikuláris megoldás: a seregnek egy konkrét tagja, amit a konstansok rögzítésével kapunk.

Példa

Az $y'=y$ egyenlet általános megoldása $y=Ce^{x}$ . Ez egy görbesereg: minden $C$ egy másik exponenciális görbét ad, és ezek kitöltik a síkot. A $y=3e^{x}$ ennek egy partikuláris megoldása.

Geometriailag ez azt jelenti, hogy az általános megoldás görbék serege, és a sík (majdnem) minden pontján pontosan egy ilyen görbe halad át. Egy konkrét megoldás kiválasztásához tehát elég egyetlen pontot megadni — ez vezet a következő fogalomhoz.

4. Kezdetiérték-feladat

A feladatok többsége nem áll meg az általános megoldásnál, hanem megad egy feltételt is, például azt, hogy a keresett függvény milyen értéket vesz fel egy adott helyen:

Kezdetiérték-feladat

y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}

Az eljárás mindig ugyanez a két lépés: előbb az általános megoldás, utána a konstans. Fordítva nem működik, és félmegoldásért nincs teljes pontszám.

Példa

Oldjuk meg az $y'=2x$ egyenletet az $y(1)=5$ feltétellel. Az általános megoldás $y=x^{2}+C$ , ide behelyettesítve:

5=1^{2}+C\ \Longrightarrow\ C=4\ \Longrightarrow\ y=x^{2}+4

Másodrendűnél két feltétel kell

Ha az egyenlet másodrendű, két konstans van, tehát két adat kell a rögzítésükhöz — jellemzően $y(x_0)$ és $y'(x_0)$ . Ilyenkor a behelyettesítés egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert ad; ehhez a második egyenlethez a megoldás deriváltját is fel kell írni.

5. Ellenőrzés és iránymező

A differenciálegyenleteknek van egy nagy előnyük a vizsgán: a megoldás mindig ellenőrizhető. Deriváld vissza, amit kaptál, és helyettesítsd be az eredeti egyenletbe. Ha azonosságot kapsz, jó; ha nem, ott a hiba. Ez a lépés két percbe kerül, és a legtöbb elrontott feladatot megmenti.

Ellenőrzés

Igaz-e, hogy $y=Ce^{-3x}$ megoldása az $y'+3y=0$ egyenletnek?

y'=-3Ce^{-3x}\ \Longrightarrow\ y'+3y=-3Ce^{-3x}+3Ce^{-3x}=0\quad\checkmark

Van egy szemléletes eszköz is. Az $y'=f(x,y)$ egyenlet a sík minden pontjában megmondja, mekkora meredekségű a rajta áthaladó megoldás. Ha sok pontban felrajzolunk egy rövid, ilyen meredekségű vonaldarabot, megkapjuk az iránymezőt, amiből a megoldásgörbék alakja leolvasható anélkül, hogy bármit megoldanánk. Az $y'=y$ iránymezője például a tengely fölött felfelé, alatta lefelé mutat, egyre meredekebben — pontosan az exponenciális viselkedés.

Innen hova tovább

A következő három lecke egy-egy megoldható típust vesz sorra: szétválasztható változójú, elsőrendű lineáris, majd a másodrendű állandó együtthatós egyenletek. A besorolás tehát nem formaság: ez dönti el, melyik módszert veszed elő.

6. Tipikus hibák

A $+C$ elhagyása. Enélkül nem az általános megoldást adtad meg, csak egy darabot belőle. Differenciálegyenletnél ez tartalmi hiba, nem figyelmetlenség.
Kevesebb konstans, mint amennyi a rend. Másodrendű egyenlet általános megoldásában két független konstansnak kell lennie. Ha csak egy van, valamit elveszítettél útközben.
A kezdeti feltétel túl korai behelyettesítése. Előbb mindig az általános megoldást írd fel teljesen, és csak a legvégén rögzítsd a konstanst.
Rossz típusbesorolás. Egy nemlineáris egyenletre alkalmazott lineáris módszer értelmes kinézetű, de hamis eredményt ad. A besorolás az első lépés, nem az utolsó.
Az ellenőrzés kihagyása. A visszahelyettesítés gyakorlatilag ingyen van, és minden számolási hibát megmutat.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció