Gyakorló feladatsor: Gauss–Jordan

Megoldás

1. A bővített együtthatómátrix, majd az első oszlop kinullázása:
   $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 2 & -1 & 3 & 9 \\ 3 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]\xrightarrow[S_{3}-3S_{1}]{S_{2}-2S_{1}}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & -5 & 1 & -7 \\ 0 & -5 & -4 & -22 \end{array}\right]$$
2. A harmadik sorból kivonva a másodikat, majd osztva:
   $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & -5 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & -5 & -15 \end{array}\right]\quad\Longrightarrow\quad z=3$$
3. Innen visszafelé (vagy tovább redukált lépcsős alakig):
   $$-5y+3=-7\ \Rightarrow\ y=2,\qquad x+4+3=8\ \Rightarrow\ x=1$$
4. A redukált lépcsős alak ugyanezt mutatja:
   $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]\quad\Longrightarrow\quad (x,y,z)=(1,2,3)$$

Megoldás

1. $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]\xrightarrow[S_{3}-S_{1}]{S_{2}-2S_{1}}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right]$$
   A második sor teljesen kinullázódott — a jobb oldala is —, tehát az az egyenlet nem hordozott új információt (az első kétszerese volt).
2. A harmadik sort elosztva $-2$-vel: $y=1$. Ezt az elsőbe írva:
   $$x+z=2$$
3. Két nemnulla sor maradt, három ismeretlenre, tehát $3-2=1$ szabad paraméter van. Legyen $z=t$:
   $$(x,y,z)=(2-t,\;1,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}$$
4. A rangokkal megfogalmazva: $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A|b)=2<3$, tehát végtelen sok megoldás van.

Megoldás

1. $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right]\xrightarrow{S_{2}-2S_{1}}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$
2. A második sor azt mondja, hogy $0=3$. Ez ellentmondás, tehát a rendszernek nincs megoldása. A többi sorral már nem is érdemes foglalkozni.
3. Rangokkal: $\operatorname{rang}(A)=2$, de $\operatorname{rang}(A|b)=3$. Ha a bővített mátrix rangja nagyobb, a rendszer ellentmondásos.

Megoldás

1. Az együtthatómátrix determinánsa dönt:
   $$D=\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix}=a^{2}-1=(a-1)(a+1)$$
2. Ha $a\ne\pm1$ ($D\ne0$): pontosan egy megoldás. A két egyenletet kivonva $(a-1)(x-y)=0$, tehát $x=y$, és innen
   $$x=y=\frac{1}{a+1}$$
3. Ha $a=1$: mindkét egyenlet $x+y=1$, tehát végtelen sok megoldás van, egy szabad paraméterrel: $(t,\,1-t)$.
4. Ha $a=-1$: az egyenletek $-x+y=1$ és $x-y=1$. Összeadva $0=2$, tehát nincs megoldás.

Megoldás

1. Homogén rendszer, tehát a csupa nulla mindig megoldás; a kérdés az, van-e rajta kívül más. Ez akkor van, ha a rang kisebb az ismeretlenek számánál.
2. $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 4 & 0 \end{array}\right]\xrightarrow[S_{3}-S_{1}]{S_{2}-2S_{1}}\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 0 \end{array}\right]$$
   A második és a harmadik sor azonos, tehát az egyik kinullázható: $\operatorname{rang}=2<3$ — van nemtriviális megoldás.
3. A második sorból $-5y+5z=0$, azaz $y=z$. Az elsőbe írva: $x+2z-z=0$, tehát $x=-z$.
   $$(x,y,z)=(-t,\;t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}$$
4. A homogén rendszer megoldáshalmaza tehát egy origón átmenő egyenes a térben — a jobb oldal nulla volta miatt az ellentmondás esete itt sosem fordulhat elő.

Megoldás

1. Írjuk a mátrix mellé az egységmátrixot, és alakítsuk a bal oldalt egységmátrixszá — amit közben a jobb oldalon kapunk, az az inverz.
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$
2. A harmadik oszlop kinullázása a harmadik sor segítségével:
   $$\xrightarrow[S_{1}-3S_{3}]{S_{2}-4S_{3}}\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$
3. Végül a második oszlop:
   $$\xrightarrow{S_{1}-2S_{2}}\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$
4. $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
   Ellenőrzés: $AA^{-1}$ első sora $(1,\ -2+2,\ 5-8+3)=(1,0,0)$ — stimmel.

Megoldás

1. A rang a lépcsős alak nemnulla sorainak száma. Az első oszlop kinullázása:
   $$\xrightarrow[S_{3}-3S_{1}]{S_{2}-2S_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}$$
2. A két alsó sor azonos, tehát a különbségük nulla:
   $$\xrightarrow{S_{3}-S_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
3. Két nemnulla sor maradt, tehát $\operatorname{rang}(A)=2$. Figyeld meg, hogy a második oszlop végig nulla maradt a vezéregyes alatt — a rangot nem az oszlopok száma, hanem a vezéregyesek száma adja.

Megoldás

1. Két egyenlet, négy ismeretlen: a rendszer biztosan alulhatározott, tehát vagy nincs megoldás, vagy végtelen sok van.
   $$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right]\xrightarrow{S_{2}-2S_{1}}\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & -3 & -6 \end{array}\right]$$
2. A második sort $(-1)$-gyel szorozva, majd az elsőből kivonva:
   $$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 \end{array}\right]$$
3. A vezéregyesek az $x_{1}$ és az $x_{3}$ oszlopában vannak, tehát $x_{2}$ és $x_{4}$ a szabad paraméterek. Legyen $x_{2}=s$ és $x_{4}=t$:
   $$x_{3}=6-3t,\qquad x_{1}=-1-2s+2t$$
4. $$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(-1-2s+2t,\;s,\;6-3t,\;t),\qquad s,t\in\mathbb{R}$$
   Ellenőrzés $s=t=0$-val: $(-1,0,6,0)$, és tényleg $-1+0+6+0=5$, illetve $-2+0+6-0=4$.