Gyakorló feladatsor: integrálás

Megoldás

Tagonként, az alapintegrálokkal.

Megoldás

1. Írjuk hatvány alakba: $3x^{1/2}+2x^{-2}$.
2. Tagonként integrálva: $3\cdot\dfrac{x^{3/2}}{3/2}+2\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1}$.
3. Rendezve:
   $$2x^{3/2}-\frac{2}{x}+C$$

Megoldás

1. A belső függvény lineáris ($4x+1$), tehát a lineáris belső függvény szabálya alkalmazható.
2. A külső integrálja $\tfrac{u^{6}}{6}$, ezt osztjuk a belső együtthatójával, 4-gyel.
3. Tehát:
   $$\int (4x+1)^{5}\,dx=\frac{(4x+1)^{6}}{24}+C$$

Megoldás

1. Legyen $u=x^{2}$, ekkor $du=2x\,dx$, tehát $x\,dx=\tfrac{1}{2}du$.
2. Behelyettesítve: $\displaystyle\int e^{u}\cdot\tfrac{1}{2}\,du=\tfrac{1}{2}e^{u}+C$.
3. Visszahelyettesítve:
   $$\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$$

Megoldás

1. Vegyük észre: a számláló pontosan a nevező deriváltja. Legyen $u=x^{2}-x+3$, ekkor $du=(2x-1)\,dx$.
2. Behelyettesítve: $\displaystyle\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$.
3. Visszahelyettesítve:
   $$\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+3}\,dx=\ln\big|x^{2}-x+3\big|+C$$

Megoldás

1. Polinom szorozva trigonometrikussal, tehát parciális integrálás: $u=x$ (deriválva egyszerűsödik), $v'=\cos x$, ezért $v=\sin x$.
2. A képlet szerint: $\displaystyle x\sin x-\int \sin x\,dx$.
3. Az utolsó integrál alapintegrál:
   $$\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C$$

Megoldás

1. Polinom szorozva logaritmussal: itt $u=\ln x$ és $v'=x^{2}$, tehát $u'=\tfrac{1}{x}$ és $v=\tfrac{x^{3}}{3}$.
2. A képlet szerint: $\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\ln x-\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx$.
3. A maradék integrál egyszerűsödik: $\displaystyle\int \frac{x^{2}}{3}\,dx=\frac{x^{3}}{9}$.
4. Tehát:
   $$\int x^{2}\ln x\,dx=\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}+C$$

Megoldás

1. A $[0,2]$ intervallumon $f(x)=4-x^{2}\ge 0$ (mert $x^{2}\le 4$), tehát a görbe nem megy a tengely alá: a terület egyenlő a határozott integrállal.
2. Primitív függvény: $F(x)=4x-\dfrac{x^{3}}{3}$.
3. Newton–Leibniz: $F(2)-F(0)=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-0$.
4. Tehát a terület:
   $$T=\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx=\frac{16}{3}$$