Valószínűségszámítás

Nemparaméteres próbák: a khí-négyzet

Megfigyelt és várt gyakoriságok összevetése: illeszkedésvizsgálat, kontingenciatáblázat, függetlenség- és homogenitásvizsgálat, Yates-korrekció.

17 perc olvasás

1. A közös séma: megfigyelt és várt gyakoriságok

Az u- és t-próba egy paraméterről — a várható értékről — döntött, és feltételezte, hogy a sokaság normális eloszlású. A khí-négyzet próbák nemparaméteresek: nem egy paraméterre kérdeznek rá, hanem arra, hogy az adatok szerkezete illeszkedik-e egy feltevéshez. A bemenetük nem mért érték, hanem darabszám: hány megfigyelés esett az egyes kategóriákba.

A gondolatmenet mindhárom változatnál azonos. Kiszámoljuk, hogy a nullhipotézis mellett kategóriánként hány megfigyelést várnánk, és összevetjük azzal, amennyi ténylegesen odaesett:

A khí-négyzet próbastatisztika

\chi^{2}=\sum_{i}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}

Itt $O_{i}$ a megfigyelt, $E_{i}$ a várt gyakoriság. A számláló négyzetes, tehát az eltérés iránya nem számít; a nevezőben álló osztás pedig azt fejezi ki, hogy egy tízes várt gyakoriságnál a kettes eltérés sokkal többet jelent, mint egy ezresnél.

Ha a nullhipotézis igaz, a statisztika értéke kicsi. A próba ezért mindig egyoldali: csak a nagy értékek beszélnek a $H_{0}$ ellen.

Szabadságfok	Kritikus érték (α = 0,05)
1	3,841
2	5,991
3	7,815
4	9,488
5	11,070
6	12,592

Mikor használható a próba

A $\chi^{2}$ eloszlás csak közelítés, és akkor megbízható, ha minden várt gyakoriság legalább $5$ . Ha nem az, a szomszédos kategóriákat össze kell vonni — és ilyenkor a szabadságfok is csökken. A feltétel a várt, nem a megfigyelt gyakoriságokra vonatkozik: egy nullás megfigyelt cella önmagában nem baj.

2. Illeszkedésvizsgálat

Az első változat azt kérdezi, hogy a megfigyelések egy adott eloszlásból származhatnak-e. A nullhipotézis mindig egy konkrét eloszlás, a várt gyakoriságok pedig ebből számolhatók:

H_{0}:\ P(\text{az }i\text{-edik kategória})=p_{i},\qquad E_{i}=n\,p_{i}

A szabadságfok meghatározása két lépés:

Szabadságfok illeszkedésvizsgálatnál

\text{sz.f.}=k-1-r

ahol $k$ a kategóriák száma, és $r$ az adatokból becsült paraméterek száma. Az egyet azért vonjuk le, mert a gyakoriságok összege rögzített: ha $k-1$ kategóriát ismerünk, az utolsó már adódik. Ha például Poisson-illeszkedést vizsgálunk, és a $\lambda$ -t is a mintából becsültük, akkor $r=1$ , tehát $k-2$ a szabadságfok.

3. Kontingenciatáblázat: függetlenség és homogenitás

Ha minden megfigyelést két szempont szerint is besorolunk — például melyik gépről jött és milyen minőségű —, az eredmény egy kontingenciatáblázat: $r$ sor, $c$ oszlop. A kérdés, hogy a két besorolás összefügg-e.

A nullhipotézis a függetlenség. Ha a két szempont független, akkor a metszet valószínűsége a peremvalószínűségek szorzata, tehát a várt gyakoriság:

Várt gyakoriság a kontingenciatáblázatban

E_{ij}=\frac{(\text{i-edik sor összege})\cdot(\text{j-edik oszlop összege})}{n}

A szabadságfok itt is abból jön, hogy a peremösszegek rögzítettek: ha egy $r\times c$ táblázat bal felső $(r-1)\times(c-1)$ részét kitöltjük, a többi cella már adódik belőle.

\text{sz.f.}=(r-1)(c-1)

A homogenitásvizsgálat számolása pontosan ugyanez, csak a kérdés más: ott nem egy sokaságot sorolunk be két szempont szerint, hanem több különböző sokaságból veszünk mintát, és azt kérdezzük, azonos-e bennük a kategóriák megoszlása. A mintavétel módja tér el, a képlet és a szabadságfok nem.

Függetlenségvizsgálat: egy minta, két szempont szerint besorolva. „Összefügg-e a gép és a minőség?”
Homogenitásvizsgálat: több minta, egy szempont szerint besorolva. „Ugyanolyan-e a minőségi megoszlás a két gyártósoron?”

4. A Yates-korrekció

A $2\times 2$ -es táblázat különleges eset: itt a szabadságfok mindössze egy, és a diszkrét gyakoriságok folytonos eloszlással való közelítése a legpontatlanabb. A korrekció ugyanaz a gondolat, mint a binomiális eloszlás normális közelítésénél a folytonossági korrekció: fél egységgel csökkentjük az eltérést.

Yates-korrekció (csak 2×2 táblázatra)

\chi^{2}_{Y}=\sum_{i,j}\frac{\bigl(|O_{ij}-E_{ij}|-0{,}5\bigr)^{2}}{E_{ij}}

A korrigált érték mindig kisebb, tehát a próba óvatosabbá válik: ritkábban jelez összefüggést. Kis mintáknál ez indokolt, nagy mintáknál a hatása elhanyagolható. Ha a korrekció megváltoztatja a döntést, az annak a jele, hogy az adatok határesetet mutatnak — ilyenkor a helyes válasz nem a kedvezőbb változat kiválasztása, hanem több adat gyűjtése.

5. Kidolgozott példák

Illeszkedésvizsgálat: szabályos-e a kocka

Egy kockával 120-szor dobtunk, a gyakoriságok: $15,\ 25,\ 18,\ 22,\ 20,\ 20$ . Tekinthető-e szabályosnak a kocka $5\%$ -os szinten?

$H_{0}:\ p_{1}=\dots=p_{6}=\tfrac{1}{6}\quad\text{(szabályos a kocka)}$
A várt gyakoriság minden oldalra azonos: $E_{i}=120\cdot\frac{1}{6}=20$ . Mind nagyobb 5-nél, tehát a próba alkalmazható.
Az eltérések: $-5,\ 5,\ -2,\ 2,\ 0,\ 0$ , ezek négyzetösszege $25+25+4+4=58$ :
$\chi^{2}=\frac{58}{20}=2{,}9$
A közös nevező azért emelhető ki, mert minden $E_{i}$ ugyanannyi.
Szabadságfok: $k-1-r=6-1-0=5$ (nem becsültünk paramétert). A kritikus érték $11{,}070$ .
Mivel $2{,}9<11{,}070$ , a $H_{0}$ -t nem tudjuk elvetni: az eltérések belül maradnak azon, ami véletlenből is adódhat. A kocka szabályosnak tekinthető.

Függetlenségvizsgálat 2×2 táblázaton

100 terméket két gép gyártott, gépenként 50-et. Az $A$ gépnél 45 jó és 5 selejtes, a $B$ gépnél 35 jó és 15 selejtes darab lett. Összefügg-e a minőség a géppel?

A peremösszegek: soronként $50$ és $50$ , oszloponként $80$ jó és $20$ selejt, $n=100$ . A várt gyakoriságok:
$E_{\text{A,jó}}=\frac{50\cdot 80}{100}=40,\qquad E_{\text{A,selejt}}=\frac{50\cdot 20}{100}=10$
és ugyanezek a $B$ sorban is ( $40$ és $10$ ), mert a két sor összege egyenlő.
Minden cellában az eltérés abszolút értéke $5$ :
$\chi^{2}=\frac{25}{40}+\frac{25}{10}+\frac{25}{40}+\frac{25}{10}=0{,}625+2{,}5+0{,}625+2{,}5=6{,}25$
Szabadságfok $(2-1)(2-1)=1$ , kritikus érték $3{,}841$ . Mivel $6{,}25>3{,}841$ , a függetlenséget elvetjük: a minőség és a gép összefügg.
Yates-korrekcióval, mivel $2\times 2$ a táblázat:
$\chi^{2}_{Y}=\frac{(5-0{,}5)^{2}}{40}+\frac{(4{,}5)^{2}}{10}+\frac{(4{,}5)^{2}}{40}+\frac{(4{,}5)^{2}}{10}=0{,}506+2{,}025+0{,}506+2{,}025=5{,}06$
Ez is meghaladja a $3{,}841$ -et, tehát a döntés változatlan — csak biztosabb, mert az óvatosabb próba is elutasít.
Amit a próba nem mond meg: hogy melyik gép a jobb. A $\chi^{2}$ csak az összefüggés meglétét jelzi; az irányt a táblázatból kell leolvasni — itt az $A$ gép selejtaránya $10\%$ , a $B$ -é $30\%$ .

Homogenitásvizsgálat: két gyártósor összevetése

Két gyártósorról vettünk mintát (200, illetve 300 darab), és három minőségi kategóriába soroltuk őket. Az $A$ soron 170 kifogástalan, 20 javítható és 10 selejtes; a $B$ soron 240, 40 és 20 darab. Azonos-e a két sor minőségi megoszlása?

Az oszlopösszegek: $410$ , $60$ , $30$ ; összesen $n=500$ . A várt gyakoriságok az $A$ sorban:
$\frac{200\cdot 410}{500}=164,\qquad \frac{200\cdot 60}{500}=24,\qquad \frac{200\cdot 30}{500}=12$
A $B$ sorban ugyanígy $246$ , $36$ és $18$ . Mindegyik nagyobb 5-nél.
$\chi^{2}=\frac{6^{2}}{164}+\frac{4^{2}}{24}+\frac{2^{2}}{12}+\frac{6^{2}}{246}+\frac{4^{2}}{36}+\frac{2^{2}}{18}$
$\chi^{2}=0{,}220+0{,}667+0{,}333+0{,}146+0{,}444+0{,}222=2{,}03$
Szabadságfok $(2-1)(3-1)=2$ , a kritikus érték $5{,}991$ . Mivel $2{,}03<5{,}991$ , a $H_{0}$ -t nem vetjük el: a két gyártósor minőségi megoszlása azonosnak tekinthető.
Vesd össze az előző példával: ott sokkal kisebb minta mellett is szignifikáns volt az eltérés, mert az arányok markánsabban különböztek ( $10\%$ vs. $30\%$ selejt). Itt a két sor selejtaránya $5\%$ és $6{,}7\%$ — ekkora különbség 500 darabból még véletlen is lehet.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció