Analízis 1

Parciális integrálás

A szorzatszabály megfordítása: hogyan válasszuk szét helyesen a szorzatot, és hogyan jutunk el belőle a területszámításig.

15 perc olvasás

1. A szorzatszabály megfordítása

Ha az integrandus két különböző típusú függvény szorzata, és nem látszik benne belső függvény meg annak a deriváltja (tehát a helyettesítés nem visz sehova), akkor a parciális integrálás a következő eszköz. A szorzatszabály megfordítása:

\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx

A módszer nem oldja meg a feladatot, hanem kicseréli egy másikra. Csak akkor nyertünk, ha az új integrál egyszerűbb, és ezen múlik minden: azt kell $u$ -nak választani, ami deriválva egyszerűsödik, és azt $v'$ -nek, amit integrálni tudunk.

Az integrandus	u legyen	v′ legyen
polinom × exponenciális vagy trigonometrikus	a polinom	$e^{x}$ , $\sin x$ , $\cos x$
polinom × logaritmus	a $\ln$	a polinom
önmagában $\ln x$ vagy $\operatorname{arctg} x$	maga a függvény	$1$

2. Kidolgozott példák

1. Polinom szorozva exponenciálissal

Számítsuk ki: $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx$ .

Legyen $u=x$ (deriválva $1$ , tehát egyszerűsödik) és $v'=e^{x}$ (integrálva $e^{x}$ ).
A képlet szerint: $\displaystyle x e^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx$ .
A maradék integrál alapintegrál:
$\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}+C = e^{x}(x-1)+C$

2. A logaritmus integrálja: a trükk az 1-es

Számítsuk ki: $\displaystyle\int \ln x\,dx$ . Itt látszólag nincs szorzat, de az $1$ -gyel való szorzás mindig kéznél van.

Legyen $u=\ln x$ és $v'=1$ , ekkor $u'=\tfrac{1}{x}$ és $v=x$ .
Behelyettesítve: $\displaystyle x\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\,dx = x\ln x-\int 1\,dx$ .
Vagyis:
$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C = x(\ln x-1)+C$

3. Amikor kétszer kell alkalmazni

Számítsuk ki: $\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$ . Jelöljük a keresett integrált $I$ -vel.

Legyen $u=\sin x$ és $v'=e^{x}$ , ekkor $u'=\cos x$ és $v=e^{x}$ :
$I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx$
A jobb oldali integrálra megint parciálisan integrálunk, ugyanazzal a választással ( $u=\cos x$ , $v'=e^{x}$ ):
$\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + I$
Ez nem zsákutca: az eredeti $I$ visszakerült a jobb oldalra, tehát innentől algebrai egyenlet:
$I = e^{x}\sin x - \big(e^{x}\cos x + I\big) = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I$
Rendezve $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ , tehát:
$I=\int e^{x}\sin x\,dx=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C$

3. A határozott integrál és a Newton–Leibniz-formula

A határozott integrál eredetileg nem a primitív függvényről szól, hanem egy összegzésről: az $[a,b]$ intervallumot kis darabokra osztjuk, minden darabon téglalappal közelítjük a függvényt, összeadjuk a területeket, és a felosztást finomítjuk. Ha ez a folyamat egyetlen számhoz tart, azt hívjuk a függvény $[a,b]$ -n vett határozott integráljának.

Ezt így kiszámolni reménytelen lenne. A kapcsolatot a deriválással, és ezzel a gyakorlati számolhatóságot, az analízis alaptétele teremti meg:

Newton–Leibniz-formula

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b)-F(a)

ahol $F$ az $f$ egy tetszőleges primitív függvénye (kereshetjük akár helyettesítéssel, akár parciálisan). Bármelyik megfelel, mert a konstans a kivonásnál kiesik: a határozott integrálnál ezért nem írunk $+C$ -t. Az eredmény szám, nem függvény.

A leggyakrabban használt tulajdonságok:

$\displaystyle\int_{a}^{a} f = 0$ , és a határok cseréje előjelet vált: $\displaystyle\int_{a}^{b} f = -\int_{b}^{a} f$ .
Az intervallum szétvágható: $\displaystyle\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ . Ez az alapeszköz szakaszonként megadott függvényeknél.
A linearitás itt is érvényes, tagonként és konstans szorzóval együtt.

Terület két görbe között

Mekkora területet zár közre az $f(x)=x$ és a $g(x)=x^{2}$ görbe?

Metszéspontok: $x=x^{2}$ , azaz $x(1-x)=0$ , tehát $x=0$ és $x=1$ .
A $[0,1]$ intervallumon $x \ge x^{2}$ , tehát a felső görbe az $f$ . A terület a különbség integrálja:
$T=\int_{0}^{1}\big(x-x^{2}\big)\,dx$
Primitív függvény és behelyettesítés:
$T=\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Az integrál előjeles, a terület nem

Ahol a függvény a tengely alatt halad, ott az integrál negatív értéket ad. Ha területet kérdeznek, előbb keresd meg a zérushelyeket, vágd szét az intervallumot, és a részeket abszolút értékben add össze. Például $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx = 0$ , miközben a görbe és a tengely által bezárt terület 4.

4. Tipikus hibák

Szorzat tagonként integrálva. $\int x\cos x\,dx$ nem $\frac{x^{2}}{2}\sin x$ : szorzatra parciális integrálás kell.
Előjelhiba a parciális integrálásnál. A képletben $uv-\int u'v$ áll: a második tag kivonódik, és a mínusz az egész integrálra vonatkozik.
Rossz szereposztás. Ha a parciális integrálás után bonyolultabb integrál marad, mint amiből indultál, akkor a $u$ és a $v'$ szerepe fordítva jó. Ilyenkor nem tovább számolni kell, hanem cserélni.
„Az integrál a terület.” Csak akkor, ha a függvény nem megy a tengely alá. Egyébként előjeles területet kapsz.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció