Parciális integrálás

Egy egyszerű példa

$\int x\cos x\,dx$. Az $x$ deriválva 1 lesz, tehát egyszerűsödik: legyen ez az $u$. A $\cos x$-et könnyű integrálni: legyen ez a $v'$, ekkor $v=\sin x$. A képlet szerint: $x\sin x-\int 1\cdot\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$. Figyeld meg, hogy az új integrál ($\int\sin x$) tényleg egyszerűbb lett, mint az eredeti: ez a jele, hogy jól osztottuk ki a szerepeket.

1. Polinom szorozva exponenciálissal

Számítsuk ki: $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx$.

1. Legyen $u=x$ (deriválva $1$, tehát egyszerűsödik) és $v'=e^{x}$ (integrálva $e^{x}$).
2. A képlet szerint: $\displaystyle x e^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx$.
3. A maradék integrál alapintegrál:
   $$\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}+C = e^{x}(x-1)+C$$

2. A logaritmus integrálja: a trükk az 1-es

Számítsuk ki: $\displaystyle\int \ln x\,dx$. Itt látszólag nincs szorzat, de az $1$-gyel való szorzás mindig kéznél van.

1. Legyen $u=\ln x$ és $v'=1$, ekkor $u'=\tfrac{1}{x}$ és $v=x$.
2. Behelyettesítve: $\displaystyle x\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\,dx = x\ln x-\int 1\,dx$.
3. Vagyis:
   $$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C = x(\ln x-1)+C$$

3. Amikor kétszer kell alkalmazni

Számítsuk ki: $\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$. Jelöljük a keresett integrált $I$-vel.

1. Legyen $u=\sin x$ és $v'=e^{x}$, ekkor $u'=\cos x$ és $v=e^{x}$:
   $$I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx$$
2. A jobb oldali integrálra megint parciálisan integrálunk, ugyanazzal a választással ($u=\cos x$, $v'=e^{x}$):
   $$\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + I$$
3. Ez nem zsákutca: az eredeti $I$ visszakerült a jobb oldalra, tehát innentől algebrai egyenlet:
   $$I = e^{x}\sin x - \big(e^{x}\cos x + I\big) = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I$$
4. Rendezve $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$, tehát:
   $$I=\int e^{x}\sin x\,dx=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C$$

Egy egyszerű példa

$\int_{0}^{2}x\,dx$. A primitív függvény $\frac{x^{2}}{2}$, tehát $\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{4}{2}-\frac{0}{2}=2$. Ezt le is tudod ellenőrizni rajz nélkül számolva: az $y=x$ egyenes alatt 0-tól 2-ig egy derékszögű háromszög van, aminek mindkét befogója 2, a területe tehát $\frac{2\cdot 2}{2}=2$. Egyezik.

Terület két görbe között

Mekkora területet zár közre az $f(x)=x$ és a $g(x)=x^{2}$ görbe?

1. Metszéspontok: $x=x^{2}$, azaz $x(1-x)=0$, tehát $x=0$ és $x=1$.
2. A $[0,1]$ intervallumon $x \ge x^{2}$, tehát a felső görbe az $f$. A terület a különbség integrálja:
   $$T=\int_{0}^{1}\big(x-x^{2}\big)\,dx$$
3. Primitív függvény és behelyettesítés:
   $$T=\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$