Analízis 2

Numerikus sorok alapjai

Mit jelent végtelen sok számot összeadni: részletösszegek, konvergencia, és az a két sor, amit minden továbbihoz mércének használunk.

12 perc olvasás

1. Végtelen összeg: a részletösszeg-sorozat

Ebben a leckében a sorok alapjait szedtem össze Neked: mit jelent egyáltalán végtelen sok számot összeadni, és melyik az a két-három sor, amit mindenképp ismerni kell. Végtelen sok számot ugyanis nem lehet „egyszerűen összeadni”: az összeadás kétváltozós művelet, akárhányszor is ismételjük, mindig véges sok tagnál járunk. A megoldás az, hogy a végtelen összeget határértékként definiáljuk.

Adjuk össze az első $N$ tagot. Az így kapott $s_N$ szám már teljesen hétköznapi véges összeg, és belőlük egy sorozat áll össze: ez a részletösszeg-sorozat.

A sor összege

s_N=\sum_{n=1}^{N}a_n \qquad\Longrightarrow\qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n:=\lim_{N\to\infty}s_N

A sor tehát pontosan akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens, és ilyenkor a sor összege ennek a sorozatnak a határértéke. Ha a részletösszegek a végtelenbe tartanak vagy ugrálnak, a sor divergens.

Egy egyszerű példa: felezgetés

Nézzük az $\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\dots$ sort. A részletösszegek: $s_1=0{,}5$ , $s_2=0{,}75$ , $s_3=0{,}875$ , $s_4=0{,}9375$ . Minden lépésben a hiányzó rész felét adjuk hozzá, tehát az 1-et sosem lépjük át, de tetszőlegesen megközelítjük: $s_N\to 1$ . A sor összege 1. Pontosan ezt jelenti a „végtelen sok szám összege”: nem összeadunk végtelen sokat, hanem megnézzük, hová tartanak a véges összegek.

Két sorozat, ne keverd össze őket

Egy sornál mindig két sorozat van jelen: a tagok $(a_n)$ sorozata és a részletösszegek $(s_N)$ sorozata. A konvergencia mindig az $(s_N)$ -ről szól. A tagokról szóló állítások csak közvetve mondanak valamit a sorról, és ebből származik a témakör összes tipikus hibája.

Példa: teleszkópos sor

Néha a részletösszeg zárt alakban felírható, és akkor nincs is szükség semmilyen kritériumra. Nézzük a $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ sort. A tagot bontsuk két törtre:

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

Írjuk ki a részletösszeget, és figyeld, mi esik ki:

s_N=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1N-\frac{1}{N+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}

Minden belső tag kiejti a szomszédját, csak a két szélső marad. Innen $s_N\to 1$ , tehát a sor konvergens és az összege 1.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A mértani sor

Ez a legfontosabb sor az egész témakörben, mert az összege ismert, és később szinte minden összehasonlítás hozzá képest történik.

Mértani sor

\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}=\frac{1}{1-q}\quad (|q|<1),\qquad\text{és divergens, ha } |q|\ge 1

Az összegképlet a részletösszegből azonnal adódik. A véges mértani összeg

s_N=1+q+q^{2}+\dots+q^{N-1}=\frac{1-q^{N}}{1-q}

és ha $|q|<1$ , akkor $q^{N}\to 0$ , tehát $s_N\to\frac{1}{1-q}$ . Ha viszont $|q|\ge 1$ , akkor a tagok nem tartanak nullához, és a sor divergens.

Egy egyszerű példa: a végtelen tizedes tört

A $0{,}333\ldots$ valójában egy mértani sor: $\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\dots$ , ahol az első tag $\frac{3}{10}$ és a hányados $q=\frac{1}{10}$ . Az összeg $\dfrac{3/10}{1-1/10}=\dfrac{3/10}{9/10}=\dfrac13$ , ahogy vártuk. A képlet tehát nem csak elvont dolog: minden szakaszos tizedes tört mögött egy mértani sor áll.

A kezdőindex számít

A képlet $n=0$ -tól indul, tehát az első tag 1. Ha a sor máshonnan indul, a legegyszerűbb az első tag osztva 1 mínusz a hányadossal alakot használni:

\sum_{n=k}^{\infty}q^{n}=\frac{q^{k}}{1-q}\qquad\text{általánosan}\qquad \frac{\text{első tag}}{1-q}

Például $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^{n}=\frac{1/2}{1-1/2}=1$ , míg $n=0$ -tól ugyanez 2 lenne.

Példa

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^{n}}=2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=2\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=2\cdot 3=6

A konstans szorzó kiemelhető: konvergens sorokra a $\sum(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum a_n+\beta\sum b_n$ linearitás érvényes.

3. A harmonikus sor

Most jön a témakör legfontosabb meglepetése. A $\sum\frac{1}{n}$ sor tagjai nullához tartanak, egyre kisebbek, mégis divergens: a részletösszegek minden határon túl nőnek.

A harmonikus sor divergens

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\dots=\infty

A bizonyítás egy ügyes csoportosítás. Fogjuk össze a tagokat kettőhatvány-hosszú blokkokba, és minden blokkot becsüljünk alulról a benne szereplő legkisebb taggal:

\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\ 2\cdot\frac14=\frac12}+\underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{>\ 4\cdot\frac18=\frac12}+\underbrace{\frac19+\dots+\frac{1}{16}}_{>\ 8\cdot\frac{1}{16}=\frac12}+\dots

Minden blokk többet ad hozzá $\tfrac12$ -nél, és blokkból végtelen sok van. Így $s_{2^{k}}>1+\frac{k}{2}$ , ami minden határon túl nő. A növekedés persze nagyon lassú, de sosem áll meg.

Egy egyszerű példa: mennyire lassú?

Hogy érezd, miért csalóka ez a sor, nézd meg a részletösszegeket: $s_{10}\approx 2{,}93$ , $s_{100}\approx 5{,}19$ , $s_{1000}\approx 7{,}49$ . Tízszer több tag csak nagyjából 2,3-mal növeli az összeget. Ahhoz, hogy 100-at elérjünk, több tagot kellene összeadni, mint ahány atom van a világegyetemben. Mégis: nincs olyan szám, amit ne lépne át előbb-utóbb, és pontosan ezt jelenti a divergencia.

Ez a témakör legfontosabb ellenpéldája

A harmonikus sor a bizonyíték arra, hogy a $a_n\to 0$ feltétel nem elegendő a konvergenciához. Aki ezt egyszer megjegyzi, az a félév felét megspórolta.

4. Hiperharmonikus sorok

A harmonikus sor egy egész családba illeszkedik. Ezek a hiperharmonikus vagy p-sorok, és pontosan tudjuk, hol a határvonal:

p-sorok

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\quad\text{konvergens}\iff p>1

$p=2$ : $\sum\frac{1}{n^{2}}$ konvergens, az összege történetesen $\frac{\pi^{2}}{6}$ , de ez a számérték már jóval nehezebb kérdés, mint a konvergencia.
$p=1$ : a harmonikus sor, divergens. A határvonal nem tartozik hozzá a konvergens esethez.
$p=\tfrac12$ : $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ divergens, hiszen a tagok még a harmonikusnál is lassabban fogynak.

A p-sorok azért fontosak, mert a következő leckében ezek lesznek az összehasonlítás mércéi: egy ismeretlen sorról gyakran úgy derül ki minden, hogy egy alkalmas p-sorhoz hasonlítjuk.

5. A konvergencia szükséges feltétele

Egyetlen dolgot mégis biztosan tudunk a tagokról: ha a sor konvergens, akkor a tagoknak el kell tűnniük.

Szükséges feltétel

\sum a_n \ \text{konvergens}\quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_n=0

Az indoklás egy sor: $a_N=s_N-s_{N-1}$ , és ha mindkét részletösszeg ugyanahhoz az $S$ -hez tart, a különbségük 0-hoz.

A gyakorlatban ezt megfordítva, cáfolásra használjuk. Ez a divergenciateszt, és mindig ezzel érdemes kezdeni, mert pár másodperc alatt lefut:

Divergenciateszt

\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0\ \ \text{(vagy nem létezik)}\quad\Longrightarrow\quad \sum a_n\ \text{divergens}

Példa: két másodperces döntés

A $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2n+5}$ sor tagjai $\tfrac32$ -hez tartanak, nem nullához. A sor tehát divergens, más kritériumra nincs is szükség.

Ugyanígy a $\sum(-1)^{n}$ is divergens: a tagoknak nincs határértéke.

A feltétel szükséges, de nem elegendő

A nyíl csak egy irányba mutat. Ha $a_n\to 0$ , abból semmi nem következik: a sor lehet konvergens ( $\sum\frac{1}{n^{2}}$ ) és divergens is ( $\sum\frac{1}{n}$ ). Ilyenkor kell elővenni a következő lecke kritériumait.

6. Tipikus hibák

„A tagok nullához tartanak, tehát a sor konvergens.” A leggyakoribb hiba az egész témakörben. A harmonikus sor pont ezt cáfolja.
A mértani sor kezdőindexének elnézése. A $\frac{1}{1-q}$ képlet $n=0$ -tól indul. Máshonnan indulva az „első tag osztva $1-q$ -val” alakot használd.
Az összegképlet használata $|q|\ge 1$ esetén. A $\sum 2^{n}$ nem $\frac{1}{1-2}=-1$ : a sor divergens, és egy csupa pozitív tagú sor összege amúgy sem lehet negatív.
A sor és a tagok sorozatának összekeverése. Az $\frac{1}{n}$ sorozat konvergens (0-hoz tart), a $\sum\frac1n$ sor divergens. A két kérdés különböző, és a válaszuk itt épp ellentétes.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció