Analízis 1

Parciális törtekre bontás: a nehezebb esetek

Amikor a nevezőnek többszörös gyöke van, vagy egy másodfokú tényezője egyáltalán nem bontható: mit kell ilyenkor felírni, és mi lesz az integrál.

13 perc olvasás

1. Amikor a nevező nem esik szét egyszeres gyökökre

Az előző leckében a nevezőnek csupa különböző valós gyöke volt, és minden gyöktényezőhöz egyetlen, konstans számlálójú tag tartozott. Két esetben ez a felírás kevés, és ilyenkor az egyenletrendszer megoldhatatlan lesz:

A nevezőnek többszörös gyöke van, például $(x-1)^{2}$ szerepel benne.
A nevezőnek van olyan másodfokú tényezője, ami a valós számok között nem bontható, mert a diszkriminánsa negatív: ilyen az $x^{2}+1$ .

A javítás mindkét esetben csak a felírás alakját érinti; a négylépéses menet (polinomosztás, szorzattá alakítás, bontás, együtthatók) változatlan. Az alábbi táblázatba összeszedtem Neked az összes lehetséges esetet, és ez a lista teljes: minden nevező ezekből a tényezőkből áll össze, tehát ha ezt a három sort tudod, bármilyen bontást fel tudsz írni.

a nevező tényezője	a hozzá tartozó tagok
$(x-a)$	$\dfrac{A}{x-a}$
$(x-a)^{m}$	$\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^{2}}+\dots+\dfrac{A_m}{(x-a)^{m}}$
$x^{2}+px+q\ \ (D<0)$	$\dfrac{Ax+B}{x^{2}+px+q}$

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Többszörös valós gyök

Ha a nevezőben $(x-a)^{m}$ áll, akkor m darab tagot kell felírni: az első hatványtól az m-edikig mindegyiket, konstans számlálóval.

Többszörös gyök

\frac{R(x)}{(x-a)^{m}\cdots}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^{2}}+\dots+\frac{A_m}{(x-a)^{m}}+\dots

Miért így? Mert a közös nevezőre hozás után a számláló fokszámának eggyel kisebbnek kell lennie a nevezőénél, és ehhez pontosan ennyi szabad paraméter kell. A gyakorlati ellenőrzés ugyanaz, mint korábban: az ismeretlenek száma egyezzen a nevező fokszámával.

Egy egyszerű példa

Bontsuk fel az $\dfrac{x+1}{(x-1)^{2}}$ törtet. A nevező egy kétszeres gyök, tehát két tag kell: $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}$ . Közös nevezőre hozva: $x+1=A(x-1)+B$ . Az $x=1$ behelyettesítés azonnal adja, hogy $B=2$ ; az $x$ együtthatóit összehasonlítva pedig $A=1$ . Tehát $\dfrac{x+1}{(x-1)^{2}}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{(x-1)^{2}}$ , és az integrálja $\ln|x-1|-\dfrac{2}{x-1}+C$ .

Példa

Számítsuk ki a $\displaystyle\int\frac{x+3}{x(x-1)^{2}}\,dx$ integrált. A nevező foka 3, tehát három ismeretlen lesz:

\frac{x+3}{x(x-1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}

Közös nevezőre hozva a számlálók egyenlősége:

x+3=A(x-1)^{2}+Bx(x-1)+Cx

$x=0$ : $3=A$ .
$x=1$ : $4=C$ .
A $B$ már nem esik ki behelyettesítéssel, ezért nézzük az $x^{2}$ együtthatóját: bal oldalon 0, jobb oldalon $A+B$ . Innen $B=-3$ .

Az integrál tagonként:

\int\left(\frac{3}{x}-\frac{3}{x-1}+\frac{4}{(x-1)^{2}}\right)dx=3\ln|x|-3\ln|x-1|-\frac{4}{x-1}+C

Figyeld meg, hogy a négyzetes tagból nem logaritmus lett, hanem hatványfüggvény: $\int (x-1)^{-2}dx=-(x-1)^{-1}$ .

Vegyes technika a leggyorsabb

A gyökök behelyettesítése a legmagasabb hatványokhoz tartozó együtthatókat adja meg azonnal, a maradékot pedig együttható-összehasonlítással a legolcsóbb megszerezni. Nem kell választani a két módszer között: használd őket együtt, ahogy a fenti példában is.

3. Nem bontható másodfokú tényező

Ha egy másodfokú tényező diszkriminánsa negatív, nincs valós gyöke, tehát nem bontható tovább. A hozzá tartozó tört számlálója ilyenkor nem konstans, hanem elsőfokú.

Irreducibilis másodfokú tag

\frac{R(x)}{(x^{2}+px+q)\cdots}=\frac{Ax+B}{x^{2}+px+q}+\dots\qquad (D=p^{2}-4q<0)

Előbb ellenőrizd a diszkriminánst

Az $Ax+B$ számláló csak akkor jár, ha a tényező tényleg nem bontható. Az $x^{2}-1$ és az $x^{2}-x-2$ például másodfokú, de van valós gyökük, tehát azokat előbb szorzattá kell alakítani. Ezt a lépést sokan kihagyják, és utána feleslegesen bonyolult egyenletrendszerrel küzdenek.

Egy egyszerű példa

Bontsuk fel az $\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}$ törtet. Az $x$ egyszeres gyök, az $x^{2}+1$ nem bontható, tehát: $\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+1}$ . Ez három ismeretlen, pont annyi, mint a nevező fokszáma. A számlálók egyenlősége: $1=A(x^{2}+1)+(Bx+C)x$ . Az $x=0$ behelyettesítéssel $A=1$ ; az $x^{2}$ együtthatójából $0=A+B$ , tehát $B=-1$ ; az $x$ együtthatójából $C=0$ . Az eredmény: $\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+1}$ , aminek az integrálja $\ln|x|-\tfrac12\ln(x^{2}+1)+C$ .

Példa

Számítsuk ki a $\displaystyle\int\frac{2x^{2}+x+3}{(x-1)(x^{2}+1)}\,dx$ integrált. Az $x^{2}+1$ diszkriminánsa negatív, tehát elsőfokú számláló jár hozzá:

\frac{2x^{2}+x+3}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+x+3=A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1)

$x=1$ : $6=2A$ , tehát $A=3$ .
Az $x^{2}$ együtthatója: $2=A+B$ , tehát $B=-1$ .
A konstans tag: $3=A-C$ , tehát $C=0$ .

Az integrál:

\int\frac{3}{x-1}\,dx+\int\frac{-x}{x^{2}+1}\,dx=3\ln|x-1|-\frac12\ln(x^{2}+1)+C

A második tag $\frac{f'}{f}$ alakú volt (a nevező deriváltja $2x$ ), és az $x^{2}+1$ mindig pozitív, ezért ott nem kell abszolút érték.

4. A másodfokú nevezők integrálása: két alapalak

Az $\frac{Ax+B}{x^{2}+px+q}$ tört mindig visszavezethető két ismert integrálra. Érdemes ezt a két alakot külön megjegyezni, mert minden ilyen feladat belőlük áll össze.

A logaritmusos alak

\int\frac{2x+p}{x^{2}+px+q}\,dx=\ln\left|x^{2}+px+q\right|+C

Az arkusz tangenses alak

\int\frac{dx}{x^{2}+k^{2}}=\frac{1}{k}\operatorname{arctg}\frac{x}{k}+C

Egy-egy egyszerű példa a két alakra

Logaritmusos: $\int\dfrac{2x+2}{x^{2}+2x+5}\,dx=\ln(x^{2}+2x+5)+C$ , mert a számláló pontosan a nevező deriváltja. Arkusz tangenses: $\int\dfrac{dx}{x^{2}+4}=\dfrac12\operatorname{arctg}\dfrac{x}{2}+C$ , itt $k=2$ , és a $\frac12$ szorzót nem szabad elfelejteni. Ellenőrizd deriválással: az $\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ deriváltja a láncszabály miatt $\frac{1}{1+x^{2}/4}\cdot\frac12=\frac{2}{4+x^{2}}$ , és az $\frac12$ ezt hozza vissza $\frac{1}{x^{2}+4}$ -re.

A második alakhoz a nevezőt teljes négyzetté kell alakítani. Negatív diszkrimináns esetén a maradék mindig pozitív, tehát tényleg $k^{2}$ alakba írható:

x^{2}+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}+\underbrace{\left(q-\frac{p^{2}}{4}\right)}_{=\,k^{2}\,>\,0}

Példa: a két alak együtt

Számítsuk ki a $\displaystyle\int\frac{3x+5}{x^{2}+4x+13}\,dx$ integrált. A diszkrimináns $16-52<0$ , tehát a nevező nem bontható, és a tört már most a végleges alakjában van.

A számláló szétszedése. A nevező deriváltja $2x+4$ , ezért írjuk a számlálót ennek többszöröse plusz egy konstans alakban:
$3x+5=\frac32(2x+4)-1$
Az első rész a logaritmusos alak:
$\frac32\int\frac{2x+4}{x^{2}+4x+13}\,dx=\frac32\ln\left(x^{2}+4x+13\right)$
Abszolút érték itt sem kell, mert a nevező mindenhol pozitív.
A második rész teljes négyzet után arkusz tangens:
$-\int\frac{dx}{(x+2)^{2}+9}=-\frac13\operatorname{arctg}\frac{x+2}{3}$

Összesen:

\int\frac{3x+5}{x^{2}+4x+13}\,dx=\frac32\ln\left(x^{2}+4x+13\right)-\frac13\operatorname{arctg}\frac{x+2}{3}+C

5. Tipikus hibák

Többszörös gyöknél egyetlen tag felírása. $(x-1)^{2}$ esetén két tag kell, $\frac{B}{x-1}$ és $\frac{C}{(x-1)^{2}}$ . Csak az utóbbival az egyenletrendszer nem oldható meg.
Konstans számláló irreducibilis másodfokú tag fölé. Oda $Ax+B$ jár. Ha csak $A$ -t írsz, eggyel kevesebb szabad paramétered lesz, mint amennyi kell.
A diszkrimináns ellenőrzésének kihagyása. Egy bontható másodfokú tényezőre nem szabad az $Ax+B$ alakot használni: azt előbb gyökeire kell bontani.
Az $\operatorname{arctg}$ előtti osztó elhagyása. $\int\frac{dx}{x^{2}+9}=\frac13\operatorname{arctg}\frac{x}{3}$ , nem pedig $\operatorname{arctg}\frac{x}{3}$ . Ez a legkönnyebben elveszíthető pont a témakörben.
Abszolút érték egy mindig pozitív nevezőnél. Nem hiba, de felesleges. Ellenben az $\ln|x-a|$ alaknál nem hagyható el.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)