Analízis 1

Forgástest térfogata

Ha a görbét megforgatjuk a tengely körül: a körlapmódszer, a gyűrűmódszer, a héjmódszer, és a forgásfelület felszíne.

13 perc olvasás

1. Körlapmódszer: forgatás az x tengely körül

Vedd az $f$ függvény grafikonját az $[a,b]$ szakaszon, és forgasd meg az $x$ tengely körül. A keletkező testet vágd fel a tengelyre merőleges, vékony szeletekre. Egy ilyen szelet gyakorlatilag egy korong: a sugara $f(x)$ , a vastagsága $dx$ , tehát a térfogata $\pi f(x)^{2}\,dx$ . Ezeket összegezve:

Körlapmódszer

V=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,dx

Két dolgot érdemes azonnal rögzíteni. Egyrészt a függvény négyzeten szerepel, tehát az integrandus mindig nemnegatív: a tengely alatti szakaszok itt nem okoznak gondot, egy negatív értékű függvény ugyanazt a testet söpri ki, mint a tükörképe. Másrészt a $\pi$ konstansként kiemelhető, ezért a szokás szerint kívül hagyjuk, és csak a végén szorzunk vele.

Példa: a kúp térfogata

Forgassuk meg az $y=\frac{r}{h}x$ egyenest a $[0,h]$ szakaszon. Az eredmény egy $r$ alapkörsugarú, $h$ magasságú kúp:

V=\pi\int_{0}^{h}\frac{r^{2}}{h^{2}}x^{2}\,dx=\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{h}=\frac{r^{2}\pi h}{3}

Vagyis a középiskolából ismert kúpképlet. Ez egyben jó önellenőrzés is: ha egy ismert testre nem jön ki a tankönyvi képlet, valahol elszámoltál.

Példa: a gömb térfogata

Az $f(x)=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ félkört megforgatva a $[-R,R]$ szakaszon gömböt kapunk:

V=\pi\int_{-R}^{R}\big(R^{2}-x^{2}\big)dx=\pi\left[R^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R}=\frac{4R^{3}\pi}{3}

A négyzetre emelés miatt a gyök eltűnt: ez a forgástestes feladatok kellemes tulajdonsága, és épp az ellentéte annak, ami az ívhossznál történik.

2. Forgatás az y tengely körül

Ha a tengely az $y$ tengely, a szeletek most vízszintesek, és a korong sugara az $x$ koordináta. Ehhez a görbét $x=g(y)$ alakban kell felírni, és $y$ szerint integrálni:

Forgatás az y tengely körül

V=\pi\int_{c}^{d}\big(g(y)\big)^{2}\,dy

Fejezd ki az $x$ -et az $y$ függvényeként, azaz keresd meg az inverz alakot.
Írd át a határokat is: a régi $x$ -határokhoz tartozó $y$ értékek lesznek az újak.
Integrálj a szokásos módon.

Példa

Forgassuk meg az $y=x^{2}$ görbét a $[0,2]$ szakaszon az $y$ tengely körül. Az inverz $x=\sqrt{y}$ , a határok $y=0$ -tól $y=4$ -ig:

V=\pi\int_{0}^{4}\big(\sqrt{y}\big)^{2}dy=\pi\int_{0}^{4}y\,dy=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=8\pi

Melyik testről van szó?

Az $y$ tengely körüli forgatásnál mindig tisztázd, hogy a tartomány a görbe alatt vagy a görbe és az $y$ tengely között van-e. A fenti példa az utóbbi: a keletkező test egy pohár alakú tömör darab, nem az őt körülvevő henger. Egy vázlat itt szó szerint a feladat fele.

3. Gyűrűmódszer: két görbe között

Ha nem egy görbe alatti tartományt forgatunk, hanem két görbe közöttit, akkor a szeletek nem korongok, hanem gyűrűk: van külső és belső sugaruk. A gyűrű területe a két kör területének különbsége, innen:

Gyűrűmódszer

V=\pi\int_{a}^{b}\Big(\big(R(x)\big)^{2}-\big(r(x)\big)^{2}\Big)dx

Négyzetek különbsége, nem a különbség négyzete

A leggyakoribb hiba ennél a képletnél, hogy valaki $\big(R-r\big)^{2}$ -et ír. Ez nem ugyanaz:

R^{2}-r^{2}\ne (R-r)^{2}

A gyűrű területe $R^{2}\pi-r^{2}\pi$ , tehát a négyzetre emelés tagonként történik, és csak utána vonunk ki.

Példa: az y = x és az y = x² közti tartomány

A két görbe a $[0,1]$ szakaszon zár be tartományt, és itt $x\ge x^{2}$ , tehát a külső sugár $R(x)=x$ , a belső $r(x)=x^{2}$ . Az $x$ tengely körül forgatva:

V=\pi\int_{0}^{1}\big(x^{2}-x^{4}\big)dx=\pi\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}

4. Héjmódszer

Van, amikor az $y$ tengely körül kell forgatni, de a görbét nem lehet szépen $x=g(y)$ alakra hozni — vagy csak több darabban lehetne. Ilyenkor jön a héjmódszer: a testet nem szeletekre, hanem egymásba illeszkedő vékony hengerpalástokra bontjuk.

Egy $x$ sugarú, $f(x)$ magasságú, $dx$ vastagságú palást térfogata a kerület szorozva a magassággal és a vastagsággal: $2\pi x\cdot f(x)\,dx$ . Összegezve:

Héjmódszer (y tengely körül)

V=2\pi\int_{a}^{b}x\,f(x)\,dx

Példa

Forgassuk meg az $y=x-x^{2}$ görbe alatti tartományt a $[0,1]$ szakaszon az $y$ tengely körül:

V=2\pi\int_{0}^{1}x\big(x-x^{2}\big)dx=2\pi\int_{0}^{1}\big(x^{2}-x^{3}\big)dx=2\pi\left(\frac13-\frac14\right)=\frac{\pi}{6}

Korongokkal ugyanez sokkal kellemetlenebb lenne: a görbét $x$ -re megoldva két ág jönne ki, és két külön integrál kellene.

Melyiket mikor?

Ökölszabály: ha a forgástengely és az integrálási változó merőleges egymásra, korongokkal dolgozz; ha párhuzamosak, héjakkal. Az $x$ szerinti integrálás tehát az $x$ tengely körüli forgatáshoz korongokat, az $y$ tengely körülihez héjakat kíván.

5. A forgásfelület felszíne

A térfogat mellé gyakran kérik a palást felszínét is. Ez már nem olyan barátságos képlet, mert megjelenik benne ugyanaz a gyökös tényező, mint az ívhossznál — a felszínt ugyanis nem a korong területéből, hanem a görbe ívhosszából kell építeni:

Forgásfelület felszíne (x tengely körül)

A=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\,dx

Példa: a gömb felszíne

Legyen $f(x)=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ , ekkor $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}$ , és a gyök alatt szép egyszerűsödés történik:

1+\big(f'(x)\big)^{2}=1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}=\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}

A=2\pi\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\,dx=2\pi R\int_{-R}^{R}dx=4R^{2}\pi

Az integrandusból minden kiesett — ez a felszínes feladatoknál ritka ajándék, és épp ezért ez a legkedveltebb példa.

6. Tipikus hibák

A $\pi$ lefelejtése. A leggyakoribb pontvesztés. Írd ki rögtön a képlet elejére, mielőtt integrálni kezdesz.
$(R-r)^{2}$ a gyűrűmódszernél. A helyes alak $R^{2}-r^{2}$ : előbb négyzetre emelsz, utána vonsz ki.
A határok átírásának elmulasztása. Ha $y$ szerint integrálsz, az $x$ -határok nem használhatók; helyettesítsd be őket a függvénybe, hogy megkapd az $y$ -határokat.
Négyzetre emelés a különbség után. Két görbénél nem a „felső mínusz alsó” négyzetét integrálod: a forgástestnél minden sugár külön négyzetre kerül. Ez más, mint a területszámítás szabálya, és ez a két képlet szokott összekeveredni.
Nem ellenőrzött végeredmény. Ha az alakzat egy ismert testhez hasonlít (kúp, gömb, henger), tedd próbára a végeredményt a tankönyvi képlettel. Ha a nagyságrend elüt, keresd a hibát.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció