Fourier-sorok

1. Az alapötlet

A Taylor-sornál egy függvényt hatványfüggvények összegére bontottunk, és a közelítés egyetlen pont körül volt jó. Periodikus jeleknél ez rossz üzlet: egy négyszögjelet vagy egy fűrészfogat polinomokkal reménytelen leírni. Kézenfekvő olyan építőkockákat választani, amik maguk is periodikusak — szinuszokat és koszinuszokat. Ebben a leckében végigvezetlek azon, hogyan találjuk meg ezeknek az építőkockáknak a súlyát, és hol lehet a számolás felét megspórolni.

Fourier-sor (2π szerint periodikus esetben)

f(x)\sim\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\Big)

Egy egyszerű példa: ami már eleve ilyen alakú

Az $f(x)=3+2\cos x-\sin 2x$ függvény maga is egy (véges) Fourier-sor. Olvasd le az együtthatóit: $\frac{a_0}{2}=3$ (tehát $a_0=6$ ), $a_1=2$ , $b_2=-1$ , az összes többi nulla. A Fourier-sorfejtés célja pontosan ez: egy tetszőleges periodikus függvényről kideríteni, mekkora súllyal szerepel benne az egyes szinuszok és koszinuszok. Itt ránézésre látszik, a következő fejezetben megtanuljuk kiszámolni.

A $\frac{a_0}{2}$ tag a jel átlagos értéke (az „egyenkomponens”), az $n=1$ tag az alaphang, a többi pedig a felharmonikusok. Ez a fizikai olvasat: a Fourier-sor megmondja, milyen frekvenciákból és milyen arányban áll össze a jel.

Miért működik: ortogonalitás

A $\sin nx$ és $\cos nx$ függvények ortogonális rendszert alkotnak: bármely kettőnek a szorzatát integrálva egy teljes perióduson nullát kapunk, kivéve ha ugyanarról a függvényről van szó. Például $\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,dx=0$ minden $n,m$ -re. Épp ez teszi lehetővé, hogy az együtthatókat egyenként „kihalásszuk”: beszorzunk azzal a taggal, amelyiknek az együtthatóját keressük, és integrálunk — a többi tag magától eltűnik.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A Fourier-együtthatók

Az előző bekezdés gondolatát végigvíve adódnak az Euler–Fourier-képletek. Ezt a hármat kell tudni:

Együtthatók 2π periódusra

a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx

Az $a_0$ ugyanennek a képletnek az $n=0$ esete, hiszen $\cos 0=1$ :

a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx

Egy egyszerű példa: a konstans függvény

Legyen $f(x)=1$ . Ekkor $a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=\frac{2\pi}{\pi}=2$ , és $n\ge1$ -re $a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx=0$ , $b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx=0$ , mert egy teljes periódusra integrált szinusz vagy koszinusz nulla. A sor tehát $\frac{a_0}{2}=1$ : pontosan a függvény, ahogy kell. Figyeld meg, hogy a felezés nélkül 2-t kaptunk volna, ami nyilván rossz: ez a legegyszerűbb ellenőrzés az $\frac{a_0}{2}$ -re.

Az a₀ és a felezés

Sok tankönyv azért írja a sor elejére $\frac{a_0}{2}$ -t, hogy az $a_n$ képlete minden $n$ -re ugyanaz lehessen, a nullát is beleértve. Van olyan jegyzet is, ahol a sor elején sima $a_0$ áll, és akkor annak a képletében szerepel a $\frac{1}{2\pi}$ . A kettő ugyanaz — de a vizsgán azt a konvenciót kövesd, amit az előadáson használtak, és a felezést egyszer se hagyd le.

Az együtthatók számolása kivétel nélkül parciális integrálás — a legtöbb feladatban $\int x\sin nx\,dx$ típusú integrálok jönnek ki. Érdemes fejben tartani két gyakran előkerülő értéket:

\cos n\pi=(-1)^{n},\qquad \sin n\pi=0\quad (n\in\mathbb{Z})

3. Páros és páratlan függvények

Ez az a fejezet, ami a dolgozatban a legtöbb időt spórolja. Ha a függvénynek van paritása, az együtthatók fele automatikusan nulla, és nem kell kiszámolni őket — elég egy mondattal indokolni.

Páros függvény ( $f(-x)=f(x)$ ): minden $b_n=0$ , csak koszinuszok maradnak. Ezt hívják koszinuszsornak.
Páratlan függvény ( $f(-x)=-f(x)$ ): minden $a_n=0$ , beleértve az $a_0$ -t is; csak szinuszok maradnak. Szinuszsor.

Az indoklás egyszerű: páratlan függvényt szimmetrikus tartományon integrálva nullát kapunk. Ha $f$ páros, akkor $f(x)\sin nx$ páratlan (páros szor páratlan), így az integrálja nulla. Ha megvan a paritás, a megmaradó együtthatókat is elég a fél tartományon számolni, kettővel szorozva:

Páros f esetén

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_{n}=0

Páratlan f esetén

a_{n}=0,\qquad b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx

Egy egyszerű példa: a paritás leolvasása

Az $f(x)=x^2$ páros, tehát minden $b_n=0$ , és csak koszinuszsor lesz. Az $f(x)=x^3$ páratlan: minden $a_n=0$ , az $a_0$ -lal együtt, csak szinuszok maradnak. Az $f(x)=x+1$ viszont egyik sem, ott mind a két fajta együtthatót ki kell számolni. Ezt a mondatot a dolgozatban le is kell írni, mert ez indokolja, miért maradt ki a számolás fele.

4. Kidolgozott példa: a fűrészfog

Fejtsük Fourier-sorba az f(x) = x függvényt a (−π, π) intervallumon

Paritás. Az $f(x)=x$ páratlan, tehát minden $a_n=0$ . Csak a $b_n$ együtthatókat kell számolni.
Az integrál. Parciális integrálás $u=x$ , $v'=\sin nx$ választással:
$\int_{0}^{\pi}x\sin nx\,dx=\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos nx\,dx$
A második tag nulla, mert $\big[\sin nx\big]_{0}^{\pi}=0$ , marad:
$\int_{0}^{\pi}x\sin nx\,dx=-\frac{\pi\cos n\pi}{n}=\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}$
Az együttható.
$b_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
A sor.
$x\sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx=2\left(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\dots\right)$

Ajándék: a Leibniz-sor

Helyettesíts be $x=\frac{\pi}{2}$ -t. A bal oldal $\frac{\pi}{2}$ , a jobb oldalon a páros indexű tagok kiesnek ( $\sin n\pi=0$ ), és épp a Leibniz-sor marad:

\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots

A Fourier-sorok egyik szép mellékterméke, hogy nevezetes numerikus sorok összegét lehet velük megkapni — olyanokét is, amiket másképp nagyon nehéz.

5. Tetszőleges periódus

Ha a periódus nem $2\pi$ , hanem $2L$ , akkor csak át kell skálázni a változót: az $nx$ helyére $\frac{n\pi x}{L}$ kerül, az $\frac1\pi$ szorzó helyére $\frac1L$ :

Együtthatók 2L periódusra

a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx

f(x)\sim\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L}\right)

A $2\pi$ -s képletek ennek az $L=\pi$ esetei, tehát elég ezt az egy alakot megjegyezni. A számolás menete szóról szóra ugyanaz, a paritásos rövidítések is változatlanul érvényesek.

Egy egyszerű példa: a fűrészfog 2 periódussal

Legyen $f(x)=x$ a $(-1;1)$ intervallumon, tehát $L=1$ . Páratlan, ezért csak $b_n$ kell: $b_n=2\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx$ . Ugyanaz a parciális integrálás, mint az előbb, csak a nevezőben $n\pi$ áll $n$ helyett: $b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}$ . A sor: $x\sim\dfrac{2}{\pi}\left(\sin\pi x-\dfrac{\sin2\pi x}{2}+\dots\right)$ . Hasonlítsd össze a $2\pi$ -s változattal: a szinuszok argumentumába $\pi$ került, és az együtthatók $\pi$ -vel osztódtak.

6. Hova konvergál a sor?

A sor és a függvény között eddig $\sim$ jel állt, nem egyenlőség. Hogy mikor lehet egyenlőséget írni, arról a Dirichlet-féle konvergenciatétel szól.

Dirichlet-tétel

\text{a sor összege}=\frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}

Ha $f$ szakaszonként folytonos és szakaszonként monoton (ez a szokásos feltétel, és minden vizsgapéldában teljesül), akkor a Fourier-sor minden pontban konvergens, és az összege:

ott, ahol a függvény folytonos: maga az $f(x)$ érték;
a szakadási helyeken: a bal és jobb oldali határérték számtani közepe — vagyis a sor „megfelezi” az ugrást, akkor is, ha a függvény ott mást vesz fel.

A fenti példában $x=\pi$ -nél a periodikus kiterjesztés $\pi$ -ről $-\pi$ -re ugrik. A sor összege itt $\frac{\pi+(-\pi)}{2}=0$ — és tényleg: minden tag $\sin n\pi=0$ .

A Gibbs-jelenség

Egy ugrás közelében a részletösszegek mindig „túllőnek”: a grafikonon egy kis púp jelenik meg, ami a tagszám növelésével nem tűnik el, csak egyre közelebb kúszik a szakadáshoz. Ez a Gibbs-jelenség; nem számolási hiba, hanem a szakaszonkénti konvergencia természetes velejárója.

Parseval-formula

A jel „energiája” is kiolvasható az együtthatókból:

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^{2}(x)\,dx=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\big)

A fűrészfogas példára alkalmazva a bal oldal $\frac{2\pi^{2}}{3}$ , a jobb oldal pedig $\sum\frac{4}{n^{2}}$ . Innen egy sorral adódik a híres összeg:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

7. Tipikus hibák

Az $a_0$ felezésének elhagyása. A sor első tagja $\frac{a_0}{2}$ , nem $a_0$ . Ez a leggyakoribb pontvesztés, és a végeredmény ránézésre helyesnek tűnik.
A paritás kihasználásának elmulasztása. Ha a függvény páros vagy páratlan, az együtthatók fele nulla. Ezt nem kiszámolni kell, hanem leírni egy mondatban — és a maradék munka a felére csökken.
A $\cos n\pi$ kiírásának elhagyása. A végeredményben ne maradjon $\cos n\pi$ , írd át $(-1)^{n}$ alakba; enélkül a sor jellege nem látszik.
Egyenlőség a szakadási pontokban. A sor ott az ugrás felezőpontjához konvergál, nem a függvényértékhez. A jelölésben ezért szerepel $\sim$ és nem $=$ .
Rossz periódusú képlet. Ha az intervallum nem $[-\pi,\pi]$ , ne a $\frac1\pi$ -s képletet használd. Írd fel először, mennyi $L$ , és onnan indulj.