Valószínűségszámítás

Diszkrét valószínűségi változók

A véletlen kimenetel számmá alakítva: eloszlás, eloszlásfüggvény, várható érték és szórás — a négy fogalom, amire a többi lecke épül.

15 perc olvasás

1. Mi az a valószínűségi változó

Az események szintjén minden kérdés igen-nem kérdés volt. A gyakorlatban viszont többnyire egy számot figyelünk meg: hány selejt van a mintában, hány percet kell várni, mekkora egy alkatrész átmérője. A valószínűségi változó ezt írja le: minden kimenetelhez egy valós számot rendel.

X:\ \Omega\to\mathbb{R}

Ha az $X$ lehetséges értékei véges vagy megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, a változó diszkrét. Két kocka összege (11 érték), egy nap alatt beérkező hibabejelentések száma (végtelen sok, de megszámlálható) — mindkettő diszkrét.

A változó eloszlása az a lista, amely minden lehetséges értékhez megadja a valószínűségét:

Diszkrét eloszlás

p_{k}=P(X=x_{k}),\qquad p_{k}\ge 0,\qquad \sum_{k}p_{k}=1

Az eloszlás minden információt tartalmaz a változóról: bármelyik eseményének valószínűsége kiszámolható belőle a megfelelő $p_{k}$ -k összeadásával. A $\sum p_{k}=1$ feltétel egyben ellenőrzés is: ha egy feladatban paraméter szerepel az eloszlásban, azt szinte mindig ebből lehet meghatározni.

2. Az eloszlásfüggvény

Az eloszlás táblázata jól működik véges sok értéknél, de nem általánosítható a folytonos esetre. Az eloszlásfüggvény viszont igen — ezért ez a fogalom köti össze a diszkrét és a folytonos változókat:

Eloszlásfüggvény

F(x)=P(X<x),\qquad x\in\mathbb{R}

Konvenció: nézd meg, mit használ az előadó

A magyar egyetemi jegyzetek többsége — és ez az oldal is — a $F(x)=P(X<x)$ definíciót használja, ezért itt $F$ balról folytonos. A nemzetközi irodalomban gyakoribb a $F(x)=P(X\le x)$ változat, ami jobbról folytonos. A tulajdonságok és a képletek ugyanazok, csak az ugráspontokban tér el a két függvény értéke — folytonos változóknál pedig egyáltalán nincs különbség. Egy feladatnál mindig az órán használt definícióval számolj.

Diszkrét változónál $F$ egy lépcsős függvény: minden lehetséges értéknél ugrik egyet, és az ugrás nagysága éppen az adott érték valószínűsége. A tulajdonságai:

Monoton növekvő (nem feltétlenül szigorúan).
$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ és $\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$ .
Balról folytonos (a $P(X<x)$ definíció mellett), és minden értéke $0$ és $1$ közé esik.
Az ugrás nagysága az $x_{k}$ helyen éppen $p_{k}=P(X=x_{k})$ .

A gyakorlatban leginkább arra használjuk, hogy intervallumba esés valószínűségét számoljunk belőle:

P(a\le X<b)=F(b)-F(a)

3. A várható érték

A várható érték az eloszlás súlypontja: az értékek valószínűségekkel súlyozott átlaga. Az elnevezés kicsit félrevezető, mert nem az az érték, amit „várunk” — sokszor nem is vehető fel —, hanem az, ami köré sok ismétlés átlaga beáll.

Várható érték

E(X)=\sum_{k}x_{k}\,p_{k}

Ha a változó egy függvényét kell átlagolni, nem kell új eloszlást keresni: elég a függvényértékeket ugyanazokkal a valószínűségekkel súlyozni.

E\bigl(g(X)\bigr)=\sum_{k}g(x_{k})\,p_{k}

A számolást két szabály teszi gyorssá:

Linearitás: $E(aX+b)=a\,E(X)+b$ .
Összeadhatóság: $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ — és ez mindig igaz, akkor is, ha $X$ és $Y$ nem független. Ez a valószínűségszámítás egyik legerősebb eszköze.
Ha $X$ és $Y$ független, akkor a szorzatra is teljesül: $E(XY)=E(X)\,E(Y)$ . Fordítva viszont nem: a szorzatszabály teljesülése nem jelent függetlenséget.

4. Szórásnégyzet és szórás

A várható érték nem mond semmit arról, mennyire ingadoznak az értékek körülötte. Ezt a szórásnégyzet méri: az átlagos négyzetes eltérés a várható értéktől.

Szórásnégyzet és szórás

D^{2}(X)=E\bigl[(X-E(X))^{2}\bigr]=E(X^{2})-\bigl[E(X)\bigr]^{2},\qquad D(X)=\sqrt{D^{2}(X)}

A jobb oldali alak a Steiner-formula, és gyakorlatilag mindig ezzel érdemes számolni: két összeget kell kiszámolni ( $E(X)$ és $E(X^{2})$ ), nem pedig minden értéknél külön eltérést. A szórás azért kell, mert a szórásnégyzet mértékegysége a változóénak a négyzete — gyököt vonva kapunk vissza értelmezhető mennyiséget.

Tulajdonság	Képlet	Megjegyzés
Eltolás	$D^{2}(X+b)=D^{2}(X)$	az ingadozást nem változtatja
Skálázás	$D^{2}(aX)=a^{2}D^{2}(X)$	szórásban $D(aX)=\|a\|\,D(X)$
Összeg (független)	$D^{2}(X+Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)$	csak függetlenség esetén
Nemnegativitás	$D^{2}(X)\ge 0$	nulla csak konstans változóra

Szórásnégyzet adódik össze, nem a szórás

Független változók összegénél a szórásnégyzetek adódnak össze. A szórásokat összeadni hiba: $D(X+Y)=\sqrt{D^{2}(X)+D^{2}(Y)}$ , ami mindig kisebb, mint a szórások összege. Ez a „gyök n” hatás áll a mintaátlag pontossága és a projektbecslés mögött is.

5. Kidolgozott példák

Kockadobás: várható érték és szórás

Legyen $X$ egy szabályos kockával dobott érték. Számold ki a várható értékét és a szórását.

Az eloszlás egyenletes: $p_{k}=\frac{1}{6}$ minden $k=1,\dots,6$ értékre.
$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5$
Figyeld meg, hogy a $3{,}5$ értéket a változó soha nem veszi fel — a várható érték nem egy „tipikus” érték, hanem a súlypont.
A Steiner-formulához kell a négyzetek átlaga:
$E(X^{2})=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}\approx 15{,}1667$
$D^{2}(X)=\frac{91}{6}-3{,}5^{2}=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}\approx 2{,}9167$
$D(X)=\sqrt{2{,}9167}\approx 1{,}708$

Eloszlásfüggvény felírása és használata

Egy készüléken egy vizsgálat során talált hibák száma $X$ , az eloszlása: $P(X=0)=0{,}5$ , $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}2$ . Írd fel az eloszlásfüggvényt, és számold ki belőle a $P(1\le X<2)$ értéket.

A valószínűségeket balról haladva összegezzük — mivel $F(x)=P(X<x)$ , egy értéknél az ugrás csak az adott hely után jelenik meg:
$F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0 \\ 0{,}5, & 0<x\le 1 \\ 0{,}8, & 1<x\le 2 \\ 1, & x>2 \end{cases}$
Ellenőrzés: az ugrások nagysága rendre $0{,}5$ , $0{,}3$ és $0{,}2$ — pontosan az eloszlás valószínűségei, és összegük $1$ .
$P(1\le X<2)=F(2)-F(1)=0{,}8-0{,}5=0{,}3$
Ez tényleg a $P(X=1)=0{,}3$ , hiszen az $[1,2)$ intervallumba csak az $1$ esik.

Garanciális költség: mennyit tegyünk félre darabonként

Egy termék garanciális javításának költsége $0$ Ft $0{,}9$ valószínűséggel, $20\,000$ Ft $0{,}08$ valószínűséggel és $60\,000$ Ft $0{,}02$ valószínűséggel. Mennyi a várható költség darabonként, és mekkora a szórása?

$E(X)=0\cdot 0{,}9+20\,000\cdot 0{,}08+60\,000\cdot 0{,}02=1600+1200=2800\ \text{Ft}$
$E(X^{2})=20\,000^{2}\cdot 0{,}08+60\,000^{2}\cdot 0{,}02=32\cdot 10^{6}+72\cdot 10^{6}=104\cdot 10^{6}$
$D^{2}(X)=104\cdot 10^{6}-2800^{2}=104\cdot 10^{6}-7{,}84\cdot 10^{6}=96{,}16\cdot 10^{6}$
$D(X)\approx 9806\ \text{Ft}$
A szórás több mint háromszorosa a várható értéknek — ez tipikus a „ritkán, de nagyot” típusú kockázatoknál. Egyetlen darab költsége szinte sosem lesz 2800 Ft; a szám arra jó, hogy sok darabra kalkuláljunk vele.

Két kocka összege: a linearitás ereje

Legyen $S=X+Y$ két független kockadobás összege. Mennyi a várható értéke és a szórása?

Nem kell felírni az összeg 11 értékű eloszlását — a linearitás azonnal megadja:
$E(S)=E(X)+E(Y)=3{,}5+3{,}5=7$
A dobások függetlenek, tehát a szórásnégyzetek adódnak össze:
$D^{2}(S)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\approx 5{,}833,\qquad D(S)\approx 2{,}415$
Vesd össze: a szórások összege $2\cdot 1{,}708=3{,}416$ lenne, ami lényegesen több a helyes $2{,}415$ -nél. Két független ingadozás részben kioltja egymást — ezért nő az összeg szórása csak $\sqrt{n}$ szerint, miközben a várható érték $n$ szerint.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció