Analízis 1

Deriválási szabályok

Ebben a tananyagban a deriválási szabályokat fogom bemutatni: összeg/különbség, szorzat, hányados és láncszabály.

14 perc olvasás

1. A négy deriválási szabály

Az összetett kifejezéseket ezekkel a szabályokkal bontjuk vissza alapderiváltakra. A feladatmegoldásoknál a lényeg, hogy felismerjük, hogy mikor melyiket kell használni (és milyen sorrendben, ha több is szükséges).

Összeg és konstans szorzó

\big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)' = \alpha f'(x) + \beta g'(x)

Vagyis tagonként lehet deriválni, és a konstans szorzó kijön a derivált elé. Ez az egyetlen szabály, ami annyira egyszerű, amennyire elsőre látszik.

Egy egyszerű példa

$f(x)=3x^{2}+5x$ . A két tagot külön deriváljuk, a 3-as és az 5-ös szorzó pedig egyszerűen ott marad: $f'(x)=3\cdot 2x+5\cdot 1=6x+5$ . Nincs több teendő.

Szorzatszabály

\big(f(x)\,g(x)\big)' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)

„Deriváljuk az elsőt, a másodikat békén hagyjuk, plusz az elsőt békén hagyjuk, a másodikat deriváljuk.” Három vagy több tényezőnél ugyanez folytatódik: mindig pontosan egy tényezőt deriválunk, a többit érintetlenül hagyjuk.

Egy egyszerű példa

$f(x)=x^{2}\sin x$ . Az első tényező $x^{2}$ , a második $\sin x$ . A mondóka szerint: $f'(x)=2x\cdot\sin x+x^{2}\cdot\cos x$ . Az első tagban az $x^{2}$ -et deriváltuk, a szinuszt békén hagytuk; a másodikban fordítva.

A szorzat deriváltja nem a deriváltak szorzata

$(fg)' \neq f'g'$ és $\left(\frac{f}{g}\right)' \neq \frac{f'}{g'}$ . Ellenőrizd egy pillanat alatt: $(x\cdot x)'=(x^{2})'=2x$ , míg a deriváltak szorzata $1\cdot 1=1$ .

Hányadosszabály

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g^{2}(x)}

A számlálóban a sorrend számít, mert a kivonás nem felcserélhető: előbb a számláló deriváltja szorozva a nevezővel, és abból vonjuk ki a másikat. A nevező az eredeti függvény nevezőjének négyzete, nem a deriváltjának a négyzete.

Egy egyszerű példa

$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ . A számláló deriváltja 1, a nevezőé is 1. A képlet szerint:

f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}

Figyeld meg, hogy a nevezőben az eredeti $x+1$ négyzete áll, és hogy a számlálóban a sorrend miatt maradt $+1$ , nem $-1$ .

Láncszabály: összetett függvény

\big(f(g(x))\big)' = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Ez az a szabály, amit a legtöbbször kell használni, és amit a legtöbbször felejtenek el befejezni. A következő fejezet erről szól.

Egy egyszerű példa

$f(x)=(3x+1)^{2}$ . A külső függvény a négyzetre emelés, a belső a $3x+1$ . Előbb a külsőt deriváljuk úgy, hogy a belsőt békén hagyjuk: $2(3x+1)$ , majd megszorozzuk a belső deriváltjával, ami 3: $f'(x)=2(3x+1)\cdot 3=6(3x+1)=18x+6$ . Ellenőrizd kibontással: $9x^{2}+6x+1$ deriváltja tényleg $18x+6$ .

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A láncszabály a gyakorlatban

Az összetett függvényt kívülről befelé bontjuk. A külső függvény általában az a művelet, amit utoljára végeznénk el, ha nem lenne a függvényben ismeretlen (x). Az alábbiakban mutatok pár konkrét példát erre.

Függvény	Külső / belső	Derivált
$(2x+1)^{7}$	$u^{7}\;/\;2x+1$	$7(2x+1)^{6}\cdot 2$
$e^{x^{2}}$	$e^{u}\;/\;x^{2}$	$e^{x^{2}}\cdot 2x$
$\sin(3x^{2})$	$\sin u\;/\;3x^{2}$	$\cos(3x^{2})\cdot 6x$
$\ln(5x+1)$	$\ln u\;/\;5x+1$	$\dfrac{5}{5x+1}$
$\sqrt{x^{2}+1}$	$\sqrt{u}\;/\;x^{2}+1$	$\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

Több szintnél a lánc egyszerűen hosszabb lesz: minden szinten deriválunk, és a következő szint deriváltjával szorzunk, amíg el nem fogy a kifejezés.

\Big(\ln\big(\sin(x^{2})\big)\Big)' = \frac{1}{\sin(x^{2})}\cdot\cos(x^{2})\cdot 2x

Két gyakori alak, amit érdemes külön megjegyezni

Ezek a láncszabály speciális esetei, de olyan sokszor jönnek elő, hogy külön képletként is érdemes ismerni őket: $\big(\ln f(x)\big)'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ és $\big(e^{f(x)}\big)'=e^{f(x)}f'(x)$ .

3. Kidolgozott példák

1. Szorzat- és láncszabály együtt

Deriváljuk a következő függvényt: $f(x)=x^{3}e^{2x}$ .

A legkülső művelet a szorzás, tehát szorzatszabály: $f'=(x^{3})'e^{2x}+x^{3}(e^{2x})'$ .
A két tényező külön: $(x^{3})'=3x^{2}$ , és $(e^{2x})'=e^{2x}\cdot 2$ a láncszabály miatt.
Összerakva: $f'(x)=3x^{2}e^{2x}+2x^{3}e^{2x}$ .
Kiemeléssel rendezve, ez az az alak, amivel a szélsőértéket keresni is lehet:
$f'(x)=x^{2}e^{2x}\,(3+2x)$

2. Hányadosszabály

Deriváljuk a következő függvényt: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$ .

Legyen $u=2x+1$ és $v=x^{2}+3$ , ekkor $u'=2$ és $v'=2x$ .
A szabály szerint:
$f'(x)=\frac{2(x^{2}+3)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}$
A számlálót kibontva: $2x^{2}+6-4x^{2}-2x=-2x^{2}-2x+6$ .
Tehát:
$f'(x)=\frac{-2x^{2}-2x+6}{(x^{2}+3)^{2}}=\frac{-2\,(x^{2}+x-3)}{(x^{2}+3)^{2}}$

3. Logaritmikus deriválás: amikor a kitevőben is x van

Deriváljuk a következő függvényt: $f(x)=x^{x}$ , ahol $x>0$ . Erre sem a hatvány-, sem az exponenciális szabály nem alkalmazható önmagában, mert az alapban és a kitevőben is $x$ áll.

Írjuk át exponenciális alakba: $x^{x}=e^{x\ln x}$ .
Ez már láncszabály, a belső függvény $x\ln x$ , aminek a deriváltja szorzatszabállyal $1\cdot\ln x + x\cdot\tfrac{1}{x}=\ln x+1$ .
Innen:
$f'(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^{x}(\ln x+1)$

4. Mire használjuk: érintő, monotonitás, szélsőérték

A vizsgafeladatok ritkán állnak meg a deriváltnál, általában kezdeni is kell vele valamit. A három leggyakoribb feladattípus:

Érintő egy adott pontban. Két adat kell: a pontbeli függvényérték és a pontbeli derivált. Például $f(x)=x^{2}$ esetén az $x_0=3$ pontban $f(3)=9$ és $f'(3)=6$ , tehát az érintő: $y=9+6(x-3)=6x-9$ .

Monotonitás. Egy intervallumon a derivált előjele dönt:

$f'(x)>0$ az intervallumon → a függvény ott szigorúan növekvő,
$f'(x)<0$ az intervallumon → a függvény ott szigorúan csökkenő.

Szélsőérték. A belső szélsőérték szükséges feltétele $f'(x)=0$ . Az így kapott stacionárius pontokban még el kell dönteni, mi történik:

Előjelvizsgálat: ha a derivált pozitívból negatívba vált, ott lokális maximum van; ha negatívból pozitívba, ott lokális minimum.
Második derivált: ha $f'(x_0)=0$ és $f''(x_0)<0$ , akkor maximum; ha $f''(x_0)>0$ , akkor minimum. Ha $f''(x_0)=0$ , ez a teszt nem dönt, vissza kell térni az előjelvizsgálathoz.
Konvexitás: $f''>0$ esetén a grafikon konvex (alulról nézve „mosolyog”), $f''<0$ esetén konkáv. Ahol a második derivált előjelet vált, ott inflexiós pont van.

A nulla derivált önmagában nem szélsőérték

$f(x)=x^{3}$ esetén $f'(0)=0$ , mégsincs a 0-ban szélsőérték: a derivált a 0 mindkét oldalán pozitív. A stacionárius pont csak gyanú, nem eredmény: az előjelváltást ellenőrizni kell.

5. Tipikus hibák

Elmarad a belső derivált. $(\sin 2x)'$ nem $\cos 2x$ , hanem $2\cos 2x$ . Ha a zárójelben nem egyszerűen $x$ áll, a láncszabály még nincs befejezve.
Felcserélt sorrend a hányadosszabályban. A számlálóban $f'g-fg'$ áll, ebben a sorrendben. Fordítva az eredmény pontosan az ellentettje lesz.
Többszintű láncszabálynál félbehagyott lánc. $\big(\ln(\sin x^{2})\big)'$ három szintből áll (ln, sin, $x^2$ ), és mindhármat deriválni kell, egymással összeszorozva. Egy-egy kimaradt tényező a leggyakoribb hiba az összetett feladatokban.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)