Analízis 2

Szétválasztható változójú egyenletek

Az első típus, amit meg tudunk oldani: ha az egyenlet szétesik egy csak x-es és egy csak y-os részre, két integrálás elég hozzá.

13 perc olvasás

1. Mikor szétválasztható?

Akkor, ha az egyenlet jobb oldala szétesik egy csak $x$ -től és egy csak $y$ -tól függő tényező szorzatára:

A típus

y'=f(x)\cdot g(y)

A hangsúly a szorzaton van. Ha a két rész összeadódik, az egyenlet nem ilyen típusú. Ez az első és legfontosabb megoldható típus, ezért érdemes a felismerését külön begyakorolni; összeszedtem Neked néhány példát, nézd végig, melyiknél miért igen vagy nem:

$y'=xy$ — szétválasztható, $f(x)=x$ , $g(y)=y$ .
$y'=\dfrac{x^{2}}{1+y^{2}}$ — szétválasztható, a tört is szorzat: $x^{2}\cdot\frac{1}{1+y^{2}}$ .
$y'=e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ — szétválasztható, mert az exponenciális szétbontható.
$y'=x+y$ — nem szétválasztható. Ez elsőrendű lineáris, arra másik módszer kell.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A megoldás menete

Az egész módszer azon áll, hogy az $y'$ -t $\frac{dy}{dx}$ alakban írjuk, és a két differenciált külön oldalra rendezzük. Formálisan ez „törtekkel való számolás”, ami elsőre gyanús lehet, de a helyettesítéses integrálás tétele igazolja.

Írd át: $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ .
Válaszd szét: $\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ . Itt osztunk $g(y)$ -nal — jegyezd meg, hol tetted, mert a negyedik fejezet erről szól.
Integráld mindkét oldalt, mindegyiket a saját változója szerint. Elég az egyik oldalra konstans.
Ha lehet, fejezd ki az $y$ -t. Ha nem megy, az implicit alak is teljes értékű megoldás.
Kezdetiérték-feladatnál a legvégén helyettesítsd be a feltételt, és számold ki a konstanst.

Egy egyszerű példa: y′ = 2y

Itt $f(x)=2$ konstans és $g(y)=y$ . Szétválasztva $\frac{dy}{y}=2\,dx$ , integrálva $\ln|y|=2x+C_1$ , exponenciálva $y=Ce^{2x}$ . Ellenőrzés: $y'=2Ce^{2x}=2y$ , rendben. Ez a „változás arányos a mennyiséggel” egyenlete: így nő egy kamatozó tőke vagy egy baktériumtenyészet.

Példa: y′ = xy

\frac{dy}{dx}=xy\ \Longrightarrow\ \frac{dy}{y}=x\,dx\ \Longrightarrow\ \int\frac{dy}{y}=\int x\,dx

\ln|y|=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}\ \Longrightarrow\ |y|=e^{C_{1}}e^{x^{2}/2}\ \Longrightarrow\ y=C\,e^{x^{2}/2}

Az utolsó lépésben az $\pm e^{C_1}$ helyére egyetlen $C$ konstanst írtunk. Ez bevett rövidítés: az abszolút érték és az előjel is beleolvad az új konstansba, ami így tetszőleges valós szám lehet.

A logaritmus utáni átalakítás

Ha a megoldásban $\ln|y|=\ldots+C$ alak jön ki, az exponenciálás előtt a konstans nem maradhat kint: $e^{A+C}=e^{C}e^{A}$ , tehát a konstansból szorzó lesz, nem összeadandó. Az $y=e^{x^{2}/2}+C$ tipikus és súlyos hiba.

3. Kidolgozott példák

Implicit megoldás: y·y′ = x

y\,dy=x\,dx\ \Longrightarrow\ \frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}\ \Longrightarrow\ y^{2}-x^{2}=C

Ez egy hiperbolasereg. Ki lehetne fejezni $y=\pm\sqrt{x^{2}+C}$ alakban, de a $\pm$ miatt az implicit alak a becsületesebb válasz. Ha nincs kezdeti feltétel, ami eldöntené az ágat, nyugodtan hagyd így.

Kezdetiérték-feladat: y′ = −2xy², y(0) = 1

Szétválasztás és integrálás:
$\frac{dy}{y^{2}}=-2x\,dx\ \Longrightarrow\ -\frac{1}{y}=-x^{2}+C$
Rendezés: $\dfrac{1}{y}=x^{2}-C$ , tehát $y=\dfrac{1}{x^{2}-C}$ .
A feltétel: $y(0)=1$ , azaz $1=\frac{1}{-C}$ , innen $C=-1$ .
$y=\frac{1}{x^{2}+1}$
Ellenőrzés: $y'=\frac{-2x}{(x^{2}+1)^{2}}=-2x\,y^{2}$ — stimmel.

4. Az elveszített konstans megoldások

A szétválasztás második lépésében $g(y)$ -nal osztottunk. Ez csak akkor szabad, ha $g(y)\ne 0$ . Ahol viszont $g(y_{0})=0$ , ott az $y\equiv y_{0}$ konstans függvény maga is megoldás — hiszen a deriváltja nulla, és a jobb oldal is az.

Példa: y′ = y²

Szétválasztva $y=-\frac{1}{x+C}$ jön ki. Az $y\equiv 0$ viszont szintén megoldás ( $0'=0^{2}$ ), és semmilyen $C$ -vel nem kapható meg a fenti alakból. Ez egy szinguláris megoldás: az osztás vesztette el.

Mikor kell külön kiírni?

Gyakran a konstans megoldás visszakapható a képletből egy alkalmas konstansértékkel — az $y=Ce^{x^{2}/2}$ például $C=0$ -nál adja az $y\equiv0$ -t, tehát nincs teendő. Ha viszont nem kapható meg (mint a fenti példában), akkor külön meg kell említeni. A biztos módszer: az osztás pillanatában írd oda, milyen $\ y$ -értékekre nem érvényes a lépés, és a végén ellenőrizd, hogy ezek megoldások-e.

5. Bónusz: homogén fokszámú egyenletek

Van egy típus, ami nem szétválasztható, de egyetlen helyettesítéssel azzá tehető. Ilyen az, amelyik felírható úgy, hogy a jobb oldalon $x$ és $y$ csak az $\frac{y}{x}$ hányadoson keresztül szerepel:

Homogén fokszámú egyenlet

y'=F\!\left(\frac{y}{x}\right)

A helyettesítés $u=\frac{y}{x}$ , azaz $y=ux$ . Ekkor a szorzatszabállyal $y'=u+xu'$ , és az egyenlet $u$ -ra már szétválasztható lesz.

Példa: y′ = (x + y)/x

A jobb oldal átírva: $1+\frac{y}{x}$ , tehát valóban ilyen típusú.
Helyettesítés: $u+xu'=1+u\ \Longrightarrow\ xu'=1$ . Az $u$ kiesett — ez a helyettesítés lényege.
$\frac{du}{dx}=\frac1x\ \Longrightarrow\ u=\ln|x|+C$
Visszahelyettesítés $u=\frac{y}{x}$ alapján:
$y=x\big(\ln|x|+C\big)$

A visszahelyettesítést ne hagyd el

A feladat az $y$ -t kérdezi, nem az $u$ -t. Ez a leggyakoribb pontvesztés ennél a típusnál: a számolás jó, csak a megoldás egy segédváltozóban maradt.

6. Tipikus hibák

Konstans hozzáadása exponenciálás után. Az $\ln|y|=A+C$ alakból $y=Ce^{A}$ lesz, nem $e^{A}+C$ .
Az integrálási konstans elhagyása. Enélkül nem az általános megoldást kapod. Elég az egyik oldalra kiírni, de kiírni kell.
A konstans megoldás elvesztése. Ahol $g(y)=0$ , ott van egy megoldás, amit az osztás eltüntet. Nézd meg, hogy visszakapható-e a képletből.
Erőltetett explicit alak. Ha az $y$ nem fejezhető ki szépen, hagyd implicit alakban. Egy rossz gyökvonás többet árt, mint amennyit a szép alak használ.
Rossz típusbesorolás. Az $y'=x+y$ nem szétválasztható, hiába néz ki egyszerűnek. Ha a szétválasztás nem megy, ne erőltesd: valószínűleg lineáris egyenletről van szó.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció