Matek Barnával
Ingyenes tananyagok

Analízis 1

Improprius integrál

Mi történik, ha az integrálási tartomány végtelen, vagy a függvény robban a széleken: mikor van egyáltalán véges érték, és hogyan számoljuk ki.

12 perc olvasás

1. Két eset, egy közös ötlet

A határozott integrál eddig egy korlátos függvényt integrált egy véges szakaszon. Ha bármelyik feltétel sérül, a Newton–Leibniz-formula nem alkalmazható közvetlenül, és improprius integrálról beszélünk. Két eset van:

  • Végtelen az integrálási tartomány: ∫a∞f\int_{a}^{\infty}f. A görbe alatti terület jobbra sosem ér véget.
  • Nem korlátos az integrandus: ∫01dxx\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}. A tartomány véges, de a függvény a szélén a végtelenbe szalad.

A megoldás mindkettőnél ugyanaz: a bajos szélt nem érintjük meg, hanem csak közelítünk hozzá, és határértéket veszünk.

A két definíció

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx,∫abf(x) dx=lim⁡ε→0+∫ab−εf(x) dx\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)\,dx

Ha a határérték véges, az integrál konvergens, és az értéke ez a szám. Ha végtelen, vagy nem létezik, az integrál divergens. A gyakorlati menet tehát: számold ki a szokásos módon a primitív függvényt, helyettesíts be egy paraméteres határt, és a végén vedd a határértéket. Az alábbiakban mindkét esetre mutatok egy-egy konvergens és egy-egy divergens példát, hogy lásd, mitől függ a kettő közötti különbség.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalásavagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Végtelen integrálási határ

Példa: konvergens

∫1∞dxx2=lim⁡b→∞[−1x]1b=lim⁡b→∞(1−1b)=1\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right)=1

A görbe alatti terület véges, pedig a tartomány végtelen hosszú: a függvény elég gyorsan fogy ahhoz, hogy a hozzáadódó darabok összege korlátos maradjon.

Példa: divergens

∫1∞dxx=lim⁡b→∞[ln⁡x]1b=lim⁡b→∞ln⁡b=∞\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to\infty}\Big[\ln x\Big]_{1}^{b}=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty

A két függvény grafikonja ránézésre hasonló, mindkettő nullához tart, a terület mégis az egyik esetben véges, a másikban végtelen. A különbség pusztán a fogyás sebességében van.

Ha mindkét határ végtelen

A ∫−∞∞f\int_{-\infty}^{\infty}f integrált két külön improprius integrálra kell bontani egy tetszőleges cc pontnál, és mindkettőnek konvergálnia kell:

∫−∞∞f=∫−∞cf+∫c∞f\int_{-\infty}^{\infty}f=\int_{-\infty}^{c}f+\int_{c}^{\infty}f

Nem szabad egyetlen szimmetrikus lim⁡b→∞∫−bb\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^{b} határértékkel elintézni. Az ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx így ugyanis 0-t adna, pedig az integrál divergens: mindkét fele külön-külön végtelen.

3. Nem korlátos integrandus

A második eset alattomosabb, mert kívülről közönséges határozott integrálnak látszik. Mindig nézd meg, hogy az integrandus értelmezve van-e a teljes zárt intervallumon.

Példa: konvergens

Az 1x\frac{1}{\sqrt{x}} a 0-ban nincs értelmezve, ezért alulról közelítünk:

∫01dxx=lim⁡ε→0+[2x]ε1=lim⁡ε→0+(2−2ε)=2\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\Big[2\sqrt{x}\Big]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(2-2\sqrt{\varepsilon}\right)=2

A terület véges, hiába nyúlik a görbe végtelen magasra: a tölcsér elég gyorsan keskenyedik.

Példa: divergens

∫01dxx=lim⁡ε→0+[ln⁡x]ε1=lim⁡ε→0+(−ln⁡ε)=∞\int_{0}^{1}\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\Big[\ln x\Big]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(-\ln\varepsilon\right)=\infty

A legveszélyesebb hiba: belső szingularitás

Ha a szakadás az intervallum belsejében van, a Newton–Leibniz-formula gépies alkalmazása értelmetlen eredményt ad. Nézd meg, mi jön ki, ha valaki nem veszi észre a 0-t:

∫−11dxx2 =hibaˊs [−1x]−11=−1−1=−2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}\ \overset{\text{hibás}}{=}\ \left[-\frac1x\right]_{-1}^{1}=-1-1=-2

Egy mindenhol pozitív függvény integrálja nem lehet negatív, tehát a számolás biztosan rossz. A helyes eljárás a 0-nál kettévágni, és mindkét felet külön vizsgálni: mindkettő divergens, tehát az integrál divergens. Mindig ellenőrizd, hogy az integrandusnak nincs-e szakadása a határok között.

4. Az 1 per x a p-ediken küszöb

A fenti példák nem véletlenül a hatványfüggvényekről szóltak: ezek adják azt a mércét, amihez később mindent hasonlítunk. Két szabályt kell tudni, és a kettő épp ellentétes.

A végtelenben

∫1∞dxxp  konvergens  ⟺  p>1\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}\ \ \text{konvergens}\iff p>1

A nullában

∫01dxxp  konvergens  ⟺  p<1\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}\ \ \text{konvergens}\iff p<1

Egy egyszerű példa: döntés számolás nélkül

Az ∫1∞dxx3\int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{3}} konvergens, mert p=3>1p=3>1; az értéke egyébként 12\frac12. Az ∫01dxx3\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{3}} viszont divergens, mert a nullában p<1p<1 kellene. Fordítva: az ∫01dxx\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x}}-nél p=12<1p=\frac12<1, tehát konvergens (ezt fentebb ki is számoltuk, 2 jött ki), míg az ∫1∞dxx\int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{\sqrt{x}} divergens. Ugyanaz a függvény, más szélen: más a válasz.

Érdemes megérteni, miért fordul meg az irány. A végtelenben az a jó, ha a függvény gyorsan fogy, tehát nagy kitevő kell. A nullában viszont az a jó, ha a függvény lassan robban, tehát kis kitevő. A p=1p=1 mindkét oldalon a határvonalon van, és mindkét esetben a rossz oldalon: az 1x\frac1x integrálja se a nullában, se a végtelenben nem véges.

Az exponenciális mindig nyer

A ∫0∞e−xdx=1\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1 konvergens, sőt ∫0∞e−kxdx=1k\int_{0}^{\infty}e^{-kx}dx=\frac{1}{k} minden k>0k>0-ra. Az exponenciális csökkenés minden hatványfüggvénynél gyorsabb, ezért az ilyen integrálok gyakorlatilag mindig konvergensek.

5. Összehasonlító kritérium

Gyakran nem az érdekel, hogy mennyi az integrál, hanem csak az, hogy véges-e. Ilyenkor nem kell primitív függvényt keresni: elég egy alkalmas becslés. A gondolat pontosan ugyanaz, mint a soroknál.

Összehasonlító kritérium

0≤f(x)≤g(x):∫g konv.⇒∫f konv.,∫f div.⇒∫g div.0\le f(x)\le g(x):\qquad \int g\ \text{konv.}\Rightarrow\int f\ \text{konv.},\qquad \int f\ \text{div.}\Rightarrow\int g\ \text{div.}

Példa: konvergencia felülről

Konvergens-e az ∫1∞dxx2+x\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+x}? A nevező nagyobb, mint x2x^{2}, tehát a tört kisebb:

0<1x2+x<1x2,∫1∞dxx2=1<∞0<\frac{1}{x^{2}+x}<\frac{1}{x^{2}},\qquad \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}=1<\infty

A nagyobb integrál véges, tehát a kisebb is: konvergens.

Példa: amit másképp nem lehet

Az e−x2e^{-x^{2}} függvénynek nincs elemi primitív függvénye, tehát kiszámolni nem tudjuk. Megbecsülni viszont igen: x≥1x\ge 1 esetén x2≥xx^{2}\ge x, tehát e−x2≤e−xe^{-x^{2}}\le e^{-x}.

∫1∞e−x2dx ≤ ∫1∞e−xdx=1e<∞\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\ \le\ \int_{1}^{\infty}e^{-x}dx=\frac{1}{e}<\infty

Az integrál tehát konvergens, hiába nem tudjuk az értékét zárt alakban felírni.

Példa: divergencia alulról

Az ∫1∞dxx2+1\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}} esetén x2+1≤2 x\sqrt{x^{2}+1}\le \sqrt{2}\,x (mert x≥1x\ge 1), tehát a tört alulról becsülhető:

1x2+1 ≥ 12 x,∫1∞dx2 x=∞\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\ \ge\ \frac{1}{\sqrt{2}\,x},\qquad \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2}\,x}=\infty

A kisebb integrál végtelen, tehát a nagyobb is: divergens.

6. Tipikus hibák

  • Belső szakadás észrevétlenül hagyása. A Newton–Leibniz-formula csak folytonos integrandusra érvényes. Az ∫−11dxx2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}} gépi kiszámolása −2-2-t ad, ami nyilvánvalóan lehetetlen.
  • A határérték lépésének kihagyása. A ∞\infty nem szám, nem lehet behelyettesíteni. A megoldásban paraméteres határnak és határértéknek is szerepelnie kell, ez általában külön pontot ér.
  • A két pp-szabály felcserélése. A végtelenben p>1p>1 kell, a nullában p<1p<1. Ha bizonytalan vagy, gondolj arra, hogy 1x\frac1x mindkét esetben divergens, és onnan indulj el.
  • Kétoldali végtelennél szimmetrikus határérték. A két félnek külön kell konvergálnia; a szimmetrikus levágás egy divergens integrálra is véges „értéket” adhat.
  • Összehasonlítás rossz irányban. Konvergenciához felülről kell becsülni egy konvergens integrállal, divergenciához alulról egy divergenssel. Fordítva a becslés semmit nem bizonyít.
Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalásaCsoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)