Gyakorló feladatsor: Fourier-sorok

Megoldás

• $f(x)=x^{3}$ páratlan, tehát minden $a_{n}=0$ (az $a_{0}$-t is beleértve): tiszta szinuszsor.
• $g(x)=|x|$ páros, tehát minden $b_{n}=0$: koszinuszsor.
• $h(x)=x+1$ se nem páros, se nem páratlan, tehát elvileg mindkét fajta együttható kell. Érdemes viszont szétbontani: az $1$ páros (és csak az $a_{0}$-ba szól bele), az $x$ pedig páratlan (és csak a $b_{n}$-be). Így egyik integrált sem kell „vegyesen” számolni.

Megoldás

1. Paritás. Az $x^{2}$ páros, tehát minden $b_{n}=0$, és a megmaradó együtthatókat elég a fél tartományon számolni.
2. A konstans tag.
   $$a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{2\pi^{2}}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{a_{0}}{2}=\frac{\pi^{2}}{3}$$
3. Az együtthatók. Kétszeri parciális integrálás, először $u=x^{2}$, $v'=\cos nx$:
   $$\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos nx\,dx=\underbrace{\left[\frac{x^{2}\sin nx}{n}\right]_{0}^{\pi}}_{=0}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\sin nx\,dx$$
   A maradék integrál az elméleti leckéből ismerős: $\int_{0}^{\pi}x\sin nx\,dx=\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}$, tehát:
   $$\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos nx\,dx=-\frac{2}{n}\cdot\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}$$
4. $$a_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}$$
5. A sor.
   $$x^{2}\sim\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos nx$$

Megoldás

1. A függvény páratlan, tehát minden $a_{n}=0$, és
   $$b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin nx\,dx=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi n}\big(1-\cos n\pi\big)$$
2. Mivel $\cos n\pi=(-1)^{n}$, a zárójel páros $n$-re nulla, páratlanra 2:
   $$b_{n}=\begin{cases}\dfrac{4}{\pi n}, & n\ \text{páratlan}\\[6pt] 0, & n\ \text{páros}\end{cases}$$
3. $$f(x)\sim\frac{4}{\pi}\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\dots\right)$$

Megoldás

1. Bontsuk szét: az $x$ páratlan, a $2$ páros konstans.
2. A konstans csak az $a_{0}$-ba szól bele:
   $$a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(x+2)\,dx=\frac{1}{\pi}\big(0+4\pi\big)=4\quad\Longrightarrow\quad\frac{a_{0}}{2}=2$$
   A többi $a_{n}$ nulla, mert $x\cos nx$ páratlan, a $2\cos nx$ integrálja pedig egy teljes perióduson nulla.
3. A $b_{n}$ ugyanaz, mint a sima $x$-re (a konstans nem ad hozzá semmit): $b_{n}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$.
4. $$x+2\sim 2+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$$
   Vagyis a $+2$ pontosan annyit tesz, hogy a sort felemeli 2-vel: a jel átlagos értéke változott meg, a hullámalak nem.

Megoldás

1. A periódus most $2L=4$, tehát $L=2$, és a szögfüggvények argumentuma $\frac{n\pi x}{2}$.
2. A függvény páratlan, tehát minden $a_{n}=0$, és
   $$b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}x\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx=\int_{0}^{2}x\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx$$
3. Parciális integrálással, $k=\frac{n\pi}{2}$ jelöléssel:
   $$\int_{0}^{2}x\sin kx\,dx=\left[-\frac{x\cos kx}{k}\right]_{0}^{2}+\frac{1}{k}\int_{0}^{2}\cos kx\,dx=-\frac{2\cos n\pi}{k}+0$$
4. Visszaírva $k=\frac{n\pi}{2}$-t:
   $$b_{n}=-\frac{2(-1)^{n}}{n\pi/2}=\frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi}$$
   $$x\sim\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi x}{2}$$

Megoldás

1. Mindkét pont szakadási hely, tehát a Dirichlet-tétel szerint a sor a bal és jobb oldali határérték számtani közepéhez tart, nem a függvényértékhez.
2. $x=0$-ban: $f(0^{-})=-1$ és $f(0^{+})=1$, tehát a sor összege $\frac{-1+1}{2}=0$.
3. $x=\pi$-ben a periodikus kiterjesztés $1$-ről $-1$-re ugrik, tehát az összeg itt is $0$.
4. Ellenőrzés: a sorban minden tag $\sin(n\cdot 0)=0$, illetve $\sin(n\pi)=0$, tehát az összeg valóban 0 mindkét helyen. A tétel és a képlet egybevág.

Megoldás

1. A Parseval-formula bal oldala: mivel $f^{2}\equiv1$,
   $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^{2}(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi=2$$
2. A jobb oldal: minden $a_{n}=0$, a páratlan indexű $b_{n}=\frac{4}{\pi n}$:
   $$\sum_{n\ \text{páratlan}}\left(\frac{4}{\pi n}\right)^{2}=\frac{16}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}}$$
3. A kettőt egyenlővé téve:
   $$2=\frac{16}{\pi^{2}}S\quad\Longrightarrow\quad S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$$

Megoldás

1. Koszinuszsort akarunk, tehát a függvényt párosan terjesztjük ki a negatív oldalra (az eredmény az $|x|$ lesz a teljes intervallumon). Ettől minden $b_{n}=0$.
2. $$a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{2}=\pi\quad\Longrightarrow\quad\frac{a_{0}}{2}=\frac{\pi}{2}$$
3. Parciális integrálással $u=x$, $v'=\cos nx$:
   $$\int_{0}^{\pi}x\cos nx\,dx=\underbrace{\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]_{0}^{\pi}}_{=0}-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin nx\,dx=\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}$$
4. Tehát $a_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}$, ami páros $n$-re nulla, páratlanra $-\frac{4}{\pi n^{2}}$:
   $$x\sim\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{\cos 3x}{9}+\frac{\cos 5x}{25}+\dots\right)$$
5. Ellenőrzés $x=0$-ban: a bal oldal 0, a jobb oldal $\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{8}=0$ — épp az előző feladat összegével. A két eredmény egymást igazolja.