Gyakorló feladatsor: Laplace-transzformáció

Megoldás

Csak linearitás és a táblázat három sora kell; a transzformáció tagonként végezhető.

Figyelj az utolsó tag előjelére: az $e^{at}$ transzformáltja $\frac{1}{s-a}$, tehát $a=-4$ esetén $\frac{1}{s+4}$.

Megoldás

1. A tétel: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$, vagyis az $e^{at}$ szorzó a képtérben eltolás: minden $s$ helyére $s-a$ kerül.
2. $\mathcal{L}\{\sin 3t\}=\frac{3}{s^{2}+9}$, tehát $a=2$ eltolással:
   $$\mathcal{L}\{e^{2t}\sin 3t\}=\frac{3}{(s-2)^{2}+9}$$
3. $\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}$, tehát $a=-1$ eltolással:
   $$\mathcal{L}\{t^{2}e^{-t}\}=\frac{2}{(s+1)^{3}}$$

Megoldás

1. A nevező szorzattá alakítva: $s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2)$, tehát két egyszeres valós gyök van.
2. $$\frac{2s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}$$
   A letakarásos módszerrel: $A=\frac{2(-1)+3}{-1+2}=1$ és $B=\frac{2(-2)+3}{-2+1}=1$.
3. Mindkét tag a táblázat $\frac{1}{s-a}$ sora:
   $$f(t)=e^{-t}+e^{-2t}$$

Megoldás

1. A nevező diszkriminánsa $16-52<0$, tehát nincs valós gyök: parciális törtekre bontás helyett teljes négyzetté alakítunk.
   $$s^{2}+4s+13=(s+2)^{2}+9$$
2. A számlálót is az $(s+2)$ köré rendezzük: $s+3=(s+2)+1$.
   $$F(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}+\frac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}}$$
3. Az első tag a koszinuszos, a második a szinuszos sor $a=-2$ eltolással. A másodikban a számlálót „megigazítjuk”, mert oda $\omega=3$ kell:
   $$F(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}+\frac13\cdot\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}$$
4. $$f(t)=e^{-2t}\cos 3t+\frac13 e^{-2t}\sin 3t$$

Megoldás

1. Transzformálás tagonként, $\mathcal{L}\{y'\}=sY-y(0)$:
   $$\big(sY-2\big)+3Y=\frac{1}{s+1}$$
2. Rendezés $Y$-ra:
   $$Y(s+3)=2+\frac{1}{s+1}\ \Longrightarrow\ Y=\frac{2}{s+3}+\frac{1}{(s+1)(s+3)}$$
3. A második tag parciális törtekre bontva:
   $$\frac{1}{(s+1)(s+3)}=\frac{1/2}{s+1}-\frac{1/2}{s+3}$$
4. Összevonva:
   $$Y=\frac{1/2}{s+1}+\frac{3/2}{s+3}\quad\Longrightarrow\quad y(t)=\frac12 e^{-t}+\frac32 e^{-3t}$$
5. Ellenőrzés: $y(0)=\frac12+\frac32=2$, és $y'+3y=e^{-t}$ behelyettesítéssel is kijön.

Megoldás

1. A második derivált transzformáltja három tagból áll: $s^{2}Y-s\,y(0)-y'(0)$.
   $$\big(s^{2}Y-s-2\big)+4Y=0\ \Longrightarrow\ Y(s^{2}+4)=s+2$$
2. $$Y=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{2}{s^{2}+4}=\frac{s}{s^{2}+2^{2}}+\frac{2}{s^{2}+2^{2}}$$
   Itt szerencsénk van: a második tag számlálója pontosan $\omega=2$, tehát nem kell igazítani.
3. $$y(t)=\cos 2t+\sin 2t$$
   Ellenőrzés: $y(0)=1$, és $y'=-2\sin 2t+2\cos 2t$, tehát $y'(0)=2$.

Megoldás

1. Mivel mindkét kezdeti érték nulla, a derivált-képletekből csak a főtagok maradnak:
   $$s^{2}Y-3sY+2Y=\frac{1}{s-3}\ \Longrightarrow\ Y=\frac{1}{(s-3)(s^{2}-3s+2)}$$
2. A nevező teljesen szorzattá alakítva ($s^{2}-3s+2=(s-1)(s-2)$ a karakterisztikus polinom):
   $$Y=\frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s-3}$$
3. Letakarásos módszerrel:
   $$A=\frac{1}{(1-2)(1-3)}=\frac12,\quad B=\frac{1}{(2-1)(2-3)}=-1,\quad C=\frac{1}{(3-1)(3-2)}=\frac12$$
4. $$y(t)=\frac12 e^{t}-e^{2t}+\frac12 e^{3t}$$
   Ellenőrzés: $y(0)=\frac12-1+\frac12=0$, és $y'(0)=\frac12-2+\frac32=0$. Mindkét feltétel teljesül, méghozzá anélkül, hogy külön konstansokat kellett volna meghatározni.

Megoldás

1. A késleltetési tétel szerint $\mathcal{L}\{u(t-2)\}=\frac{e^{-2s}}{s}$, tehát:
   $$sY+Y=\frac{e^{-2s}}{s}\ \Longrightarrow\ Y=e^{-2s}\cdot\frac{1}{s(s+1)}$$
2. Az exponenciális szorzót félretesszük, és előbb csak a törtet transzformáljuk vissza:
   $$\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\quad\Longrightarrow\quad g(t)=1-e^{-t}$$
3. Az $e^{-2s}$ szorzó a késleltetési tétel szerint időbeli eltolás, méghozzá az egységugrással megszorozva:
   $$y(t)=g(t-2)\,u(t-2)=\Big(1-e^{-(t-2)}\Big)u(t-2)$$
4. Vagyis a rendszer $t<2$-ig nyugalomban van, utána pedig exponenciálisan felfut 1-hez. Ez az a feladattípus, ahol a próbafüggvény-módszer nem használható, a Laplace-transzformáció viszont gyakorlatilag ugyanannyi munka, mint egy sima jobb oldalnál.