A mátrixok alapjai

1. Mi a mátrix, és mit jelölünk vele?

A mátrix számok téglalap alakú táblázata. Első ránézésre csak adminisztráció, az válik belőle érdekessé, hogy a rá értelmezett műveletek pontosan úgy viselkednek, mint a lineáris egyenletrendszerek és a lineáris leképezések, így egy egyenletrendszer megoldása táblázatokon végzett műveletté válik.

Az $m\times n$ méret azt jelenti: m sor, n oszlop, ebben a sorrendben, mindig. Az elemek jelölése $a_{ij}$ , ahol $i$ a sor és $j$ az oszlop indexe.

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \quad (2\times 3)

Az a néhány típus, aminek külön neve van:

Elnevezés	Amit jelent
Négyzetes mátrix	ugyanannyi sor, mint oszlop ( $n\times n$ ): determináns és inverz csak ilyennél értelmes
Egységmátrix	$I_n$ : a főátlóban csupa 1, máshol 0. A szorzás semleges eleme: $AI=IA=A$
Nullmátrix	minden eleme 0; az összeadás semleges eleme
Diagonális mátrix	a főátlón kívül minden eleme 0
Háromszögmátrix	a főátló alatt (felső) vagy fölött (alsó) csupa 0: a determinánsa a főátló elemeinek szorzata
Szimmetrikus mátrix	$A^{T}=A$ , vagyis a főátlóra tükrös

Két mátrix pontosan akkor egyenlő, ha a méretük is és minden megfelelő elemük is megegyezik. Ebből következik, hogy egy mátrixegyenlet valójában annyi skaláris egyenlet, ahány eleme van a mátrixnak.

2. Összeadás és skalárral szorzás

Ez a két művelet elemenként működik, és csak azonos méretű mátrixokra van értelmezve.

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, \qquad (\lambda A)_{ij}=\lambda\,a_{ij}

Mivel elemenként számolunk, minden a valós számoktól megszokott tulajdonság öröklődik: az összeadás kommutatív és asszociatív, a skalárral szorzás disztributív az összeadásra nézve, a nullmátrix pedig a semleges elem. Ezen a szinten nincs meglepetés, az a következő fejezetben jön.

3. Mátrixszorzás

A mátrixszorzás nem elemenkénti. Az $AB$ szorzat akkor létezik, ha A oszlopainak száma megegyezik B sorainak számával, és az eredmény mérete a „külső” méretekből áll össze:

A méretszabály

\underset{(m\times n)}{A}\cdot\underset{(n\times p)}{B}=\underset{(m\times p)}{C}

Az eredmény $i$ -edik sorának $j$ -edik eleme az $A$ $i$ -edik sorának és a $B$ $j$ -edik oszlopának skaláris szorzata: elemenként összeszorozzuk és összeadjuk őket.

Mátrixszorzás

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Egy szorzat végigszámolva

Legyen

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

A méretek $2\times 2$ és $2\times 2$ , a szorzat tehát létezik és $2\times 2$ lesz.
Az első sor, első oszlop: $1\cdot 3+2\cdot 2=7$ . Első sor, második oszlop: $1\cdot 1+2\cdot 4=9$ .
Második sor, első oszlop: $0\cdot 3+(-1)\cdot 2=-2$ . Második sor, második oszlop: $0\cdot 1+(-1)\cdot 4=-4$ .
Vagyis:
$AB=\begin{pmatrix} 7 & 9 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$

Amit a szorzás tud:

Asszociatív: $(AB)C=A(BC)$ ,
Disztributív: $A(B+C)=AB+AC$ ,
az egységmátrix semleges: $AI=IA=A$ .

A mátrixszorzás nem kommutatív

Általában $AB\neq BA$ , sokszor a $BA$ nem is létezik, mert nem stimmelnek a méretek. A fenti példában $BA=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ , ami láthatóan más.

Ebből további szokatlan következmények adódnak: $AB=0$ úgy is előfordulhat, hogy sem $A$ , sem $B$ nem nullmátrix, és az $AB=AC$ egyenlőségből nem következik $B=C$ . Egyszerűsíteni csak akkor szabad, ha $A$ invertálható.

4. A transzponált

A transzponálás felcseréli a sorokat és az oszlopokat: $(A^{T})_{ij}=a_{ji}$ . Egy $m\times n$ mátrixból így $n\times m$ lesz.

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

$(A^{T})^{T}=A$ ,
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ és $(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$ ,
$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ , figyelj a felcserélt sorrendre. Ez nem elírás: a méretek is csak így stimmelnek.

5. A determináns

A determináns négyzetes mátrixhoz rendel egy számot. A legfontosabb, amit mond: $\det A \neq 0$ pontosan akkor, ha a mátrix invertálható, és pontosan akkor, ha a hozzá tartozó egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van.

2×2 determináns

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc

$3\times 3$ esetén a Sarrus-szabály működik: a három „lefelé” futó átló szorzatát összeadjuk, a három „felfelé” futóét kivonjuk.

\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}

Egy 3×3 determináns

\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} = 2\cdot 3\cdot 4 + 1\cdot 1\cdot 0 + 0\cdot 1\cdot 2 - 0\cdot 3\cdot 0 - 2\cdot 1\cdot 2 - 1\cdot 1\cdot 4

Ez $24+0+0-0-4-4=16$ . Mivel nem nulla, a mátrix invertálható.

Nagyobb méretnél a kifejtési tétel a járható út: válassz egy sort vagy oszlopot (lehetőleg olyat, amiben sok a nulla), és fejtsd ki eszerint. Minden elemhez az őt tartalmazó sor és oszlop elhagyásával kapott aldetermináns tartozik, előjelesen:

\det A=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{\,i+j}\,a_{ij}\,\det A_{ij}

Az előjelek sakktáblaszerűen váltakoznak, a bal felső sarokban $+$ jellel.

A gyakorlatban leghasznosabb tulajdonságok:

Háromszögmátrix (és így diagonális mátrix) determinánsa a főátló elemeinek szorzata. Ezért éri meg eliminációval háromszög alakra hozni a mátrixot.
Két sor cseréje előjelet vált; egy sor $\lambda$ -szorosára változtatása a determinánst is $\lambda$ -szorosára változtatja.
Egy sor másik sorhoz adása nem változtatja meg a determinánst: ez az elimináció alapja.
Ha két sor (vagy oszlop) megegyezik, vagy van csupa nulla sor, akkor $\det A=0$ .
$\det(AB)=\det A\cdot\det B$ és $\det(A^{T})=\det A$ .

Amit a determináns nem tud

$\det(A+B)\neq \det A+\det B$ : az összegre nincs egyszerű szabály. Skalárral szorzásnál pedig a méret is beleszól: $\det(\lambda A)=\lambda^{n}\det A$ egy $n\times n$ mátrixra.

6. Az inverz mátrix

Az $A^{-1}$ inverz az a mátrix, amivel szorozva az egységmátrixot kapjuk:

Az inverz definíciója

A A^{-1}=A^{-1}A=I

Csak négyzetes mátrixnak lehet inverze, és akkor is csak $\det A\neq 0$ esetén, az ilyen mátrixot regulárisnak (invertálhatónak) nevezzük, a $\det A = 0$ esetet pedig szingulárisnak. Ha létezik, akkor egyértelmű.

2×2 inverz

A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Vagyis a főátló két elemét felcseréljük, a mellékátló két elemének előjelét megfordítjuk, és az egészet elosztjuk a determinánssal.

2×2 inverz kiszámítása

Legyen $A=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ .

$\det A=4\cdot 6-7\cdot 2=10$ , ami nem nulla, tehát van inverz.
A képlet szerint:
$A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
Ellenőrzés (ez mindig megéri): $AA^{-1}=I$ valóban teljesül.

$3\times 3$ mérettől fölfelé a képletes út (adjungált mátrix) hosszú és hibalehetőségekkel teli. Helyette a Gauss–Jordan-elimináció a bevett módszer: az $[A\,|\,I]$ táblát elimináljuk addig, amíg a bal oldalon egységmátrix nem áll: ekkor a jobb oldalon az inverz jelenik meg.

Az inverznél is fordul a sorrend

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ , nem pedig $A^{-1}B^{-1}$ . Emellett $(A^{-1})^{-1}=A$ és $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}$ .

7. Rang és az egyenletrendszerek megoldhatósága

A mátrix rangja a lineárisan független sorainak maximális száma, ami mindig megegyezik a lineárisan független oszlopok számával. A gyakorlatban a legegyszerűbben így kapjuk meg: hozzuk a mátrixot lépcsős alakra, és számoljuk meg a nem csupa nulla sorokat.

Ennek az egyenletrendszereknél van a legnagyobb haszna. Az $Ax=b$ rendszerhez tartozó bővített mátrix az $[A\,|\,b]$ tábla, és a megoldások száma a két rang összehasonlításából leolvasható:

Feltétel	A megoldások száma
$\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}([A\|b])$	nincs megoldás (ellentmondásos rendszer)
$\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A\|b]) = n$	pontosan egy megoldás
$\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A\|b]) = r < n$	végtelen sok megoldás, $n-r$ szabad paraméterrel

Itt $n$ az ismeretlenek száma. Négyzetes együtthatómátrix esetén ez egybevág a determinánssal: $\det A\neq 0$ pontosan azt jelenti, hogy a rang teljes, tehát pontosan egy megoldás van.

Négy állítás, ami ugyanazt mondja

Egy $n\times n$ mátrixra a következők egyenértékűek: $\det A\neq 0$ ; $A$ invertálható; $\operatorname{rang}(A)=n$ ; az $Ax=0$ egyenletrendszernek csak a triviális $x=0$ megoldása van. Ha az egyiket kiszámoltad, a másik hármat is tudod.

8. Tipikus hibák

A méretfeltétel elhagyása. Összeadni csak azonos méretű mátrixokat lehet, szorozni pedig csak akkor, ha az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. A művelet elvégzése előtt írd le a méreteket.
Felcserélt tényezők. $AB\neq BA$ , és ugyanígy $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ , $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : a sorrend mindkettőben megfordul.
Egyszerűsítés mátrixszal. Az $AB=AC$ egyenlőségből csak akkor következik $B=C$ , ha $A$ invertálható. Mátrixszal osztás pedig nem létezik: helyette inverzzel szorzunk, és arra is figyelni kell, melyik oldalról.
Determináns nem négyzetes mátrixra. Egy $2\times 3$ mátrixnak nincs determinánsa, és inverze sincs.
Sarrus nagyobb méretre. A Sarrus-szabály kizárólag $3\times 3$ mátrixra érvényes. $4\times 4$ esetén kifejtés vagy elimináció kell.
Elemenkénti inverz. Az inverz nem az elemek reciproka a definíció szerint $AA^{-1}=I$ , és ezt érdemes minden számolás végén ellenőrizni.