Analízis 2

Hatványsorok és konvergenciasugár

Ha a Taylor-polinomot nem állítjuk meg: mikor adja vissza a végtelen összeg magát a függvényt, és milyen x-ekre.

12 perc olvasás

1. Mi a hatványsor?

Az előző leckében a Taylor-polinomot valahol megállítottuk. Most ne álljunk meg: írjuk fel a végtelen összeget. Ez a hatványsor.

Hatványsor

\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{n}=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^{2}+\dots

A lényeges újdonság az, hogy ez nem szám, hanem függvény: az $x$ minden értékére egy külön numerikus sort kapunk, ami lehet konvergens vagy divergens. Két kérdés adódik tehát, és a sorrend fontos:

Mely x-ekre konvergens a sor? Erre a konvergenciasugár válaszol, és ez a lecke nagyobbik része.
Ha konvergens, mi az összege? A Taylor-soroknál épp azt reméljük, hogy a kiindulási függvény.

Egy egyszerű példa: a mértani sor mint függvény

A legegyszerűbb hatványsor a $\sum x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ , ahol minden együttható 1 és $a=0$ . Ha $x=\frac12$ -et írunk be, egy konvergens mértani sort kapunk, az összege 2. Ha $x=2$ -t, a tagok $1,2,4,8,\ldots$ elszállnak, a sor divergens. Ugyanaz a képlet, az egyik helyen értelmes számot ad, a másikon semmit: ezért kell tudni, hol konvergens egy hatványsor.

Az $x=a$ hely mindig konvergens, hiszen ott az első tag kivételével minden nulla. A kérdés csak az, hogy meddig terjed ez ki.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A konvergenciasugár

A válasz meglepően szabályos: egy hatványsor konvergenciahalmaza mindig egy $a$ középpontú intervallum. Ennek a fele a konvergenciasugár.

Konvergenciasugár

|x-a|<R\ \Rightarrow\ \text{abszolút konvergens},\qquad |x-a|>R\ \Rightarrow\ \text{divergens},\qquad |x-a|=R\ \Rightarrow\ \text{külön kell vizsgálni}

A sugarat az együtthatókból számoljuk, a hányados- vagy a gyökkritérium mintájára:

R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \qquad\text{vagy}\qquad \frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}

Egy egyszerű példa

A $\sum\frac{x^{n}}{2^{n}}$ sornál $c_n=\frac{1}{2^{n}}$ , tehát $R=\lim\frac{1/2^{n}}{1/2^{n+1}}=\lim\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2$ . A sor tehát $|x|<2$ esetén biztosan konvergens, $|x|>2$ esetén biztosan divergens. Ez egybevág azzal, amit ránézésre is látunk: a sor valójában a $\frac{x}{2}$ hányadosú mértani sor, ami pontosan akkor konvergál, ha $\left|\frac{x}{2}\right|<1$ .

Ha nem akarsz képletet magolni

Ugyanez megkapható úgy is, hogy a teljes tagra (az $x$ -eket is beleértve) alkalmazod a hányadoskritériumot, és megnézed, milyen $x$ -ekre lesz a határérték 1-nél kisebb. A dolgozatokban ez a biztosabb út, mert nem lehet elrontani, hogy melyik együttható osztódik melyikkel.

$R=\infty$ : a sor minden valós $x$ -re konvergens. Ilyen az $\sum\frac{x^{n}}{n!}$ , vagyis az $e^{x}$ sora.
$R=0$ : a sor csak $x=a$ -ban konvergens, tehát gyakorlatilag használhatatlan. Ilyen az $\sum n!\,x^{n}$ .

3. A konvergenciatartomány: a végpontokat külön kell nézni

A sugár megvan, de a feladat még nincs kész: a két végpontról a kritérium semmit nem mond, ott ugyanis épp $L=1$ áll elő. Mindkettőt be kell helyettesíteni és külön eldönteni. A végeredmény a konvergenciatartomány, ami négyféle lehet: $(a-R,\,a+R)$ , $[a-R,\,a+R)$ , $(a-R,\,a+R]$ vagy $[a-R,\,a+R]$ .

Példa: teljes menet

Határozzuk meg a $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$ sor konvergenciatartományát.

Sugár a teljes tagra.
$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{|x|^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{|x|^{n}}=|x|\cdot\frac{n}{n+1}\ \longrightarrow\ |x|$
Ez akkor kisebb 1-nél, ha $|x|<1$ , tehát $R=1$ .
Jobb végpont, $x=1$ : a sor $\sum\frac1n$ , a harmonikus sor, ami divergens.
Bal végpont, $x=-1$ : a sor $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ , ami a Leibniz-kritérium szerint konvergens.
Eredmény. A konvergenciatartomány $[-1,\,1)$ . A két végpont tehát ugyanannál a sornál másképp viselkedik, pontosan ezért nem lehet őket megspórolni.

Példa: eltolt középpont

A $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n^{2}\,2^{n}}$ sornál a hányados $\frac{|x-3|}{2}$ -hez tart, tehát $R=2$ , a középpont pedig $a=3$ . A végpontok: $x=1$ és $x=5$ , és mindkettőnél $\sum\frac{\pm 1}{n^{2}}$ marad, ami konvergens. A tartomány tehát a zárt $[1,\,5]$ intervallum.

4. Tagonkénti deriválás és integrálás

A konvergenciaintervallum belsejében a hatványsor úgy viselkedik, mint egy polinom: tagonként deriválható és integrálható, és a sugár egyik művelettől sem változik.

Tagonkénti műveletek

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n}\ \Longrightarrow\ f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1},\qquad \int f(x)\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{n+1}x^{n+1}+C

Ez nem csak elméleti érdekesség: így lehet új sorfejtéseket előállítani deriválás nélkül, egyetlen ismertből.

Példa: a mértani sor deriválása

Induljunk ki abból, hogy $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ $|x|<1$ esetén. Deriváljuk mindkét oldalt:

\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=1+2x+3x^{2}+\dots

Egy szorzás $x$ -szel, és megkaptuk a $\sum n x^{n}$ sor összegét is: $\frac{x}{(1-x)^{2}}$ .

Példa: a logaritmus sora integrálással

Helyettesítsünk $x$ helyére $-t$ -t, majd integráljunk 0-tól x-ig:

\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}\quad\Longrightarrow\quad \ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots

Pontosan az a sor, ami az előző lecke táblázatában szerepelt, most deriválás nélkül. Az is látszik, honnan jön a hiányzó faktoriális: az integrálás csak $n+1$ -gyel oszt.

5. A Taylor-sor

Ha egy függvényből indulunk ki, és az együtthatókat a deriváltakból vesszük, a kapott hatványsort Taylor-sornak nevezzük.

Taylor-sor

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\qquad\text{pontosan akkor, ha}\qquad R_n(x)\to 0

A jobb oldali feltétel nem formalitás. A sor felírásához elég, hogy a függvény akárhányszor deriválható legyen, de hogy a sor vissza is adja a függvényt, ahhoz a maradéktagnak nullához kell tartania. A gyakorlatban ez a szokásos függvényekre (exponenciális, szinusz, koszinusz, logaritmus) teljesül a konvergenciatartományon belül, és a vizsgán általában ennyi kell.

Egy egyszerű példa: az e szám kiszámolása

Az $e^{x}$ Taylor-sora $\sum\frac{x^{n}}{n!}$ , és ez minden $x$ -re vissza is adja a függvényt. Írjunk be $x=1$ -et: $e=1+1+\frac12+\frac16+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\dots$ . Az első hat tag összege $2{,}7167$ , az első tízé már $2{,}71828$ , ami öt tizedesjegyre pontos. Így számolja ki egy számológép is: nem „tudja” az $e$ -t, hanem összeadja a sor elejét.

Miért éri meg ez az egész?

Mert a hatványsor a legkezelhetőbb alak, amit egy függvény felvehet: deriválni és integrálni tagonként lehet, közelíteni tetszőleges pontossággal, és olyan integrálok is számolhatóvá válnak, amiknek nincs elemi primitív függvényük. Az $\int_0^1 e^{-x^{2}}dx$ értékét például pontosan így szokás megadni.

6. Tipikus hibák

A végpontok kihagyása. A konvergenciasugár csak a nyílt intervallumot adja meg. A feladat majdnem mindig a teljes tartományt kéri, és a két végpont önálló részfeladat.
A középpont figyelmen kívül hagyása. $(x-3)^{n}$ esetén a feltétel $|x-3|<R$ , nem $|x|<R$ . Az intervallum a 3 körül van, nem a 0 körül.
A sugárképlet fordítva. A hányadosos alakban $R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ , a gyökösben viszont $\frac1R$ áll a bal oldalon. Ha bizonytalan vagy, számolj a teljes tagra: ott nincs mit felcserélni.
Tagonkénti deriválás a végpontban. A művelet csak a konvergenciaintervallum belsejében garantált; a végpontokon a deriválás elronthatja a konvergenciát.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció