Analízis 1

Helyettesítéses integrálás

A láncszabály megfordítása: hogyan ismerjük fel, mikor kell új változót bevezetni, és hogyan visszük végig hibátlanul.

12 perc olvasás

1. Speciális eset: lineáris belső függvény

Az alapintegrálok táblázata és a linearitás (tagonkénti integrálás) sok feladatot megold, de van egy olcsó kiterjesztésük, amit érdemes külön megjegyezni. Ha a belső függvény lineáris, elég a külső integrálját venni, és osztani a belső együtthatójával:

Lineáris belső függvény

\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C

Egy egyszerű példa

$\int\cos(2x)\,dx$ . A külső függvény a koszinusz, aminek az integrálja a szinusz; a belső a $2x$ , aminek az együtthatója 2. Tehát $\int\cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x)+C$ . Ellenőrizd deriválással: $\left(\tfrac12\sin 2x\right)'=\tfrac12\cdot\cos 2x\cdot 2=\cos 2x$ , a láncszabályból jövő 2-est pontosan az $\tfrac12$ ejti ki. Ezért kell az osztás.

Ugyanígy $\int e^{3x}dx=\tfrac{1}{3}e^{3x}+C$ , $\int \sin(5x-2)\,dx=-\tfrac{1}{5}\cos(5x-2)+C$ és $\int (2x+7)^{4}dx=\tfrac{1}{10}(2x+7)^{5}+C$ . Az utolsónál a $\tfrac{1}{10}$ két dologból jött össze: a hatványszabály $\tfrac15$ -éből és a belső együttható miatti $\tfrac12$ -ből.

Csak lineáris belső függvényre igaz

Ha a belső függvény nem lineáris, például $x^{2}$ vagy $\sqrt{x}$ , ez a képlet nem használható: az osztás a belső deriváltjával csak akkor egyszerű szám, ha a belső elsőfokú. Minden más esetben a lenti, általános helyettesítés kell.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A helyettesítés módszere

Integrálásnál nincs a szorzatszabályhoz hasonló általános recept összetett kifejezésekre, de van egy nagyon gyakori speciális eset, amire igen: amikor az integrandusban felismerhető egy belső függvény és annak a deriváltja is, legalábbis konstans szorzó erejéig. A helyettesítés a láncszabály megfordítása.

Helyettesítés

\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u=g(x),\; du=g'(x)\,dx

A menete mindig ugyanaz: kiválasztjuk $u$ -t, deriválunk, kifejezzük a $dx$ -et, behelyettesítünk, integrálunk, majd visszahelyettesítünk az eredeti változóra. Az utolsó lépés kötelező: a válasz nem tartalmazhat $u$ -t.

Egy egyszerű példa

$\int 2x\,e^{x^{2}}dx$ . A belső függvény az $x^{2}$ , és a deriváltja, a $2x$ , pontosan ott áll mellette: ez a jel, hogy helyettesíteni érdemes. Legyen $u=x^{2}$ , ekkor $du=2x\,dx$ , és az integrál egyszerűen $\int e^{u}du=e^{u}+C$ . Visszahelyettesítve: $e^{x^{2}}+C$ . Ellenőrzés a láncszabállyal: $(e^{x^{2}})'=e^{x^{2}}\cdot 2x$ , ez tényleg az integrandus.

Két alak annyiszor jön elő, hogy érdemes őket külön is megjegyezni, mert így egy lépésben megvan az eredmény:

Alak	Integrál
$\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$	$\ln\|f(x)\|+C$
$\displaystyle\int f^{n}(x)\,f'(x)\,dx$	$\dfrac{f^{\,n+1}(x)}{n+1}+C \quad (n\neq -1)$

Egy-egy egyszerű példa a két alakra: $\int\dfrac{2x}{x^{2}+3}\,dx=\ln(x^{2}+3)+C$ , mert a számláló pontosan a nevező deriváltja; és $\int\sin^{3}x\cos x\,dx=\dfrac{\sin^{4}x}{4}+C$ , mert a $\cos x$ a $\sin x$ deriváltja, tehát a hatványszabályt használhatjuk a $\sin x$ -re, mintha az lenne a változó.

3. Kidolgozott példák

Az alábbiakban két olyan példát mutatok, ahol a helyettesítés nem látszik azonnal, de a fenti gondolatmenettel megtalálható.

1. A derivált ott van a számlálóban

Számítsuk ki: $\displaystyle\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx$ .

Legyen $u=x^{2}+1$ , ekkor $du=2x\,dx$ , tehát $x\,dx=\tfrac{1}{2}du$ .
Behelyettesítve: $\displaystyle\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+C$ .
Visszahelyettesítve, és mivel $x^{2}+1>0$ , az abszolút érték el is hagyható:
$\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C$

2. Klasszikus: a tangens integrálja

Számítsuk ki: $\displaystyle\int \operatorname{tg} x\,dx$ .

Írjuk ki a definíciót: $\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . A nevező deriváltja $-\sin x$ , ami egy előjeltől eltekintve ott áll a számlálóban.
Legyen $u=\cos x$ , ekkor $du=-\sin x\,dx$ , tehát $\sin x\,dx=-du$ .
Így $\displaystyle\int\frac{-1}{u}\,du=-\ln|u|+C$ , vagyis:
$\int \operatorname{tg} x\,dx = -\ln|\cos x|+C$

Határozott integrálnál a határok is változnak

Ha helyettesítés közben átírod a változót, akkor az integrálási határokat is át kell írni, vagy térj vissza az eredeti változóra, mielőtt behelyettesítenél. Például $u=x^{2}$ mellett az $x:0\to 2$ határokból $u:0\to 4$ lesz. A régi határok az új változóval együtt biztos hibás eredményt adnak.

4. Tipikus hibák

Rosszul választott u. A jó jel az, hogy $u$ deriváltja (konstans szorzótól eltekintve) tényleg ott van az integrandusban. Ha a helyettesítés után is bonyolultabb lesz a kifejezés, más $u$ -t kell választani.
Elmarad a du együtthatója. Ha $u=5x$ , akkor $du=5\,dx$ , nem $du=dx$ . Ez a hiba pontosan egy konstans szorzóval rontja el az eredményt.
Helyettesítés befejezetlenül. A $dx$ -et is át kell írni $du$ -ra, a végén pedig vissza kell térni az eredeti változóra. Határozott integrálnál a határok is a helyettesítéssel együtt mozognak.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)