Analízis 1

Helyettesítéses integrálás

A láncszabály megfordítása: hogyan ismerjük fel, mikor kell új változót bevezetni, és hogyan visszük végig hibátlanul.

12 perc olvasás

1. Speciális eset: lineáris belső függvény

Az alapintegrálok táblázata és a linearitás (tagonkénti integrálás) sok feladatot megold, de van egy olcsó kiterjesztésük, amit érdemes külön megjegyezni. Ha a belső függvény lineáris, elég a külső integrálját venni, és osztani a belső együtthatójával:

Lineáris belső függvény

\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C

Például $\int e^{3x}dx=\tfrac{1}{3}e^{3x}+C$ , $\int \sin(5x-2)\,dx=-\tfrac{1}{5}\cos(5x-2)+C$ és $\int (2x+7)^{4}dx=\tfrac{1}{10}(2x+7)^{5}+C$ .

Csak lineáris belső függvényre igaz

Ha a belső függvény nem lineáris, például $x^{2}$ vagy $\sqrt{x}$ , ez a képlet nem használható: az osztás a belső deriváltjával csak akkor egyszerű szám, ha a belső elsőfokú. Minden más esetben a lenti, általános helyettesítés kell.

2. A helyettesítés módszere

Integrálásnál nincs a szorzatszabályhoz hasonló általános recept összetett kifejezésekre, de van egy nagyon gyakori speciális eset, amire igen: amikor az integrandusban felismerhető egy belső függvény és annak a deriváltja is, legalábbis konstans szorzó erejéig. A helyettesítés a láncszabály megfordítása.

Helyettesítés

\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u=g(x),\; du=g'(x)\,dx

A menete mindig ugyanaz: kiválasztjuk $u$ -t, deriválunk, kifejezzük a $dx$ -et, behelyettesítünk, integrálunk, majd visszahelyettesítünk az eredeti változóra. Az utolsó lépés kötelező: a válasz nem tartalmazhat $u$ -t.

Két alak annyiszor jön elő, hogy külön megjegyezve gyorsabb:

Alak	Integrál
$\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$	$\ln\|f(x)\|+C$
$\displaystyle\int f^{n}(x)\,f'(x)\,dx$	$\dfrac{f^{\,n+1}(x)}{n+1}+C \quad (n\neq -1)$

3. Kidolgozott példák

1. A derivált ott van a számlálóban

Számítsuk ki: $\displaystyle\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx$ .

Legyen $u=x^{2}+1$ , ekkor $du=2x\,dx$ , tehát $x\,dx=\tfrac{1}{2}du$ .
Behelyettesítve: $\displaystyle\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+C$ .
Visszahelyettesítve, és mivel $x^{2}+1>0$ , az abszolút érték el is hagyható:
$\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C$

2. Klasszikus: a tangens integrálja

Számítsuk ki: $\displaystyle\int \operatorname{tg} x\,dx$ .

Írjuk ki a definíciót: $\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . A nevező deriváltja $-\sin x$ , ami egy előjeltől eltekintve ott áll a számlálóban.
Legyen $u=\cos x$ , ekkor $du=-\sin x\,dx$ , tehát $\sin x\,dx=-du$ .
Így $\displaystyle\int\frac{-1}{u}\,du=-\ln|u|+C$ , vagyis:
$\int \operatorname{tg} x\,dx = -\ln|\cos x|+C$

Határozott integrálnál a határok is változnak

Ha helyettesítés közben átírod a változót, akkor az integrálási határokat is át kell írni, vagy térj vissza az eredeti változóra, mielőtt behelyettesítenél. Például $u=x^{2}$ mellett az $x:0\to 2$ határokból $u:0\to 4$ lesz. A régi határok az új változóval együtt biztos hibás eredményt adnak.

4. Tipikus hibák

Rosszul választott u. A jó jel az, hogy $u$ deriváltja (konstans szorzótól eltekintve) tényleg ott van az integrandusban. Ha a helyettesítés után is bonyolultabb lesz a kifejezés, más $u$ -t kell választani.
Elmarad a du együtthatója. Ha $u=5x$ , akkor $du=5\,dx$ , nem $du=dx$ . Ez a hiba pontosan egy konstans szorzóval rontja el az eredményt.
Helyettesítés befejezetlenül. A $dx$ -et is át kell írni $du$ -ra, a végén pedig vissza kell térni az eredeti változóra. Határozott integrálnál a határok is a helyettesítéssel együtt mozognak.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció