Analízis 1

A határozott integrál

Itt már nem primitív függvényt keresünk, hanem területet mérünk: mit jelentenek a közelítő összegek, mit mond ki a Newton–Leibniz-formula, és mikor szabad használni.

13 perc olvasás

1. Mit mér a határozott integrál?

A határozatlan integrálnál egy függvényt kerestünk: azt, aminek a deriváltja az integrandus. A határozott integrál egészen más dolog: az eredménye egy szám, és ez a szám a görbe alatti előjeles területet méri az $[a,b]$ szakaszon. Hogy a kettőnek mi köze egymáshoz, az a lecke fő kérdése — és a válasz egyáltalán nem magától értetődő.

Az ötlet a következő. Osszuk fel az $[a,b]$ szakaszt $n$ kis darabra, és minden darab fölé rajzoljunk egy téglalapot, aminek a magassága a függvény értéke a darab egy tetszőleges $\xi_i$ pontjában. A téglalapok összterülete közelíti a görbe alatti területet:

Riemann-féle közelítő összeg

S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\,\Delta x_i,\qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}

Egy egyszerű példa: téglalapok az egyenes alatt

Legyen $f(x)=x$ a $[0,1]$ szakaszon. Ez egy háromszög, a területe pontosan $\frac12$ , tehát tudjuk, mit kell kapnunk. Osszuk négy egyenlő darabra ( $\Delta x=0{,}25$ ), és minden darabon a jobb végpontban vegyük a magasságot: $S_4=(0{,}25+0{,}5+0{,}75+1)\cdot 0{,}25=0{,}625$ . Tíz darabbal ugyanez $S_{10}=0{,}55$ , száz darabbal $0{,}505$ . Az összeg tényleg a $\frac12$ -hez tart, csak lassan; pontosan ezért nem így számolunk a gyakorlatban, hanem a következő fejezet képletével.

Ha a felosztást egyre finomítjuk (a leghosszabb darab hossza is nullához tart), és az összeg ugyanahhoz a számhoz tart függetlenül attól, hogyan osztottunk fel és hol vettük a $\xi_i$ pontokat, akkor a függvényt Riemann-integrálhatónak nevezzük, a közös határértéket pedig határozott integrálnak:

A határozott integrál

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\,\Delta x_i

Melyik függvény integrálható?

A vizsgán szinte mindig folytonos függvényekkel dolgozol, és minden zárt intervallumon folytonos függvény integrálható. Sőt, elég a korlátosság és a véges sok szakadás is. Az $\int_a^b f$ jelöléshez tehát nem kell külön aggódni; ami tényleg számít, az a következő szakasz feltétele.

Egy dolgot érdemes már most rögzíteni: az integrál előjeles területet ad. Ahol a függvény a tengely alatt fut, ott a $f(\xi_i)$ értékek negatívak, tehát a hozzájuk tartozó téglalapok levonódnak. Ez a szám tehát nem mindig egyezik meg azzal a területtel, amit ránézésre látsz — erre a különbségre épül a görbe alatti terület című lecke.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A Newton–Leibniz-formula

A definíció szép, de számolni nem lehet vele: senki nem akar végtelen összegek határértékét keresgélni. Az egész analízis egyik legfontosabb tétele éppen azt mondja ki, hogy nem is kell. Elég egy primitív függvényt találni, és két értéket kivonni egymásból.

Newton–Leibniz-formula

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a),\qquad \text{ahol } F'=f

Ez az a pont, ahol a két integrálfogalom összeér: a terület (határozott integrál) kiszámolható a primitív függvény (határozatlan integrál) segítségével. Innen a gyakorlati menet:

Keress egy primitív függvényt ugyanazokkal a módszerekkel, amiket a határozatlan integrálnál tanultál.
Helyettesítsd be a felső határt, majd vond ki belőle az alsó határral vett értéket.
A $+C$ konstansra itt nincs szükség: kiesik a kivonásban, hiszen $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$ .

Egy egyszerű példa

Térjünk vissza az előző fejezet háromszögéhez: $\int_{0}^{1}x\,dx$ . A primitív függvény $\frac{x^{2}}{2}$ , tehát $\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac12-0=\frac12$ . Két behelyettesítés, és megvan az, amit a téglalapokkal csak közelíteni tudtunk. Egy kicsit hosszabb integrandussal ugyanez:

\int_{0}^{2}\left(3x^{2}-4x+1\right)dx=\Big[x^{3}-2x^{2}+x\Big]_{0}^{2}=(8-8+2)-0=2

A formulának feltétele van

A Newton–Leibniz-formula akkor érvényes, ha az $f$ az egész $[a,b]$ szakaszon folytonos. Ha az integrandusnak a határok között szakadása van, a gépies behelyettesítés értelmetlen eredményt ad — erről szól az improprius integrál lecke. Mielőtt behelyettesítesz, mindig nézd meg, hogy az integrandus értelmezve van-e mindenütt a két határ között.

3. Tulajdonságok, amiket ki lehet használni

Az alábbi tulajdonságokat azért szedtem össze Neked, mert nem elméleti csemegék: mindegyik azt szolgálja, hogy egy feladatot rövidebbre lehessen zárni. Mindegyik mellé odaírtam, mire jó a gyakorlatban.

Linearitás. $\int_a^b\big(\alpha f+\beta g\big)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$ — tagonként integrálhatsz, a konstans kiemelhető.
Additivitás a határokra. $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$ . Ezzel lehet szakaszokra bontani egy feladatot, például ott, ahol a függvény előjelet vált.
Határcsere. $\int_a^b f=-\int_b^a f$ , és $\int_a^a f=0$ . A határok felcserélése tehát előjelet vált, nem hiba, csak figyelni kell rá.
Monotonitás. Ha $f\le g$ az egész szakaszon, akkor $\int_a^b f\le\int_a^b g$ . Innen jönnek a becslések.
Integrálközép. Folytonos függvényre van olyan $c\in[a,b]$ , hogy $\int_a^b f=f(c)\,(b-a)$ . A függvény átlagos értéke tehát $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ .

Szimmetria: a leggyorsabb rövidítés

Ha az integrálási tartomány szimmetrikus a nullára, nézd meg a függvény paritását, mielőtt bármit is kiszámolnál:

f\ \text{páratlan}\ \Rightarrow\ \int_{-a}^{a}f=0,\qquad f\ \text{páros}\ \Rightarrow\ \int_{-a}^{a}f=2\int_{0}^{a}f

Az $\int_{-1}^{1}x^{3}e^{x^{2}}\,dx$ például minden számolás nélkül 0, mert az integrandus páratlan. Egy dolgozatban ez percekben mérhető nyereség.

4. Helyettesítés és parciális integrálás határokkal

A módszerek ugyanazok, mint a határozatlan integrálnál, egyetlen különbséggel: a határokkal is kezdeni kell valamit.

Helyettesítésnél két út van. Vagy visszahelyettesítesz az eredeti változóra, és az eredeti határokkal számolsz, vagy — és ez a gyorsabb — átírod a határokat is az új változóra, és akkor nem kell visszatérni:

Helyettesítés határozott integrálnál

\int_{a}^{b}f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du

Példa: a határok átírásával

Az $\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}dx$ integrálban legyen $u=x^{2}$ , ekkor $du=2x\,dx$ . Az új határok: $x=0\Rightarrow u=0$ és $x=1\Rightarrow u=1$ .

\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}dx=\int_{0}^{1}e^{u}\,du=\Big[e^{u}\Big]_{0}^{1}=e-1

Itt véletlenül ugyanaz lett a két határ, mint az eredeti — ez szerencse, nem szabály. Mindig számold ki őket külön.

Parciális integrálásnál a kiintegrált tagot azonnal ki lehet értékelni a határok között, és csak a maradék integrál marad határozott integrálként:

Parciális integrálás határokkal

\int_{a}^{b}u\,v'\,dx=\Big[u\,v\Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'\,v\,dx

Példa

Legyen $u=x$ és $v'=\cos x$ , ekkor $u'=1$ és $v=\sin x$ :

\int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx=\Big[x\sin x\Big]_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\frac{\pi}{2}+\Big[\cos x\Big]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}-1

A leggyakoribb hiba a helyettesítésnél

Ha átírod a változót, de a határokat nem, akkor a régi határokat az új változóba helyettesíted be, és rossz számot kapsz. Vagy mindkettőt átírod, vagy egyiket sem, és a végén visszahelyettesítesz. Írd oda a levezetésben, hogy $u=\ldots$ mellett mi lett a két új határ, így magadat is emlékezteted rá.

5. Az integrálfüggvény

Rögzítsük az alsó határt, és engedjük szabadon a felsőt. Amit kapunk, az már nem szám, hanem függvény:

Integrálfüggvény

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt

Egy egyszerű példa

Legyen $f(t)=t$ és az alsó határ 0. Ekkor $F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2}}{2}$ . Ez tényleg egy függvény: $F(1)=\frac12$ a korábbi háromszög területe, $F(2)=2$ a kétszer akkora háromszögé. És figyeld meg: $F'(x)=x$ , vagyis visszakaptuk az $f$ -et. Ez nem véletlen, ez a következő tétel.

Figyelj a jelölésre: a felső határ $x$ , ezért az integrálási változó nem lehet ugyanaz — innen a $t$ . Az analízis alaptétele azt mondja ki, hogy ha $f$ folytonos, akkor ez a függvény differenciálható, és:

Az analízis alaptétele

\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)

Vagyis az integrálás és a deriválás valóban egymás megfordításai. Ez az az állítás, ami mögött a Newton–Leibniz-formula áll, és ez az, amiért a „terület” és a „primitív függvény” ugyanarról szól. Egy egyszerű példa, ahol számolni sem kell: $\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}e^{t^{2}}dt=e^{x^{2}}$ . Az integrandusba az $x$ -et írjuk a $t$ helyére, és kész; az alsó határ nem számít.

Példa: deriválás behelyettesített felső határral

Ha a felső határ nem $x$ , hanem egy függvénye, a láncszabály is belép:

\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}}\sin(t^{2})\,dt=\sin\!\big((x^{2})^{2}\big)\cdot 2x=2x\sin(x^{4})

Vedd észre, hogy a belső integrált nem is kellett kiszámolni — a $\sin(t^2)$ primitív függvénye nem is írható fel elemi alakban. Ez a feladattípus pont ezért kedvelt.

6. Tipikus hibák

A határok fel nem cserélése helyettesítésnél. Új változó mellé új határok járnak. Ha nem írod át őket, a végeredmény rendszerint egy ránézésre értelmes, de rossz szám lesz.
A $+C$ odaírása. Határozott integrálnál nincs rá szükség, mert kiesik. Nem hiba súlyosan, de azt mutatja, hogy a két fogalom még összemosódik.
Szakadás a határok között. A Newton–Leibniz-formula folytonosságot kíván. Az $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ nem $-2$ , hanem divergens.
Az integrál és a terület összekeverése. Ha a függvény előjelet vált a szakaszon, az integrál értéke kisebb, mint a valódi terület. Rajzolj vázlatot, mielőtt „területet” írsz a végeredmény mellé.
Fokban számolt szögek. A $\sin$ és $\cos$ integrálási képletei radiánra érvényesek. Az $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2$ csak így jön ki.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)