Lineáris algebra

A determináns: kifejtési tétel és tulajdonságok

Hogyan számolunk 4×4-es determinánst, mit lehet csinálni a sorokkal büntetlenül, és mit jelent a determináns geometriailag.

13 perc olvasás

1. A kifejtési tétel

A mátrixok alapjainál a $2\times2$ -es determináns és a Sarrus-szabály már megvolt. Nagyobb méretre egyetlen általános eszköz van: a determinánst egy sor vagy oszlop mentén kifejtjük eggyel kisebb determinánsokra. Az $a_{ij}$ elemhez tartozó $M_{ij}$ aldetermináns az, ami az $i$ -edik sor és $j$ -edik oszlop törlése után marad.

Kifejtés az i-edik sor szerint

\det A=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}

Az előjelek sakktáblaszerűen váltakoznak, a bal felső sarokban plusszal:

\begin{pmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{pmatrix}

Bármelyik sor vagy oszlop szerint ugyanaz az eredmény, ezért azt válaszd, amelyikben a legtöbb nulla van: a nullás tagokat ki sem kell számolni.

Egy egyszerű példa: 3×3 kifejtése az első sor szerint

\begin{vmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&2&4\end{vmatrix}=+2\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\0&4\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot10-1\cdot4+0=16

Az első sor minden eleme mellé odatettük az előjelét ( $+,-,+$ ) és azt a $2\times2$ -es determinánst, ami a saját sora és oszlopa törlése után marad. A 0-s tagot le sem kellett számolni. Sarrusszal ugyanez 16 jön ki, ahogy a mátrixok alapjainál láttuk: a két módszer ugyanazt adja.

4×4-es determináns kifejtéssel

D=\begin{vmatrix}2&0&1&0\\1&3&0&2\\0&1&4&0\\3&0&2&1\end{vmatrix}

A második oszlopban két nulla van; e szerint fejtünk ki. Csak a $3$ (2. sor, előjel $+$ ) és az $1$ (3. sor, előjel $-$ ) marad.
$D=+3\begin{vmatrix}2&1&0\\0&4&0\\3&2&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&2\\3&2&1\end{vmatrix}$
Az első $3\times3$ -as a harmadik oszlopa szerint: $1\cdot(2\cdot4-1\cdot0)=8$ . A második Sarrusszal: $0+6+0-0-8-1=-3$ .
$D=3\cdot8-1\cdot(-3)=27$ .

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Tulajdonságok

A kifejtés nagy méretben lassú; ami gyorsít, az a determináns viselkedése a sorműveletekkel szemben. Az alábbi táblázatba ezeket szedtem össze Neked; ugyanez mind oszlopokra is igaz. A harmadik sor a legfontosabb, mert az teszi lehetővé a következő fejezet módszerét.

Művelet a sorokon	Hatás a determinánsra
két sor cseréje	előjelet vált
egy sor szorzása $c$ -vel	$c$ -szeresére nő
egy sorhoz egy másik sor többszörösét adjuk	nem változik
két sor egyenlő vagy arányos	a determináns nulla
csupa nulla sor	a determináns nulla
háromszögmátrix	a főátló elemeinek szorzata

Továbbá, mátrixműveletekre:

Szorzástétel és társai

\det(AB)=\det A\cdot\det B,\qquad \det A^{T}=\det A,\qquad \det A^{-1}=\frac{1}{\det A},\qquad \det(cA)=c^n\det A

Egy egyszerű példa

Legyen $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}$ , $\det A=5$ . Ekkor számolás nélkül tudjuk, hogy $\det A^{-1}=\frac15$ , $\det A^{2}=25$ , és $\det(2A)=2^{2}\cdot5=20$ . Az utolsót ellenőrizd is: $2A=\begin{pmatrix}4&6\\2&8\end{pmatrix}$ , aminek a determinánsa $32-12=20$ , nem 10. A 2-es mindkét sorból kiemelhető, ezért kerül négyzetre.

Amire nincs szabály

$\det(A+B)\neq\det A+\det B$ általában. És a $\det(2A)=2^n\det A$ , nem $2\det A$ : a szorzó minden sorból kiemelhető, tehát $n$ -szer.

3. Kiszámítás eliminációval

A harmadik tulajdonság a kulcs: a Gauss-elimináció „sorhoz másik sor többszörösét adjuk” lépése nem változtatja a determinánst, a végén pedig háromszögmátrix áll, aminek a determinánsa a főátló szorzata. Csak a sorcseréket (előjel) és az esetleges sorszorzásokat kell könyvelni.

4×4-es determináns eliminációval

D=\begin{vmatrix}1&2&0&1\\2&5&1&3\\0&1&3&2\\1&3&1&5\end{vmatrix}

Az első oszlop kinullázása: 2. sor $-2\cdot$ 1. sor, 4. sor $-$ 1. sor:
$\begin{vmatrix}1&2&0&1\\0&1&1&1\\0&1&3&2\\0&1&1&4\end{vmatrix}$
A második oszlop: 3. sor $-$ 2. sor, 4. sor $-$ 2. sor:
$\begin{vmatrix}1&2&0&1\\0&1&1&1\\0&0&2&1\\0&0&0&3\end{vmatrix}$
Háromszögmátrix, nem volt sorcsere: $D=1\cdot1\cdot2\cdot3=6$ .

Ugyanez a módszer mondja meg, mikor nulla a determináns: ha az elimináció közben csupa nulla sor keletkezik, a mátrix szinguláris, nem invertálható, és az $Ax=0$ rendszernek van nemtriviális megoldása.

4. Mit jelent a determináns?

A $2\times2$ -es determináns abszolút értéke a két sorvektor által kifeszített paralelogramma területe, a $3\times3$ -asé a paralelepipedon térfogata (ez a vegyes szorzat). Az előjel az irányítást mondja meg: pozitív, ha a vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak.

Ebből az összes tulajdonság szemléletes: két egyenlő sor → lapos paralelepipedon, nulla térfogat; egy sor kétszerezése → kétszeres térfogat; másik sor hozzáadása → az alap marad, a magasság nem változik (nyírás). Egy lineáris leképezés mátrixának determinánsa pedig az, hogy a leképezés hányszorosára nyújtja a térfogatot; ezért jelenik meg a Jacobi-determináns az integráltranszformációban.

5. Tipikus hibák

Sarrus 4×4-re. A Sarrus-szabály csak $3\times3$ -ra igaz; nagyobb méretben kifejtés vagy elimináció.
Sakktábla-előjel kihagyása. A kifejtésben az elem helye adja az előjelet, függetlenül az elem előjelétől; a 2. sor 1. eleménél mínusz van akkor is, ha az elem pozitív.
Sorcsere könyvelés nélkül. Eliminációnál minden sorcsere előjelet vált; páratlan számú csere után az eredményt $-1$ -gyel szorozni kell.
Sor szorzása „ingyen”. Ha az eliminációban egy sort megszorzol, a determináns is szorzódik; a végén vissza kell osztani.
$\det(A+B)$ szétbontása. Összegre nincs szabály, csak szorzatra.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció