Analízis 3

Vonalintegrál és potenciál

Munka egy görbe mentén: a vonalintegrál kiszámítása paraméterezéssel, mikor útfüggetlen, hogyan találjuk meg a potenciált, és mit mond a Green-tétel.

13 perc olvasás

1. Skalármező vonalintegrálja

Ebben a leckében a vonalintegrál két fajtáját mutatom meg, és azt a különleges esetet, amikor az integrált ki sem kell számolni, mert csak a végpontok számítanak. Egy görbe mentén is lehet integrálni: ha a görbe egy drót, és $f$ a hosszegységre eső sűrűsége, a $\int_\gamma f\,ds$ a drót tömege. Az $ds$ az ívelem; ha a görbét $\mathbf r(t)$ paraméterezi, akkor $ds=|\mathbf r'(t)|\,dt$ , ugyanúgy, mint az ívhossznál.

Ívhossz szerinti vonalintegrál

\int_\gamma f\,ds=\int_a^b f\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,|\mathbf r'(t)|\,dt

Szakasz mentén

$\int_\gamma(x+y)\,ds$ a $(0;0)$ -ból az $(1;1)$ -be vezető szakaszon. Paraméterezés: $\mathbf r(t)=(t;t)$ , $t\in[0;1]$ , $|\mathbf r'|=\sqrt2$ :

\int_0^1(t+t)\sqrt2\,dt=\sqrt2\bigl[t^2\bigr]_0^1=\sqrt2

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Vektormező vonalintegrálja: a munka

Ha egy erőtérben mozgatunk egy testet a görbe mentén, a munkát csak az erő érintőirányú összetevője végzi. A vonalintegrál ezt összegzi: a mező és az elmozdulásvektor skaláris szorzatát.

Vektormező vonalintegrálja

\int_\gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot\mathbf r'(t)\,dt=\int_\gamma P\,dx+Q\,dy+R\,dz

Az utolsó alak a komponensenkénti írásmód: a $dx$ helyére $x'(t)\,dt$ kerül, és így tovább.

Egy egyszerű példa: állandó erő, egyenes út

Legyen $\mathbf F=(2;\,0)$ egy állandó, $x$ irányú erő, a görbe pedig az $x$ tengely 0-tól 3-ig: $\mathbf r(t)=(t;\,0)$ , $\mathbf r'=(1;\,0)$ . A skaláris szorzat $2\cdot1+0\cdot0=2$ , az integrál $\int_0^3 2\,dt=6$ . Ez a középiskolás „munka = erő szorozva úttal”: $2\cdot3=6$ . A vonalintegrál pontosan ezt általánosítja görbe útra és változó erőre.

Parabolaív mentén

$\mathbf F=(y;\,x^2)$ az $y=x^2$ parabolán a $(0;0)$ -ból az $(1;1)$ -be.

Paraméterezés: $\mathbf r(t)=(t;\,t^2)$ , $t\in[0;1]$ , $\mathbf r'=(1;\,2t)$ .
A mező a görbén: $\mathbf F=(t^2;\,t^2)$ . Skaláris szorzat: $\mathbf F\cdot\mathbf r'=t^2+2t^3$ .
$\int_0^1(t^2+2t^3)\,dt=\frac13+\frac12=\frac56$

Az irányítás számít

Ha a görbét visszafelé járjuk be, a vonalintegrál előjelet vált. A skalármező ívhossz szerinti integrálja viszont nem függ az iránytól: ott $|\mathbf r'|$ mindig pozitív.

3. Konzervatív mező és potenciál

A parabolás példában másik úton, például a törött vonalon haladva más eredmény jönne ki. Van azonban egy fontos mezőcsalád, ahol a vonalintegrál csak a végpontoktól függ: a gradiensmezők. Ha $\mathbf F=\operatorname{grad}U$ , a láncszabály szerint $\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=\frac{d}{dt}U(\mathbf r(t))$ , és az integrál a Newton–Leibniz-formulával számolható:

Newton–Leibniz-formula vonalintegrálra

\mathbf F=\operatorname{grad}U\quad\Longrightarrow\quad\int_\gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r=U(B)-U(A)

Az ilyen mező konzervatív, az $U$ a potenciálja. Zárt görbén a munkája nulla. Hogy egy mező konzervatív-e, azt a rotációja dönti el: egyszeresen összefüggő tartományon pontosan akkor, ha $\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$ (síkban: $P_y=Q_x$ ).

Egy egyszerű példa

$\mathbf F=(2x;\,2y)$ . Ránézésre ez az $U=x^2+y^2$ gradiense (ellenőrzés: $P_y=0=Q_x$ ). A munka az origóból az $(1;2)$ pontba tehát $U(1,2)-U(0,0)=5-0=5$ , és teljesen mindegy, hogy egyenesen, parabolán vagy kacskaringósan mentünk. Ha nem hiszed, számold ki a szakaszon: $\mathbf r=(t;\,2t)$ , $\mathbf F\cdot\mathbf r'=2t\cdot1+4t\cdot2=10t$ , és $\int_0^1 10t\,dt=5$ .

Potenciál keresése és munka

$\mathbf F=(2xy+z;\,x^2;\,x)$ . Konzervatív-e, és mennyi a munkája az origóból az $(1;2;3)$ pontba?

Rotáció: $R_y-Q_z=0-0$ , $P_z-R_x=1-1$ , $Q_x-P_y=2x-2x$ : mind nulla. Konzervatív.
$U_x=2xy+z$ , integrálva $x$ szerint: $U=x^2y+xz+g(y,z)$ .
$U_y=x^2+g_y=x^2$ , tehát $g$ nem függ $y$ -tól; $U_z=x+g_z=x$ , tehát $z$ -től sem. $U=x^2y+xz$ (plusz konstans).
Munka: $U(1,2,3)-U(0,0,0)=2+3-0=5$ , bármelyik úton.

4. Zárt görbén: a Green-tétel

Ha a mező nem konzervatív, egy zárt síkgörbén a vonalintegrál nem nulla, de kiszámolható a bezárt tartományon vett kettős integrállal. Ez a Green-tétel, a Stokes-tétel síkbeli esete:

Green-tétel (pozitív, óramutatóval ellentétes körüljárás)

\oint_\gamma P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA

Terület vonalintegrállal

$\oint(-y\,dx+x\,dy)$ az egységkörön: $Q_x-P_y=1-(-1)=2$ , tehát az integrál $2\cdot\text{terület}=2\pi$ . Közvetlenül: $\mathbf r=(\cos t;\sin t)$ , $-y\,x'+x\,y'=\sin^2t+\cos^2t=1$ , integrálja $0$ -tól $2\pi$ -ig $2\pi$ . Rendben.

Ebből jön a területképlet zárt görbére: $T=\frac12\oint(x\,dy-y\,dx)$ , ami a planiméter működésének az alapja.

5. Tipikus hibák

A mezőt nem a görbén értékeled ki. Az $\mathbf F$ -be a paraméterezést be kell helyettesíteni; az $x$ , $y$ nem maradhat az integrandusban.
Ívhossz szerinti integrálnál elhagyott $|\mathbf r'|$ . A $ds$ nem $dt$ .
Útfüggetlenség ellenőrzés nélkül. Csak konzervatív mezőnél szabad más utat választani vagy potenciállal számolni; előbb a rotációt kell megnézni.
Rotáció nulla lyukas tartományon. A $\frac{(-y;\,x)}{x^2+y^2}$ mező rotációja nulla, mégis az origó körüli körön $2\pi$ a vonalintegrálja: a tartomány nem egyszeresen összefüggő.
Green-tételnél a körüljárás. A képlet pozitív (óramutatóval ellentétes) irányra igaz; fordítva előjelet vált.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció