Műveletek komplex számokkal

1. Összeadás és kivonás

Ehhez a leckéhez a komplex számok alapjai kellenek: az algebrai alak, a konjugált és az abszolút érték. Ebben a leckében a négy alapműveletet vesszük végig, mindegyiket egy végigszámolt példával, és a végén megmutatom, hogyan oldunk meg egyenleteket, ha az ismeretlen komplex. A négy alapművelet közül az első kettő a legegyszerűbb: az összeadás és a kivonás tagonként megy, a valós részt a valóssal, a képzetest a képzetessel.

Összeadás és kivonás

(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)\,i

Összeg és különbség

(3+2i)+(-1+5i)=(3-1)+(2+5)i=2+7i

(3+2i)-(-1+5i)=(3+1)+(2-5)i=4-3i

A számsíkon ez pontosan a vektorösszeadás: a $z_1+z_2$ a két vektor által kifeszített paralelogramma átlója, a $z_1-z_2$ pedig a $z_2$ végpontjából a $z_1$ végpontjába mutató vektor. Ezért is a két pont távolsága a $|z_1-z_2|$ .

Mivel tagonként számolunk, minden a valós számoktól megszokott tulajdonság megmarad: az összeadás kommutatív és asszociatív, a $0$ a semleges elem, és minden $z$ -nek van ellentettje, $-z=-a-bi$ .

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Szorzás

Szorzáskor úgy bontjuk fel a zárójeleket, mint két kéttagú kifejezésnél (minden tagot minden taggal), aztán ahol $i^2$ jelenik meg, azt $-1$ -re cseréljük, és összevonjuk a valós és a képzetes tagokat:

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd\,i^2=(ac-bd)+(ad+bc)\,i

Ezt a végeredményt nem érdemes képletként megjegyezni: a zárójelfelbontás mindig működik, a képlet viszont könnyen elcsúszik. Amit meg kell jegyezni, az az egy sor, hogy $i^2=-1$ .

Egy egyszerű példa

$(1+i)(2+i)$ . Minden tagot minden taggal: $2+i+2i+i^2$ . Az $i^2$ helyére $-1$ -et írunk: $2+3i-1=1+3i$ . Ennyi. Érdemes egy pillantást vetni a legegyszerűbb szorzatra is: $i\cdot(a+bi)=ai+bi^2=-b+ai$ , vagyis az $i$ -vel szorzás az $(a;b)$ pontot a $(-b;a)$ pontba viszi, ami egy 90°-os elforgatás. Ez a következő lecke egyik fő gondolata lesz.

Két szorzat végigszámolva

$(2+3i)(4-i)$ : felbontjuk a zárójelet:
$8-2i+12i-3i^2=8+10i-3\cdot(-1)=11+10i$
$(1+i)^2$ : a nevezetes azonosság itt is jó:
$1+2i+i^2=1+2i-1=2i$
Ezt érdemes megjegyezni: $(1+i)^2=2i$ , sok feladatban előjön.

Két speciális szorzás, aminek külön jelentése van:

valós számmal szorzás tagonként megy: $3(2-i)=6-3i$ . A számsíkon ez a vektor nyújtása;
$i$ -vel szorzás: $i(a+bi)=ai+bi^2=-b+ai$ . A $(a;\,b)$ pontból $(-b;\,a)$ lett, ami pontosan a 90°-os elforgatás az origó körül. Az $i$ -vel szorzás tehát forgatás; ez a későbbi trigonometrikus alak kulcsa.

A szorzás is kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra nézve, az $1$ a semleges eleme. Vagyis a komplex számokkal ugyanúgy lehet algebrát csinálni, mint a valósakkal: kiemelni, zárójelet bontani, nevezetes azonosságot használni.

3. Az i hatványai

Az $i^2=-1$ szabályból az összes többi hatvány következik, és kiderül, hogy négyesével ismétlődnek:

i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=i^2\cdot i=-i,\quad i^4=(i^2)^2=1,\quad i^5=i,\ \ldots

Mivel $i^4=1$ , a kitevőből tetszőleges számú négyest le lehet választani. Egy hatvány értékét tehát az határozza meg, hogy a kitevő néggyel osztva mennyi maradékot ad:

Az i hatványai

i^{4k}=1,\qquad i^{4k+1}=i,\qquad i^{4k+2}=-1,\qquad i^{4k+3}=-i

A kitevő maradéka 4-gyel osztva	0	1	2	3
Az $i^n$ értéke	$1$	$i$	$-1$	$-i$

Nagy kitevők

$i^{2026}$ : $2026=4\cdot 506+2$ , a maradék 2, tehát $i^{2026}=i^2=-1$ .
$i^{33}$ : $33=4\cdot 8+1$ , a maradék 1, tehát $i^{33}=i$ .
$i^{-1}$ : ez az $i$ reciproka. Mivel $i\cdot(-i)=-i^2=1$ , ezért $i^{-1}=\frac{1}{i}=-i$ . Ugyanez a táblázatból is kijön: $-1=4\cdot(-1)+3$ , a maradék 3.

Négy egymás utáni hatvány összege nulla

$i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ , és ugyanez igaz bármelyik négy egymást követő hatványra. Ezért egy hosszú összeg, például $i+i^2+\cdots+i^{100}$ , négyesével csoportosítva azonnal kiértékelhető: 25 darab nulla, az összeg $0$ .

4. Osztás

Az osztás kérdése az, hogy egy $\frac{a+bi}{c+di}$ alakú törtet hogyan írunk fel algebrai alakban. A nevezőben komplex szám áll, és azzal „nem tudunk osztani”. A megoldás az előző leckéből jön: a nevezőt a saját konjugáltjával szorozva valós számot kapunk ( $w\overline{w}=|w|^2$ ), valós számmal pedig tagonként tudunk osztani. Hogy a tört értéke ne változzon, ugyanezzel a számlálót is meg kell szorozni:

Osztás: bővítés a nevező konjugáltjával

\frac{z}{w}=\frac{z\,\overline{w}}{w\,\overline{w}}=\frac{z\,\overline{w}}{|w|^2}

Egy osztás végigszámolva

Írjuk fel algebrai alakban: $\dfrac{3+2i}{1-i}$ .

A nevező konjugáltja $1+i$ ; ezzel bővítünk:
$\frac{3+2i}{1-i}=\frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
A nevező: $(1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2$ . Nem kell zárójelet bontani, ez mindig $c^2+d^2$ .
A számláló: $(3+2i)(1+i)=3+3i+2i+2i^2=1+5i$ .
Tagonként osztunk a valós nevezővel:
$\frac{3+2i}{1-i}=\frac{1+5i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\,i$
Ellenőrzés visszaszorzással: $\left(\frac12+\frac52 i\right)(1-i)=\frac12-\frac12 i+\frac52 i-\frac52 i^2=3+2i$ . Rendben.

A reciprok ugyanennek a speciális esete, $z=1$ -gyel:

\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{|w|^2}\qquad\text{például}\quad \frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}\,i,\qquad \frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i

Minden nemnulla számmal lehet osztani

A képletben a nevező $|w|^2$ , ami csak $w=0$ esetén nulla. Vagyis a nullán kívül minden komplex számnak van reciproka, az osztás ugyanúgy korlátlanul elvégezhető, mint a valósaknál. Ezért mondjuk, hogy a komplex számok testet alkotnak: a négy alapművelet ugyanúgy viselkedik, mint $\mathbb{R}$ -ben, csak a rendezés hiányzik.

5. A konjugált és az abszolút érték műveleti szabályai

A konjugált minden alapművelettel felcserélhető: mindegy, hogy előbb elvégzed a műveletet és utána konjugálsz, vagy előbb konjugálod a tagokat. Az abszolút érték a szorzással és az osztással felcserélhető, az összeadással viszont nem.

Művelet	Konjugált	Abszolút érték
Összeg	$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$	$\|z+w\|\le\|z\|+\|w\|$
Szorzat	$\overline{z\,w}=\overline{z}\;\overline{w}$	$\|z\,w\|=\|z\|\,\|w\|$
Hányados	$\overline{\left(\tfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}$	$\left\|\dfrac{z}{w}\right\|=\dfrac{\|z\|}{\|w\|}$
Hatvány	$\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$	$\|z^n\|=\|z\|^n$

A szorzatra vonatkozó szabály sok számolást spórol meg, mert az abszolút értéket a szorzat kiszámolása nélkül is meg lehet kapni:

Abszolút érték szorzás nélkül

$|(3+4i)(1-i)|=|3+4i|\cdot|1-i|=5\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ . Nem kellett tudni, hogy a szorzat $7+i$ ; és valóban $\sqrt{49+1}=5\sqrt2$ .
$\left|(1+i)^{10}\right|=|1+i|^{10}=\left(\sqrt{2}\right)^{10}=2^5=32$ . A tizedik hatványt algebrai alakban kiszámolni hosszú lenne, az abszolút értékéhez mégsem kell.

6. Egyenletek komplex ismeretlennel

Ha az egyenletben csak a négy alapművelet szerepel, akkor ugyanúgy rendezzük, mint a valósaknál, és a végén egy osztás marad. Ha viszont a $\overline{z}$ vagy a $|z|$ is előjön, azokat nem lehet „kifejezni”: ilyenkor a bevett módszer, hogy felírjuk $z=x+yi$ alakban, behelyettesítünk, és a két oldal valós és képzetes részét hasonlítjuk össze. Egy komplex egyenletből két valós egyenlet lesz, két ismeretlenre.

Lineáris egyenlet: osztással

Oldjuk meg: $(2-i)\,z=3+i$ .

Osztunk az együtthatóval, a nevező konjugáltjával bővítve:
$z=\frac{3+i}{2-i}=\frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{6+3i+2i+i^2}{4+1}=\frac{5+5i}{5}=1+i$
Ellenőrzés: $(2-i)(1+i)=2+2i-i-i^2=3+i$ . Rendben.

Egyenlet konjugálttal: valós és képzetes rész

Oldjuk meg: $z+2\overline{z}=9-3i$ .

Legyen $z=x+yi$ , ekkor $\overline{z}=x-yi$ . Behelyettesítve:
$(x+yi)+2(x-yi)=3x-yi$
Ennek kell egyenlőnek lennie $9-3i$ -vel. Valós rész: $3x=9$ , képzetes rész: $-y=-3$ . Innen $x=3$ , $y=3$ .
A megoldás $z=3+3i$ . Ellenőrzés: $(3+3i)+2(3-3i)=9-3i$ . Rendben.

Négyzetgyök algebrai alakban

Keressük azokat a $z$ számokat, amikre $z^2=-5+12i$ .

$z=x+yi$ négyzete: $(x+yi)^2=x^2-y^2+2xy\,i$ . A valós és a képzetes rész összehasonlításából:
$x^2-y^2=-5,\qquad 2xy=12$
A másodikból $y=\frac{6}{x}$ ; ezt az elsőbe írva és $x^2$ -tel szorozva:
$x^2-\frac{36}{x^2}=-5\quad\Longrightarrow\quad x^4+5x^2-36=0$
Ez $x^2$ -ben másodfokú: $x^2=\frac{-5\pm\sqrt{25+144}}{2}=\frac{-5\pm 13}{2}$ , vagyis $x^2=4$ vagy $x^2=-9$ . Az utóbbi nem lehet, mert $x$ valós, tehát $x=\pm 2$ .
$y=\frac{6}{x}$ , így $x=2\Rightarrow y=3$ és $x=-2\Rightarrow y=-3$ . A két megoldás:
$z_1=2+3i,\qquad z_2=-2-3i=-z_1$
Ellenőrzés: $(2+3i)^2=4+12i+9i^2=-5+12i$ . Rendben.

Egy komplex számnak két négyzetgyöke van

A példa két megoldása egymás ellentettje, és ez általános: nincs olyan, hogy „a” négyzetgyök, hanem mindig kettő van. Magasabb kitevőre ennél is több lesz: az $n$ -edik gyökből $n$ darab. Ezek algebrai alakban már nagyon nehezen jönnének ki; a trigonometrikus alak pont erre való.

7. Tipikus hibák

Az $i^2$ ott marad. A zárójelfelbontás után a $bd\,i^2$ tagot $-bd$ -re kell cserélni, és a valós részhez adni. Ha a végeredményben $i^2$ szerepel, nincs kész.
Osztás tagonként. $\frac{6+4i}{2+2i}$ nem $3+2i$ . Komplex nevezővel csak a konjugálttal bővítve lehet osztani; itt a helyes eredmény $\frac{(6+4i)(2-2i)}{8}=\frac{20-4i}{8}=\frac52-\frac12 i$ .
Csak a nevezőt bővíted. Ha a nevezőt megszorzod a konjugálttal, a számlálót is ugyanazzal kell, különben a tört értéke megváltozik.
A konjugált helyett a nevezőt magát használod. Az $(1-i)(1-i)=-2i$ nem valós; a $(1-i)(1+i)=2$ az.
Abszolút érték összegre. $|z+w|$ általában nem $|z|+|w|$ : $|1+i|=\sqrt2$ , nem $2$ . Szorzatra és hányadosra viszont szabad szétbontani.
Egyenletnél a konjugált „átvitele”. A $\overline{z}$ -t nem lehet úgy kifejezni, mint egy ismeretlent; ha konjugált van az egyenletben, írd fel $z=x+yi$ -t, és hasonlítsd össze a valós és a képzetes részt.