Analízis 3

Parciális differenciálegyenletek: a változók szétválasztása

A hővezetési és a hullámegyenlet megoldása Fourier-módszerrel: szorzat alakú megoldás, sajátérték-feladat, és a kezdeti feltétel illesztése Fourier-sorral.

14 perc olvasás

1. A három klasszikus egyenlet

Parciális differenciálegyenletben az ismeretlen több változó függvénye, és parciális deriváltjai szerepelnek. Ez a téma elsőre a legelvontabbnak tűnik az egész félévben, ezért ebben a leckében végig egyetlen konkrét egyenleten, a hővezetésén megyünk végig, és minden lépést egy kézzel ellenőrizhető példával kísérek. A mérnöki gyakorlat szinte mindig három másodrendű, lineáris egyenlet valamelyikébe fut bele:

Egyenlet	Alak	Mit ír le
Hővezetési (diffúziós)	$u_t=a^2u_{xx}$	hőmérséklet egy rúdban, koncentráció terjedése
Hullámegyenlet	$u_{tt}=c^2u_{xx}$	rezgő húr, hang, elektromágneses hullám
Laplace-egyenlet	$u_{xx}+u_{yy}=0$	állandósult hőmérséklet, potenciál

Egy egyszerű példa: ellenőrizzünk egy megoldást

Megoldása-e az $u(x,t)=e^{-t}\sin x$ a $u_t=u_{xx}$ hővezetési egyenletnek? Az $t$ szerinti parciális derivált $u_t=-e^{-t}\sin x$ ; az $x$ szerinti második derivált $u_{xx}=-e^{-t}\sin x$ . A kettő egyenlő, tehát igen. Szemléletesen: egy szinuszos hőmérséklet-eloszlás megtartja az alakját, csak az amplitúdója cseng le $e^{-t}$ szerint. Az egész lecke arról szól, hogyan találjuk meg az ilyen megoldásokat, és hogyan rakjuk össze belőlük a tetszőleges kezdeti feltételhez tartozót.

Egy PDE-nek önmagában végtelen sok megoldása van; a feladatot a peremfeltételek (mi történik a rúd két végén) és a kezdeti feltétel (milyen a hőmérséklet $t=0$ -ban) teszik egyértelművé. A hővezetési egyenlet tipikus feladata:

u_t=a^2u_{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0,\qquad u(x,0)=f(x)

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A változók szétválasztása

A Fourier-módszer ötlete: keressünk szorzat alakú megoldásokat, $u(x,t)=X(x)\,T(t)$ . A hővezetési egyenletbe helyettesítve $X\,T'=a^2X''\,T$ , és osztva $a^2XT$ -vel:

Szétválasztás

\frac{T'(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda

A bal oldal csak $t$ -től, a jobb csak $x$ -től függ; egyenlők, tehát mindkettő állandó. A PDE két közönséges differenciálegyenletre esett szét:

X''+\lambda X=0,\qquad T'=-a^2\lambda\,T

A peremfeltételek az $X$ -re szállnak át: $X(0)=X(L)=0$ . Ez egy sajátérték-feladat: csak bizonyos $\lambda$ -kra van nemtriviális megoldása. Ha $\lambda\le0$ , csak $X\equiv0$ jön ki; ha $\lambda>0$ , $X=A\cos\sqrt\lambda x+B\sin\sqrt\lambda x$ , és $X(0)=0$ miatt $A=0$ , $X(L)=0$ miatt $\sin\sqrt\lambda L=0$ :

Sajátértékek és sajátfüggvények

\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad n=1,2,\ldots

Egy egyszerű példa: L = π

Ha a rúd hossza $\pi$ , akkor $\lambda_n=n^2$ és $X_n=\sin nx$ . Nézd meg, miért pont ezek: a $\sin x$ , $\sin2x$ , $\sin3x$ mind nulla a 0-ban és a $\pi$ -ben, tehát teljesítik a peremfeltételt, a $\sin1{,}5x$ viszont a $\pi$ -ben $-1$ , ezért az nem játszik. A peremfeltétel „kvantálja” a megengedett hullámhosszakat: pontosan úgy, mint egy két végén lefogott gitárhúron.

Minden $n$ -hez tartozik egy $T_n=e^{-a^2\lambda_nt}$ , tehát $u_n=e^{-a^2(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}$ megoldás. Az egyenlet lineáris, ezért ezek összege is megoldás; a kezdeti feltételt egy ilyen összeggel kell illeszteni.

3. A hővezetési egyenlet megoldása

Általános megoldás (nulla peremértékekkel)

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty b_n\,e^{-a^2\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad b_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx

A $t=0$ -ban a sor $\sum b_n\sin\frac{n\pi x}{L}$ , ami az $f$ szinuszos Fourier-sora: innen a $b_n$ képlete. Ha a kezdeti feltétel eleve véges sok szinusz, a sorfejtés egy lépés.

Két szinuszból álló kezdeti feltétel

$u_t=u_{xx}$ , $0<x<\pi$ , $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ , $u(x,0)=3\sin x-\sin2x$ .

$L=\pi$ , $a=1$ , tehát $\lambda_n=n^2$ és a tagok $e^{-n^2t}\sin nx$ .
A kezdeti feltétel leolvasható: $b_1=3$ , $b_2=-1$ , a többi nulla.
$u(x,t)=3e^{-t}\sin x-e^{-4t}\sin2x$
Ellenőrzés: $u_t=-3e^{-t}\sin x+4e^{-4t}\sin2x$ , és $u_{xx}=-3e^{-t}\sin x+4e^{-4t}\sin2x$ . Egyenlők, a peremértékek nullák, és $t=0$ -ban visszakapjuk a kezdeti feltételt. Rendben.
A magasabb harmonikus ( $\sin2x$ ) négyszer gyorsabban csillapodik: a hővezetés a finom részleteket simítja ki először.

4. A hullámegyenlet és a rezgő húr

A hullámegyenletnél a szétválasztás ugyanazt az $X$ -feladatot adja, a $T$ viszont másodrendű: $T''=-c^2\lambda T$ , aminek a megoldása nem lecsengés, hanem rezgés.

Rögzített végű húr

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(A_n\cos\frac{n\pi ct}{L}+B_n\sin\frac{n\pi ct}{L}\right)\sin\frac{n\pi x}{L}

Az $A_n$ -eket a kezdeti alak $u(x,0)$ , a $B_n$ -eket a kezdeti sebesség $u_t(x,0)$ Fourier-sora adja. Az $n$ -edik tag az $n$ -edik felharmonikus: a húr $\frac{nc}{2L}$ frekvenciájú módusai.

Alapmódusban megpendített húr

$u(x,0)=\sin\frac{\pi x}{L}$ , $u_t(x,0)=0$ : $A_1=1$ , a többi együttható nulla, tehát

u(x,t)=\cos\frac{\pi ct}{L}\,\sin\frac{\pi x}{L}

Állóhullám: az alak nem vándorol, csak az amplitúdója leng.

A d'Alembert-alak

Végtelen húrra a hullámegyenlet megoldása zárt alakban is felírható: $u(x,t)=\frac12\bigl[f(x-ct)+f(x+ct)\bigr]$ (nulla kezdeti sebességgel). A kezdeti alak két fele $c$ sebességgel jobbra és balra fut; a $\cos\cdot\sin$ állóhullám pontosan két ilyen futó hullám összege.

5. Tipikus hibák

Elfelejtett negatív előjel a szétválasztásnál. A $-\lambda$ választás adja a $\sin$ -os sajátfüggvényeket és a lecsengő $e^{-a^2\lambda t}$ -t; a $+\lambda$ esetben a peremfeltétel csak a nulla megoldást engedi.
Rossz sajátérték. $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ , négyzettel; a $T$ kitevőjében ez áll, szorozva $a^2$ -tel.
Együttható helyett a teljes Fourier-sor. Ha a kezdeti feltétel már szinuszok összege, a $b_n$ leolvasható; integrálni csak általános $f$ -nél kell.
Más peremfeltétel, ugyanaz a sajátfüggvény. Szigetelt végeknél ( $u_x=0$ ) a sajátfüggvények koszinuszok, és $n=0$ is megengedett; a módszert újra végig kell gondolni.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció