Analízis 2

Iránymenti derivált, érintősík és lineáris közelítés

Mit ad a gradiens egy adott irányban, hogyan írjuk fel a felület érintősíkját, és hogyan közelítünk függvényértéket a totális differenciállal.

12 perc olvasás

1. Totális differenciál és lineáris közelítés

Egyváltozósan a derivált az érintő meredeksége, és az érintő a függvény legjobb lineáris közelítése a pont közelében. Két változóban ugyanez a szerep az érintősíké: a parciális deriváltak a két tengelyirányú meredekséget adják, és ha a függvény totálisan differenciálható (a parciális deriváltak léteznek és folytonosak), a sík minden irányban jól közelít.

Lineáris közelítés az (a; b) pont közelében

f(x,y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b)

A jobb oldal két utolsó tagja a totális differenciál, $df=f_x\,dx+f_y\,dy$ : a függvény megváltozása kis elmozdulásra, első rendben.

Egy egyszerű példa: szorzás fejben

Mennyi $2{,}1\cdot 2{,}9$ ? Legyen $f(x,y)=xy$ , és induljunk a kényelmes $(2;3)$ pontból, ahol $f=6$ . A parciális deriváltak: $f_x=y=3$ és $f_y=x=2$ . Az elmozdulás $+0{,}1$ az $x$ -ben és $-0{,}1$ az $y$ -ban: $f\approx6+3\cdot0{,}1+2\cdot(-0{,}1)=6{,}1$ . A pontos érték $6{,}09$ ; az eltérés a $0{,}1\cdot0{,}1$ szorzat, amit a lineáris közelítés elhanyagol.

Közelítő számítás

Becsüljük $\sqrt{4{,}02^2+2{,}97^2}$ értékét.

$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ , kényelmes pont $(4;3)$ , ahol $f=5$ .
$f_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac45$ , $f_y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac35$ .
$f(4{,}02;\,2{,}97)\approx5+0{,}8\cdot0{,}02+0{,}6\cdot(-0{,}03)=5+0{,}016-0{,}018=4{,}998$
A pontos érték $4{,}9981\ldots$ ; a közelítés három tizedesre jó.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az érintősík

A lineáris közelítés jobb oldala egy sík egyenlete: ez a $z=f(x,y)$ felület érintősíkja az $(a;b;f(a,b))$ pontban.

Érintősík

z=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),\qquad \mathbf n=\bigl(f_x(a,b),\ f_y(a,b),\ -1\bigr)

A normálvektor a sík egyenletének átrendezéséből jön: $f_x(x-a)+f_y(y-b)-(z-f(a,b))=0$ , és az együtthatók a normálvektor koordinátái (lásd a síkok egyenleténél).

Paraboloid érintősíkja

$z=x^2+y^2$ az $(1;2)$ pontban.

$f(1,2)=5$ , $f_x=2x=2$ , $f_y=2y=4$ .
$z=5+2(x-1)+4(y-2)=2x+4y-5$
Normálvektor: $(2;\,4;\,-1)$ .
Ellenőrzés: a sík átmegy az $(1;2;5)$ ponton ( $2+8-5=5$ ), és a felület a sík fölött van mindenhol, mert $x^2+y^2-(2x+4y-5)=(x-1)^2+(y-2)^2\ge0$ .

3. Gradiens és iránymenti derivált

A parciális deriváltak a két tengely irányában mért meredekségek. Egy tetszőleges $\mathbf v$ irányban a meredekség az iránymenti derivált, és totálisan differenciálható függvényre a gradiensből egy skaláris szorzattal jön:

Iránymenti derivált

D_{\mathbf v}f(a,b)=\operatorname{grad}f(a,b)\cdot\frac{\mathbf v}{|\mathbf v|}=f_x\,\frac{v_1}{|\mathbf v|}+f_y\,\frac{v_2}{|\mathbf v|}

A képletben egységvektor kell: ha az irányt egy hosszabb vektorral adják meg, előbb le kell osztani a hosszával. Egy gyors ellenőrzés, hogy a képlet a régit is tartalmazza: az $\mathbf v=(1;0)$ irányban (az $x$ tengely mentén) a skaláris szorzat $f_x\cdot1+f_y\cdot0=f_x$ , vagyis pontosan a parciális derivált. A parciális derivált tehát az iránymenti derivált két speciális esete.

Meredekség adott irányban

$f(x,y)=x^2y$ , az $(1;2)$ pontban, a $\mathbf v=(3;4)$ irányban.

$\operatorname{grad}f=(2xy;\,x^2)=(4;\,1)$ .
$|\mathbf v|=5$ , egységvektor $\left(\frac35;\frac45\right)$ .
$D_{\mathbf v}f=4\cdot\frac35+1\cdot\frac45=\frac{16}{5}$

A skaláris szorzat $|\operatorname{grad}f|\cos\varphi$ , ahol $\varphi$ a gradiens és az irány szöge. Ebből három dolog következik, ami minden vizsgán előjön:

a függvény a gradiens irányában nő a leggyorsabban, és ott az iránymenti derivált $|\operatorname{grad}f|$ ; a példában $\sqrt{17}$ ;
a gradiens ellentettje a leggyorsabb csökkenés iránya;
a gradiensre merőleges irányban az iránymenti derivált nulla: ez a szintvonal iránya. A gradiens tehát mindig merőleges a szintvonalra.

4. A többváltozós láncszabály

Ha $x$ és $y$ maguk is egy paraméter függvényei, például egy görbén mozgó pont koordinátái, a $z=f(x(t),y(t))$ egyváltozós, és a deriváltja a totális differenciálból jön:

Láncszabály

\frac{dz}{dt}=f_x\,\frac{dx}{dt}+f_y\,\frac{dy}{dt}=\operatorname{grad}f\cdot\mathbf r'(t)

Egy egyszerű példa, amit kétféleképpen is ki tudsz számolni

Legyen $z=x+y^2$ , $x=t$ , $y=t$ . A láncszabállyal: $f_x=1$ , $f_y=2y=2t$ , és mindkét koordináta deriváltja 1, tehát $\frac{dz}{dt}=1\cdot1+2t\cdot1=1+2t$ . Ellenőrzés behelyettesítéssel: $z=t+t^2$ , aminek a deriváltja tényleg $1+2t$ . Ha egy feladatban bizonytalan vagy, mindig érdemes ezt a két utat összevetni.

Mozgás egy körön

$z=x^2y$ , $x=\cos t$ , $y=\sin t$ :

\frac{dz}{dt}=2xy\cdot(-\sin t)+x^2\cdot\cos t=-2\cos t\sin^2t+\cos^3t

Ugyanezt kapnánk, ha előbb behelyettesítünk ( $z=\cos^2t\sin t$ ) és utána deriválunk; a láncszabály akkor éri meg, ha a behelyettesítés bonyolult.

Gradiens és görbe: miért merőleges a szintvonalra

Ha a görbe egy szintvonalon halad, $z$ állandó, tehát $\frac{dz}{dt}=0$ , vagyis $\operatorname{grad}f\cdot\mathbf r'=0$ : a gradiens merőleges a szintvonal érintőjére. Ez a láncszabály egysoros bizonyítása az előző fejezet állítására.

5. Tipikus hibák

Nem egységvektorral számolt iránymenti derivált. A $(3;4)$ -gyel szorozva $16$ jön ki $\frac{16}{5}$ helyett. Mindig oszd le a hosszával.
Érintősík $z$ nélkül. A $f_x(x-a)+f_y(y-b)=0$ egy egyenes a síkban, nem érintősík; a $z-f(a,b)$ tag kell.
Gradiens harmadik koordinátával. Egy kétváltozós függvény gradiense kétdimenziós vektor; a $(f_x,f_y,-1)$ az érintősík normálvektora, ami más.
A parciális deriváltak létezése nem elég. Az iránymenti deriváltra vonatkozó skaláris szorzatos képlet totális differenciálhatóságot igényel; a feladatokban szereplő elemi függvényeknél ez teljesül, de tételként ki kell mondani.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció