Lineáris algebra

Vektorterek: lineáris függetlenség, bázis, dimenzió

Mi az a vektortér és az altér, mikor függetlenek a vektorok, mi a bázis és a dimenzió, és hogyan kapjuk meg egy vektor koordinátáit egy adott bázisban.

13 perc olvasás

1. Vektortér és altér

Ez a lecke a lineáris algebra legelvontabb fogalmait szedi össze, ezért minden definíció után egy olyan példát teszek, amit koordinátákkal, kézzel végig tudsz számolni; ha a fogalom nem ül, mindig térj vissza a példához. Vektortér minden olyan halmaz, amiben van összeadás és számmal szorzás, és ezek úgy viselkednek, ahogy a síkbeli vektoroknál megszoktuk (kommutatív, asszociatív, van nullvektor és ellentett, a szorzás disztributív). A lényeg nem a nyíl, hanem a két művelet: vektortér az $\mathbb{R}^n$ , a legfeljebb $n$ -edfokú polinomok, az $m\times n$ -es mátrixok, a $[a;b]$ -n folytonos függvények halmaza is.

Egy részhalmaz altér, ha maga is vektortér ugyanezekkel a műveletekkel; ehhez elég, hogy zárt legyen a két műveletre:

Altér-kritérium

\mathbf u,\mathbf v\in W\ \Rightarrow\ \mathbf u+\mathbf v\in W,\qquad \mathbf v\in W,\ c\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ c\mathbf v\in W

Altér vagy nem?

$W=\{(x;y;z):\ x+y+z=0\}$ : két ilyen vektor összegének koordinátaösszege $0+0=0$ , a számszorosé $c\cdot0=0$ . Altér (egy origón átmenő sík).
$\{(x;y;z):\ x+y+z=1\}$ : a nullvektor nincs benne, és két elem összegének koordinátaösszege 2. Nem altér (eltolt sík).
Az $A\mathbf x=\mathbf 0$ homogén rendszer megoldásai: $A(\mathbf u+\mathbf v)=\mathbf 0$ és $A(c\mathbf u)=\mathbf 0$ . Altér, ez az $A$ nulltere.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Lineáris kombináció és függetlenség

A $c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k$ alakú vektorok a $\mathbf v_i$ -k lineáris kombinációi; az összes ilyen vektor halmaza a generált altér, $\langle\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\rangle$ . A kérdés mindig az, hogy a generátorok közt van-e felesleges, olyan, ami a többiből kikeverhető.

Lineáris függetlenség

c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0\quad\Longrightarrow\quad c_1=\cdots=c_k=0

Egy egyszerű példa a síkban

Az $(1;2)$ és a $(2;4)$ összefüggő, mert a második az első kétszerese: $2\cdot(1;2)-1\cdot(2;4)=(0;0)$ , és ez egy nemtriviális előállítása a nullvektornak. Az $(1;2)$ és az $(3;1)$ viszont független: a $c_1(1;2)+c_2(3;1)=(0;0)$ egyenletrendszer, $c_1+3c_2=0$ és $2c_1+c_2=0$ , csak a $c_1=c_2=0$ megoldást engedi. Szemléletesen: az első pár egy egyenesen fekszik, a második kifeszíti az egész síkot.

Ha a nullvektor csak a triviális módon áll elő, a rendszer független; ha van nemtriviális előállítás, összefüggő, és valamelyik vektor a többi kombinációja. A gyakorlatban: írd a vektorokat egy mátrix soraiba, és eliminálj; ha csupa nulla sor keletkezik, összefüggők. Négyzetes esetben a determináns is dönt.

Három vektor a térben

$(1;2;3),\ (2;1;0),\ (3;3;3)$ .

$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&1&0\\3&3&3\end{vmatrix}=3+0+18-9-0-12=0$
A determináns nulla: összefüggők.
Az összefüggés látszik is: az első kettő összege a harmadik, $(1;2;3)+(2;1;0)=(3;3;3)$ . A három vektor egy síkban van.

3. Bázis, dimenzió, koordináták

A bázis független generátorrendszer: elég vektor ahhoz, hogy mindent kikeverjünk belőlük, de nincs köztük felesleges. Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemű; ez a szám a dimenzió. Bázisban minden vektor egyértelműen írható fel, és az együtthatók a vektor koordinátái ebben a bázisban.

Egy egyszerű példa: a szokásos bázis

A síkban az $\mathbf e_1=(1;0)$ , $\mathbf e_2=(0;1)$ pár bázis: függetlenek, és minden vektor kikeverhető belőlük, például $(3;5)=3\mathbf e_1+5\mathbf e_2$ . A koordináták itt egybeesnek a megszokott koordinátákkal, ezért $\dim\mathbb R^2=2$ . De a $(1;1)$ , $(1;-1)$ pár is bázis, és abban ugyanez a vektor $4(1;1)-1(1;-1)=(3;5)$ , tehát a koordinátái $(4;-1)$ . A vektor nem változott, csak a „nyelv”, amin leírjuk.

Egy altér bázisa és koordináták benne

$W=\{(x;y;z):\ x+y+z=0\}$ .

Az egyenletből $z=-x-y$ , tehát $W$ elemei $(x;\,y;\,-x-y)=x(1;0;-1)+y(0;1;-1)$ . Két szabad paraméter, a két vektor független: $\dim W=2$ , bázisa $\mathbf b_1=(1;0;-1)$ , $\mathbf b_2=(0;1;-1)$ .
A $(2;-5;3)$ benne van ( $2-5+3=0$ ); koordinátái ebben a bázisban: $a\mathbf b_1+b\mathbf b_2=(a;\,b;\,-a-b)$ , tehát $a=2$ , $b=-5$ , és valóban $-a-b=3$ .

Ugyanaz az altér, más bázis

A $(1;-1;0)$ és az $(1;0;-1)$ is bázisa $W$ -nek; a koordináták bázisonként mások, a vektor ugyanaz. A bázisválasztás szabadsága a diagonalizálás alapgondolata: keressünk olyan bázist, amiben egy leképezés egyszerű.

4. Rang, nulltér és a dimenziótétel

Egy mátrix rangja a független sorainak (és oszlopainak) száma: az oszlopai által generált altér dimenziója. A nulltere az $A\mathbf x=\mathbf 0$ megoldásaltere; dimenziója a szabad paraméterek száma. A kettő összege mindig az oszlopok száma:

Dimenziótétel

\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Null}A=n\qquad(A\ \text{ egy } m\times n\text{-es mátrix})

Nulltér bázisa

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$ : a második sor az első kétszerese, a rang 1. A nulltér az $x+2y+3z=0$ sík, dimenziója $3-1=2$ , bázisa például $(-2;1;0)$ és $(-3;0;1)$ ( $y$ -t és $z$ -t szabadon választva).

Ez a tétel az, ami a Gauss–Jordan-eliminációnál a „végtelen sok megoldás, $n-r$ szabad paraméterrel” szabály mögött áll.

5. Tipikus hibák

Altér nullvektor nélkül. Minden altérben benne van a nullvektor; ha nincs, nem altér, és ezt egy pillanat ellenőrizni.
„Függetlenek, mert nem párhuzamosak.” Kettőnél több vektornál a páronkénti függetlenség nem elég: három síkbeli vektor mindig összefüggő, hiába nem párhuzamosak.
Dimenzió = a vektorok koordinátáinak száma. A $W$ sík vektorai háromkoordinátásak, a dimenziója mégis 2. A dimenzió a bázis elemszáma.
Több bázisvektor, mint dimenzió. Ha a bázisjelöltek száma nagyobb a dimenziónál, biztosan összefüggők; ha kisebb, nem generálnak.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció