Lineáris algebra

Lineáris leképezések és mátrixuk

Forgatás, tükrözés, vetítés mátrixszal: hogyan írjuk fel egy leképezés mátrixát, mi a magtér és a képtér, és mit mond a dimenziótétel.

13 perc olvasás

1. Mi a lineáris leképezés?

Ebben a leckében azt szeretném megmutatni Neked, hogy a mátrix nem csak számtáblázat, hanem egy mozgás leírása: forgatás, tükrözés, nyújtás. Lineáris leképezés az a függvény vektorok között, ami tiszteli a két műveletet: összeget összegbe, számszorost számszorosba visz. Emiatt egy lineáris leképezést teljesen meghatároz, hogy mit csinál a bázisvektorokkal.

Linearitás

T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v),\qquad T(c\mathbf v)=c\,T(\mathbf v)

Egy egyszerű példa: lineáris és nem lineáris

A $T(x;y)=(2x;\,x+y)$ lineáris. Ellenőrizd a második feltételt: $T(3\cdot(1;1))=T(3;3)=(6;6)$ , és $3\cdot T(1;1)=3\cdot(2;2)=(6;6)$ . Az elsőt is: $T((1;0)+(0;1))=T(1;1)=(2;2)$ , és $T(1;0)+T(0;1)=(2;1)+(0;1)=(2;2)$ . A $S(x;y)=(x+1;\,y)$ viszont nem az: $S(0;0)=(1;0)$ , pedig a nullvektornak a helyén kellene maradnia. A gyors teszt tehát a nullvektor; a teljes bizonyíték a két feltétel.

Lineáris: forgatás az origó körül, tükrözés egy origón átmenő egyenesre, vetítés, nyújtás, a deriválás a polinomokon. Nem lineáris: az eltolás ( $T(\mathbf 0)\neq\mathbf 0$ ), az $x\mapsto x^2$ , bármi, ami konstanst ad hozzá. Gyors teszt: lineáris leképezés a nullvektort mindig a nullvektorba viszi.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A leképezés mátrixa

Ha tudjuk, hova kerülnek a bázisvektorok, tetszőleges vektor képe kombinálható belőlük. A képeket egy mátrix oszlopaiba írva a leképezés mátrixszorzás lesz:

A mátrix oszlopai a bázisvektorok képei

A=\bigl(T(\mathbf e_1)\ \ T(\mathbf e_2)\ \cdots\ T(\mathbf e_n)\bigr),\qquad T(\mathbf x)=A\mathbf x

Képletből mátrix

$T(x,y)=(x+2y;\ 3x-y)$ . A bázisvektorok képei: $T(1,0)=(1;3)$ , $T(0,1)=(2;-1)$ . Oszlopokba:

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2y\\3x-y\end{pmatrix}

A síkbeli alapleképezések mátrixai, amiket fejből érdemes tudni:

Leképezés	Mátrix
forgatás $\alpha$ szöggel	$\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$
tükrözés az $x$ tengelyre	$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
tükrözés az $y=x$ egyenesre	$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
vetítés az $x$ tengelyre	$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$
nyújtás $k$ -szorosára	$\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$
nyírás $x$ irányban	$\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$

A forgatás mátrixa is az oszlopszabályból jön: az $(1;0)$ képe $(\cos\alpha;\sin\alpha)$ , a $(0;1)$ -é $(-\sin\alpha;\cos\alpha)$ .

3. Kompozíció és inverz

Két leképezés egymás utáni végrehajtása a mátrixok szorzata, a később alkalmazott mátrix áll elöl: $T_2(T_1(\mathbf x))=A_2A_1\mathbf x$ . Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, a sorrend számít: előbb tükrözni aztán forgatni nem ugyanaz, mint fordítva. Az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix; a vetítésnek nincs inverze, ahogy a mátrixának sincs (determinánsa nulla).

Forgatás kétszer

Két $\alpha$ szögű forgatás egy $2\alpha$ szögű: $R_\alpha^2=R_{2\alpha}$ . A mátrixszorzat bal felső eleme $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ , ami valóban $\cos2\alpha$ ; a lineáris algebra ingyen adja az addíciós tételeket.

4. Magtér, képtér, dimenziótétel

A magtér (kernel) az, amit a leképezés a nullvektorba küld; a képtér az összes kép halmaza. Mindkettő altér, és a dimenziótétel köti össze őket:

Magtér, képtér, dimenziótétel

\operatorname{Ker}T=\{\mathbf x:\ A\mathbf x=\mathbf 0\},\qquad \operatorname{Im}T=\{A\mathbf x\},\qquad \dim\operatorname{Ker}T+\dim\operatorname{Im}T=n

Egy egyszerű példa: a vetítés

A vetítés az $x$ tengelyre, $T(x;y)=(x;0)$ , a nullvektorba küldi az összes $(0;y)$ vektort: a magtér az $y$ tengely, dimenziója 1. A képek az $(x;0)$ alakú vektorok: a képtér az $x$ tengely, dimenziója 1. Tényleg $1+1=2$ . A vetítés „elfelejti” az $y$ koordinátát, ezért nem injektív: a $(3;1)$ és a $(3;7)$ ugyanoda kerül.

A képtér dimenziója a mátrix rangja; a képteret az oszlopok generálják. A leképezés pontosan akkor injektív (kölcsönösen egyértelmű), ha a magtere csak a nullvektor.

Vetítés jellegű leképezés

$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ .

Magtér: $x+2y=0$ (a második sor ugyanezt mondja), tehát $\operatorname{Ker}=\langle(-2;1)\rangle$ , dimenziója 1.
Képtér: az oszlopok $(1;2)$ és $(2;4)$ arányosak, $\operatorname{Im}=\langle(1;2)\rangle$ , dimenziója 1. $1+1=2$ . Rendben.
A leképezés az egész síkot egy egyenesre lapítja, és a $(-2;1)$ irányú vektorokat nullázza: nem injektív, nincs inverze.

Bázisváltás

Ugyanannak a leképezésnek más bázisban más a mátrixa: $A'=S^{-1}AS$ , ahol $S$ oszlopai az új bázisvektorok. A diagonalizálás pont olyan bázist keres, amiben a mátrix átlós.

5. Tipikus hibák

Sorokba írt képek. A bázisvektorok képei a mátrix oszlopai. Sorokba írva a transzponáltat kapod.
Kompozíció fordított sorrendben. Az „előbb $T_1$ , aztán $T_2$ ” mátrixa $A_2A_1$ .
Eltolás mint lineáris leképezés. Az $\mathbf x\mapsto\mathbf x+\mathbf b$ nem lineáris; mátrixszal csak homogén koordinátákban írható le.
Képtér a sorokból. A képteret az oszlopok generálják; a sorok a sorteret, ami más altér (bár a dimenziója ugyanaz).

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció