Analízis 2

Implicit függvények deriválása

Amikor y-t nem lehet kifejezni: az implicit deriválás egy és két változóban, az implicitfüggvény-tétel és a felület érintősíkja F(x,y,z)=0 alakból.

11 perc olvasás

1. Implicit deriválás egy változóban

Ebben a leckében egy olyan fogást mutatok meg Neked, ami elsőre trükknek tűnik, valójában azonban csak a láncszabály következetes használata. Az $x^2+y^2=25$ egy kör, nem függvénygrafikon: az $y$ nem fejezhető ki egyértelműen (két ág van, $\pm\sqrt{25-x^2}$ ). Mégis van érintője, és a meredeksége kiszámolható anélkül, hogy kifejeznénk $y$ -t: az egyenlet mindkét oldalát $x$ szerint deriváljuk, és az $y$ -t x függvényének tekintjük, tehát a láncszabály szerint $y'$ -t kap szorzóként.

A kör érintője

$x^2+y^2=25$ mindkét oldalát deriválva: $2x+2y\,y'=0$ , amiből $y'=-\dfrac{x}{y}$ .
A $(3;4)$ pontban $y'=-\frac34$ , az érintő $y=4-\frac34(x-3)$ , azaz $3x+4y=25$ .
Ellenőrzés: az érintő merőleges a sugárra, aminek az irányvektora $(3;4)$ , meredeksége $\frac43$ ; és $-\frac34\cdot\frac43=-1$ . Rendben.

Descartes-levél

$x^3+y^3=6xy$ , érintő a $(3;3)$ pontban.

Deriválás; a jobb oldalon szorzatszabály: $3x^2+3y^2y'=6y+6xy'$ .
Az $y'$ -s tagok egy oldalra: $y'(3y^2-6x)=6y-3x^2$ , tehát $y'=\dfrac{2y-x^2}{y^2-2x}$ .
A $(3;3)$ -ban $y'=\dfrac{6-9}{9-6}=-1$ : az érintő $y=-x+6$ . (A görbe szimmetrikus az $y=x$ egyenesre, ezért ez várható is volt.)

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az implicitfüggvény-tétel

Az előző fejezet módszere általánosan is felírható. Ha a görbét $F(x,y)=0$ adja, és $y=y(x)$ , akkor a többváltozós láncszabály szerint $F_x+F_y\,y'=0$ :

Implicitfüggvény-tétel

y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad (F_y\neq0)

Egy egyszerű példa, ahol a választ előre tudjuk

Legyen $F(x,y)=2x+3y-6$ , vagyis a görbe a $2x+3y=6$ egyenes. Itt $F_x=2$ és $F_y=3$ , tehát a képlet szerint $y'=-\frac23$ . Ellenőrizzük: az egyenletből $y=2-\frac23x$ , aminek a meredeksége tényleg $-\frac23$ . A mínusz a képletben tehát nem elírás: ha az $x$ növelése emeli az $F$ -et, az $y$ -nak csökkennie kell, hogy az $F=0$ megmaradjon.

A tétel azt is mondja, hogy ahol $F_y\neq0$ , ott az egyenlet lokálisan tényleg meghatároz egy $y(x)$ függvényt. A körnél $F=x^2+y^2-25$ , $F_x=2x$ , $F_y=2y$ , és $y'=-\frac{x}{y}$ , mint fent. Ahol $y=0$ , vagyis a $(\pm5;0)$ pontokban, a tétel nem alkalmazható: ott az érintő függőleges, és a kör lokálisan sem grafikon.

Két változóban ugyanez: ha $F(x,y,z)=0$ egy felület és $z=z(x,y)$ , akkor

Felület implicit alakból

z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z},\qquad \text{érintősík normálvektora: }\operatorname{grad}F=(F_x,F_y,F_z)

Egy egyszerű példa: sík implicit alakban

Legyen $F(x,y,z)=x+2y-z$ , ami a $z=x+2y$ síkot írja le. A képlettel: $z_x=-\frac{1}{-1}=1$ és $z_y=-\frac{2}{-1}=2$ , pontosan a $z=x+2y$ együtthatói. A gradiens $(1;2;-1)$ , ami tényleg a sík normálvektora. Ha ez a triviális eset kijön, a képletet jól jegyezted meg.

A gömb érintősíkja

$x^2+y^2+z^2=14$ az $(1;2;3)$ pontban.

$F=x^2+y^2+z^2-14$ , $\operatorname{grad}F=(2x;2y;2z)=(2;4;6)$ , ami a $(1;2;3)$ irány kétszerese: a gömb normálisa a sugár irányába mutat.
Érintősík: $1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0$ , azaz $x+2y+3z=14$ .
Ugyanez a parciális deriváltakkal: $z_x=-\frac{x}{z}=-\frac13$ , $z_y=-\frac{y}{z}=-\frac23$ , és $z=3-\frac13(x-1)-\frac23(y-2)$ , ami rendezve szintén $x+2y+3z=14$ .

3. Alkalmazás: az inverz függvények deriváltja

Az arkusz- és logaritmusfüggvények deriváltját pontosan az implicit deriválással a legegyszerűbb levezetni: az inverz függvény definícióját deriváljuk.

arcsin deriváltja

$y=\arcsin x$ azt jelenti, hogy $\sin y=x$ . Deriválva: $\cos y\cdot y'=1$ , tehát $y'=\dfrac{1}{\cos y}$ .
$\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$ (a gyök pozitív, mert $y\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ ). Így
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ugyanígy: $y=\ln x\Rightarrow e^y=x\Rightarrow e^yy'=1\Rightarrow y'=\frac1x$ , és $y=\operatorname{arctg}x\Rightarrow\operatorname{tg}y=x\Rightarrow\frac{y'}{\cos^2y}=1\Rightarrow y'=\cos^2y=\frac{1}{1+x^2}$ .

Logaritmikus deriválás

Ugyanez a technika adja az $x^x$ típusú függvények deriváltját: $y=x^x$ , mindkét oldal logaritmusa $\ln y=x\ln x$ , deriválva $\frac{y'}{y}=\ln x+1$ , tehát $y'=x^x(\ln x+1)$ .

4. Tipikus hibák

Elfelejtett $y'$ . Az $y^2$ deriváltja $2y\,y'$ , nem $2y$ : az $y$ az $x$ függvénye, tehát láncszabály kell.
Szorzatszabály kihagyása. A $6xy$ deriváltja $6y+6xy'$ , mindkét tényező változik.
Előjel a tételben. $y'=-\frac{F_x}{F_y}$ , mínusszal. Gyors ellenőrzés: $F=y-f(x)$ -re $-\frac{-f'}{1}=f'$ kell, hogy kijöjjön.
Az érintő pontja nincs a görbén. Implicit görbénél előbb ellenőrizd, hogy a megadott pont kielégíti-e az egyenletet; ha nem, nincs mit deriválni.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció