Analízis 2

Függvénysorozatok és függvénysorok

Pontonkénti és egyenletes konvergencia: mi a különbség, miért számít, és hogyan dönt a Weierstrass-féle majoráns kritérium.

11 perc olvasás

1. Pontonkénti konvergencia

Eddig számsorozataink voltak: $a_1,a_2,\ldots$ . Most a tagok függvények: $f_1(x),f_2(x),\ldots$ Ha egy $x$ -et rögzítünk, a $f_n(x)$ számsorozat, aminek lehet határértéke. Ha ez minden $x$ -re létezik, a határértékek egy függvényt alkotnak: ez a határfüggvény, és a konvergenciát pontonkéntinek hívjuk.

Pontonkénti konvergencia

f_n\to f\ \text{pontonként},\quad\text{ha}\quad \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\ \text{ minden rögzített } x\text{-re}

Egy egyszerű példa

Legyen $f_n(x)=\dfrac{x}{n}$ . Rögzítsünk egy $x$ -et, mondjuk $x=2$ : a sorozat $2,\ 1,\ \frac23,\ \frac12,\ \ldots$ , ami 0-hoz tart. Ugyanez bármelyik $x$ -re igaz, hiszen egy rögzített számot osztunk egyre nagyobbal. A határfüggvény tehát az azonosan nulla függvény, $f(x)=0$ . Szemléletesen: az egyre laposabb egyenesek ráfekszenek az $x$ tengelyre.

A klasszikus példa

$f_n(x)=x^n$ a $[0;1]$ intervallumon. Ha $0\le x<1$ , akkor $x^n\to0$ ; ha $x=1$ , akkor $1^n=1$ . A határfüggvény tehát

f(x)=\begin{cases}0, & 0\le x<1\\ 1, & x=1\end{cases}

Minden $f_n$ folytonos, a határfüggvény mégsem az: az 1-ben ugrik. A pontonkénti konvergencia tehát nem örökíti át a folytonosságot. Ez a megfigyelés az oka annak, hogy egy erősebb fogalomra van szükség.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Egyenletes konvergencia

Pontonkénti konvergenciánál minden $x$ a saját ütemében közelít: az $x^n$ az $x=0{,}5$ -nél gyorsan, az $x=0{,}99$ -nál lassan tart nullához, és az 1 közelében mindig marad olyan pont, ahol $x^n$ még majdnem 1. Az egyenletes konvergencia azt követeli, hogy a közelítés az egész intervallumon egyszerre legyen jó: a legnagyobb eltérés is nullához tartson.

Egyenletes konvergencia

f_n\rightrightarrows f\ \text{ az } I\text{-n},\quad\text{ha}\quad \sup_{x\in I}\bigl|f_n(x)-f(x)\bigr|\longrightarrow0

Szemléletesen: az $f$ grafikonja köré rajzolt akármilyen keskeny sáv egy indextől kezdve az összes $f_n$ grafikonját tartalmazza.

Egy egyszerű példa: az x/n két intervallumon

Az előbbi $f_n(x)=\frac{x}{n}$ a $[0;1]$ intervallumon egyenletesen tart 0-hoz: a legnagyobb eltérés az $x=1$ -nél van, és az $\frac1n\to0$ . A teljes számegyenesen viszont nem: bármilyen nagy $n$ -re találunk olyan $x$ -et (például $x=n$ ), ahol $f_n(x)=1$ , tehát a szuprémum végtelen. Ugyanaz a sorozat, ugyanaz a határfüggvény, de az intervallumtól függ, egyenletes-e a konvergencia.

Ugyanaz a sorozat, két intervallumon

$x^n$ a $[0;q]$ -n, $q<1$ : a legnagyobb eltérés a nullától $q^n\to0$ , tehát a konvergencia egyenletes.
$x^n$ a $[0;1)$ -en: a szuprémum minden $n$ -re 1 (az 1-hez közel $x^n$ tetszőlegesen közel van 1-hez), tehát nem egyenletes, hiába pontonként konvergens.

Az egyenletes konvergencia az, ami a jó tulajdonságokat átviszi a határfüggvényre:

folytonos függvények egyenletes határértéke folytonos;
az integrál és a határérték felcserélhető: $\int_a^b f_n\to\int_a^b f$ ;
ha a deriváltak sorozata is egyenletesen konvergens, a határfüggvény deriválható, és $f'=\lim f_n'$ .

3. Függvénysorok és a majoráns kritérium

Függvénysor a $\sum f_n(x)$ ; a konvergenciája a részletösszegek sorozatáé, ugyanúgy, mint a számsoroknál. Az egyenletes konvergenciát a legtöbbször egyetlen eszközzel bizonyítjuk: ha a tagokat egy konvergens számsorral felülről le lehet fogni, a függvénysor egyenletesen (és abszolút) konvergens.

Weierstrass-féle majoráns kritérium

|f_n(x)|\le a_n\ \ (\forall x\in I),\quad \sum a_n<\infty\qquad\Longrightarrow\qquad \sum f_n(x)\ \text{egyenletesen konvergens } I\text{-n}

Egy egyszerű példa

A $\sum\frac{x^n}{2^n}$ sor a $[-1;1]$ intervallumon: itt $|x|\le1$ , ezért $\left|\frac{x^n}{2^n}\right|\le\frac{1}{2^n}$ , és a $\sum\frac{1}{2^n}$ egy konvergens mértani sor. A függvénysor tehát egyenletesen konvergens ezen az intervallumon. Figyeld meg, hogy a korlát, $\frac{1}{2^n}$ , nem függ $x$ -től: pont ez a kritérium lényege.

Egy trigonometrikus sor

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n^2}$ : minden $x$ -re $\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\le\frac{1}{n^2}$ , és $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergens. A sor tehát az egész számegyenesen egyenletesen konvergens, az összegfüggvénye folytonos, és tagonként integrálható.

Ahol ezt használod: hatványsorok és Fourier-sorok

A hatványsorok a konvergenciaintervallum minden zárt részintervallumán egyenletesen konvergálnak: ezért szabad őket tagonként deriválni és integrálni. A Fourier-soroknál a helyzet finomabb: egy ugrásos függvény sora nem lehet egyenletesen konvergens (különben az összeg folytonos lenne), és pontosan ez okozza az ugrás körüli túllövést.

4. Tipikus hibák

Pontonkénti konvergenciából folytonosságra következtetni. Az $x^n$ példa mutatja, hogy nem lehet; egyenletes konvergencia kell.
Határérték és integrál automatikus cseréje. $\lim\int f_n$ és $\int\lim f_n$ különbözhet, ha a konvergencia nem egyenletes.
A szuprémum helyett egy pont vizsgálata. Az egyenletes konvergenciához az intervallum legrosszabb pontját kell nézni, nem egy kényelmeset.
Majoráns $x$ -től függő korláttal. Az $a_n$ nem függhet $x$ -től: az egész intervallumon egyetlen számsorral kell lefogni a tagokat.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció