Lineáris algebra

Diagonalizálás és mátrixhatványok

Mikor diagonalizálható egy mátrix, hogyan írjuk fel az A = SDS⁻¹ felbontást, és hogyan számolunk vele századik hatványt vagy hosszú távú viselkedést.

13 perc olvasás

1. Hasonlóság és a diagonalizálás ötlete

Ha egy mátrixnak van $n$ független sajátvektora, azok bázist alkotnak, és ebben a bázisban a leképezés csak nyújt a tengelyek mentén: a mátrixa diagonális. Az áttérés a bázisváltás képlete:

Diagonalizálás

A=SDS^{-1},\qquad S=\bigl(\mathbf v_1\ \cdots\ \mathbf v_n\bigr),\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)

Egy egyszerű példa: mit jelent a képlet?

Olvasd a képletet jobbról balra, mert a mátrix így hat egy vektorra: az $S^{-1}$ átírja a vektort a sajátvektorok „nyelvére”, a $D$ ezen a nyelven csak nyújt a tengelyek mentén, az $S$ pedig visszafordít a szokásos koordinátákba. Ha a mátrix már eleve átlós, $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ , akkor a sajátvektorok a tengelyek, $S=I$ , és a képlet a triviális $A=IAI$ . A diagonalizálás tehát azt keresi, melyik bázisban „átlós” egy nem átlós mátrix.

Az $S$ oszlopai a sajátvektorok, a $D$ átlójában ugyanabban a sorrendben a hozzájuk tartozó sajátértékek. Két mátrix hasonló, ha $B=S^{-1}AS$ valamilyen invertálható $S$ -sel; a hasonló mátrixoknak ugyanaz a sajátértékük, determinánsuk, nyomuk.

Mikor diagonalizálható?

Pontosan akkor, ha van $n$ lineárisan független sajátvektor. Ez biztosan teljesül, ha az $n$ sajátérték mind különböző, és akkor is, ha a mátrix szimmetrikus. Ha egy többszörös sajátértékhez kevesebb sajátvektor tartozik, mint a multiplicitása, a mátrix nem diagonalizálható.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Kidolgozott példa

A = SDS⁻¹ felírása és ellenőrzése

$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ , a sajátértékek $1$ és $3$ , sajátvektorok $(1;-1)$ és $(1;1)$ (az előző leckéből).

$S=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix},\qquad S^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$
Ellenőrzés: $SD=\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\end{pmatrix}$ , és
$SDS^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=A$
Rendben.

3. Mátrixhatványok

A felbontás legnagyobb haszna: a hatványozásnál az $S^{-1}S$ párok kiesnek, és csak a diagonális mátrixot kell hatványozni, ami elemenként megy.

Hatvány a felbontásból

A^k=SD^kS^{-1},\qquad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)

Miért esnek ki a párok? Írd ki a négyzetet: $A^2=SDS^{-1}\,SDS^{-1}=SD(S^{-1}S)DS^{-1}=SD^2S^{-1}$ , mert középen $S^{-1}S=I$ . Egy egyszerű példa: átlós mátrixnál $S=I$ , és $\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}^{3}=\begin{pmatrix}8&0\\0&125\end{pmatrix}$ , elemenként. A felbontás pontosan ezt a kényelmet hozza át egy nem átlós mátrixra:

Zárt képlet Aⁿ-re

A^n=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1+3^n&3^n-1\\3^n-1&1+3^n\end{pmatrix}

Ellenőrzés $n=1$ -re: $\frac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=A$ . Rendben. A századik hatvány ugyanennyi munka.

Ugyanígy értelmezhető a mátrix négyzetgyöke, exponenciálisa ( $e^{At}=Se^{Dt}S^{-1}$ , ami a differenciálegyenlet-rendszerek megoldása), és bármilyen függvénye: a függvényt a sajátértékekre alkalmazzuk.

4. Alkalmazás: hosszú távú viselkedés

Ha egy rendszer állapota lépésről lépésre $\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k$ szerint változik, akkor $\mathbf x_k=A^k\mathbf x_0$ , és a hosszú távú viselkedést a legnagyobb abszolút értékű sajátérték dönti el: a többi tag hozzá képest eltörpül.

Kétállapotú Markov-lánc

Egy városban évente a belvárosiak 10%-a költözik a külvárosba, a külvárosiak 20%-a a belvárosba: $A=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}2\\0{,}1&0{,}8\end{pmatrix}$ . Hova tart a megoszlás?

Karakterisztikus polinom: $\lambda^2-1{,}7\lambda+0{,}7=(\lambda-1)(\lambda-0{,}7)$ . Sajátértékek $1$ és $0{,}7$ .
A $\lambda=1$ sajátvektora: $-0{,}1v_1+0{,}2v_2=0$ , azaz $v_1=2v_2$ : $(2;1)$ .
Mivel $0{,}7^k\to0$ , hosszú távon csak a $\lambda=1$ komponens marad: a megoszlás a $(2;1)$ irányhoz tart, vagyis $\frac23$ belváros, $\frac13$ külváros, a kezdeti megoszlástól függetlenül. Ez a stacionárius eloszlás.

5. Szimmetrikus mátrixok: ortogonális diagonalizálás

Szimmetrikus mátrixnál a sajátvektorok merőlegesek, ezért ha egységnyi hosszúra normáljuk őket, az $S$ ortogonális mátrix lesz, és az inverze a transzponáltja:

Főtengelytétel

A=A^{T}\quad\Longrightarrow\quad A=QDQ^{T},\qquad Q^{T}Q=I

A példa mátrixánál a két sajátvektor, $(1;-1)$ és $(1;1)$ , tényleg merőleges (skaláris szorzatuk 0), a hosszuk $\sqrt2$ . Normálva: $Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ , és az inverzet ki sem kell számolni, mert $Q^{-1}=Q^{T}$ : ez a nagy nyereség a szimmetrikus esetben. Ez a felbontás a kvadratikus alakok főtengelyre hozásának és a statisztikában a főkomponens-analízisnek az alapja.

6. Tipikus hibák

Elcsúszott sorrend. A $D$ átlójában a sajátértékek abban a sorrendben állnak, ahogy a sajátvektoraik $S$ -ben; ha felcseréled, $SDS^{-1}\neq A$ .
$S^{-1}$ elfelejtése vagy rossz oldalon. $A=SDS^{-1}$ , tehát $D=S^{-1}AS$ ; nem $SAS^{-1}$ .
Nem diagonalizálható mátrix erőltetése. Ha nincs elég sajátvektor, nincs $S$ ; ilyenkor Jordan-alak kell, ami más lecke.
Hatványozás $S$ -en is. $A^k=SD^kS^{-1}$ , csak a $D$ hatványozódik.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció