Analízis 1

Folytonosság és szakadási helyek

Mit jelent pontosan, hogy egy függvény folytonos, milyen szakadások vannak, hogyan tesszük folytonossá egy paraméterrel, és mit mond a Bolzano-tétel.

11 perc olvasás

1. Mit jelent a folytonosság?

Szemléletesen: a grafikont a ceruza felemelése nélkül lehet megrajzolni. Pontosan: egy függvény az $a$ pontban folytonos, ha ott a határértéke (lásd a határérték számítást) megegyezik a helyettesítési értékével. Ez három feltételt takar, és bármelyik sérülhet külön is:

Folytonosság az a pontban

\text{(1) } f(a)\ \text{létezik},\qquad \text{(2) } \lim_{x\to a}f(x)\ \text{létezik},\qquad \text{(3) } \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Egy egyszerű példa: a három feltétel végigpróbálása

Nézzük az $f(x)=x^2+1$ függvényt az $a=2$ pontban. (1) $f(2)=5$ , létezik. (2) Ha az $x$ 2-höz közelít, az $x^2+1$ 5-höz, akár balról, akár jobbról jövünk: a határérték 5. (3) A kettő egyenlő. Tehát a függvény a 2-ben folytonos, és ugyanez a gondolatmenet bármelyik pontban lefuttatható. Ha viszont ugyanezt a $g(x)=\frac{1}{x-2}$ függvénnyel próbálod, már az (1) elakad: $g(2)$ nem létezik.

A (2) feltételben a bal és a jobb oldali határérték egyezését is beleértjük. Egy intervallumon folytonos az a függvény, ami annak minden pontjában folytonos. A gyakorlatban a fő eszközünk az, hogy az elemi függvények az értelmezési tartományukon folytonosak, és összeg, szorzat, hányados (ahol a nevező nem nulla), összetétel megőrzi a folytonosságot. Ezért nem kell minden pontot külön végignézni: egy képlettel adott függvénynél csak ott érdemes gyanakodni, ahol a képlet „elromlik” (nullával osztás, negatív szám a gyök alatt) vagy ahol a képlet vált.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A szakadási helyek típusai

Ahol a három feltétel valamelyike nem teljesül, ott szakadás van. Aszerint osztályozzuk, hogy a határértékkel mi a helyzet. Az alábbi táblázatban összeszedtem Neked a típusokat egy-egy jellemző példával, mert a vizsgán nem elég azt mondani, hogy „szakadás van”, meg kell nevezni, melyik fajta:

Típus	Mi történik	Példa
Megszüntethető	a határérték létezik, de $f(a)$ más vagy nincs	$\dfrac{x^2-1}{x-1}\ \text{az } x=1\text{-ben}$
Ugrás (elsőfajú)	bal és jobb oldali határérték véges, de különböző	$\operatorname{sgn}x,\ [x]\ \text{az egészeknél}$
Másodfajú: végtelen	valamelyik oldali határérték $\pm\infty$	$\dfrac{1}{x}\ \text{az } x=0\text{-ban}$
Másodfajú: lengő	a határérték nem létezik, nem is végtelen	$\sin\dfrac{1}{x}\ \text{az } x=0\text{-ban}$

A megszüntethető szakadás azért kapta a nevét, mert egyetlen pont átdefiniálásával eltűnik: a $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ ( $x\neq1$ ) határértéke az 1-ben 2, tehát ha $f(1):=2$ , a függvény folytonossá válik. Az ugrást és a másodfajú szakadást semmilyen átdefiniálás nem tünteti el.

3. Folytonossá tétel: paraméter meghatározása

A leggyakoribb feladattípus: egy szakaszonként adott függvényben paraméter van, és úgy kell megválasztani, hogy a függvény folytonos legyen. A gondolat egyszerű: a két képlet a váltási pontban „találkozzon”, vagyis ugyanazt az értéket adja. Ehhez a váltási pontban kiszámoljuk a bal és a jobb oldali határértéket, és a kettőt egyenlővé tesszük egymással és a helyettesítési értékkel. Az alábbiakban mutatok két tipikus példát.

Két képlet találkozása

Milyen $a$ esetén folytonos $f(x)=\begin{cases} x^2+a, & x<1 \\ 3x-1, & x\ge 1\end{cases}$ ?

Az $x=1$ -en kívül mindkét darab polinom, tehát folytonos; csak a váltási pont kérdéses.
Bal oldali határérték: $\lim_{x\to1^-}(x^2+a)=1+a$ . Jobb oldali határérték és helyettesítési érték: $3\cdot1-1=2$ .
$1+a=2$ , tehát $a=1$ .

Lyuk kitöltése határértékkel

Milyen $c$ -vel folytonos a 0-ban $g(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin 3x}{x}, & x\neq0 \\ c, & x=0\end{cases}$ ?

A nevezetes határértékkel: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}=3\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{3x}=3$ .
A folytonossághoz $c=3$ kell. Bármilyen más $c$ -vel megszüntethető szakadása van a 0-ban.

4. Folytonos függvények zárt intervallumon

A folytonosságnak zárt, korlátos intervallumon három erős következménye van. Ezeket a tételeket érdemes névvel együtt megjegyezni, mert a vizsgákon elméleti kérdésként és feladatban is előjönnek, és mindegyik mögött egy egyszerű, szemléletes gondolat áll: ha a ceruzát nem emeljük fel, nem tudunk „átugrani” semmit.

Bolzano-tétel. Ha $f$ folytonos $[a;b]$ -n és $f(a)$ , $f(b)$ ellentétes előjelű, akkor van zérushelye $(a;b)$ -ben. Ez az alapja a felezéses gyökkeresésnek.
Darboux-tulajdonság (közbülső érték). Folytonos függvény két felvett érték közt minden értéket felvesz.
Weierstrass-tétel. Zárt, korlátos intervallumon folytonos függvény korlátos, és van legnagyobb és legkisebb értéke. Ezért keresünk abszolút szélsőértéket a végpontok és a belső kritikus pontok összehasonlításával.

Bolzano a gyakorlatban

Van-e gyöke az $x^3+x-1=0$ egyenletnek? $f(0)=-1<0$ és $f(1)=1>0$ , a polinom folytonos, tehát a $(0;1)$ -ben van gyök. Felezve: $f(0{,}5)=-0{,}375<0$ , tehát a gyök $(0{,}5;1)$ -ben van; $f(0{,}75)\approx0{,}17>0$ , tehát $(0{,}5;0{,}75)$ -ben, és így tovább, tetszőleges pontosságig.

Mindhárom feltétel kell

Az $\frac{1}{x}$ a $[-1;1]$ -en előjelet vált, mégsincs zérushelye, mert a 0-ban nem folytonos. Az $x$ a $(0;1)$ nyílt intervallumon folytonos és korlátos, mégsincs maximuma, mert az intervallum nem zárt. A tételek feltételeit feladatban is ellenőrizni kell.

5. Tipikus hibák

Csak az egyik oldalt nézed. A váltási pontban a bal és a jobb oldali határértéket is ki kell számolni, és a helyettesítési értékkel is egyeztetni. Három szám, mindnek egyeznie kell.
„Nincs értelmezve, tehát nem folytonos.” Ahol a függvény nincs értelmezve, ott a folytonosság kérdése fel sem merül; a szakadás fogalma is csak a definíció szerint használható. Az $\frac1x$ az értelmezési tartományán folytonos.
Egyszerűsítés után elfelejtett lyuk. A $\frac{x^2-1}{x-1}$ nem folytonos az $1$ -ben, hiába egyszerűsíthető $x+1$ -re: ott nincs értelmezve.
Bolzano feltételei nélkül. Előjelváltásból csak folytonos függvénynél következik zérushely.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)