Lineáris algebra

Polinomok: gyökök, gyöktényezős alak, Horner-elrendezés

Polinomosztás és a Horner-elrendezés, a racionális gyökteszt, a gyöktényezős alak és a Viète-formulák: hogyan találjuk meg egy harmadfokú egyenlet összes gyökét.

12 perc olvasás

1. Fokszám, műveletek, maradékos osztás

Ebben a leckében a polinomokról azt szedtem össze Neked, ami a feladatokban tényleg előjön: hogyan találjuk meg a gyököket, és hogyan bontjuk szorzattá a polinomot. A polinom $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ , ahol $a_n\neq0$ ; az $n$ a fokszáma, $a_n$ a főegyütthatója. Összeg fokszáma legfeljebb a nagyobbik, szorzaté pontosan a fokszámok összege. Polinomokat maradékosan lehet osztani, mint az egész számokat:

Maradékos osztás

p(x)=q(x)\,h(x)+r(x),\qquad \deg r<\deg q

Egy egyszerű példa

Osszuk el az $x^2+3x+5$ polinomot $(x+1)$ -gyel. Az $x^2+3x+5=(x+1)(x+2)+3$ , amit kiszorzással ellenőrizhetsz: $x^2+3x+2+3$ . A hányados $x+2$ , a maradék 3, és a maradék foka (0) tényleg kisebb az osztóénál (1). Pontosan úgy, mint a $17=5\cdot3+2$ az egész számoknál.

Elsőfokú osztónál a maradék konstans, és ezt a konstanst behelyettesítéssel is megkapjuk. Ez a Bézout-tétel:

Bézout-tétel

p(x)=(x-a)\,h(x)+p(a)\qquad\Longrightarrow\qquad (x-a)\mid p(x)\iff p(a)=0

Az előbbi példán: az osztó $x+1=x-(-1)$ , és $p(-1)=1-3+5=3$ , pontosan a maradék. Ha a maradék nulla lenne, az $x+1$ osztaná a polinomot, és a $-1$ gyök lenne. A tétel tehát egy gyors tesztet ad: behelyettesítesz, és ha nullát kapsz, van egy gyöktényező.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A Horner-elrendezés

A Horner-elrendezés egyszerre számolja ki a $p(a)$ helyettesítési értéket és az $(x-a)$ -val vett osztás hányadosát, csak szorzással és összeadással. Az együtthatókat sorban leírjuk, és minden lépésben: az előző eredményt $a$ -val szorozzuk, és hozzáadjuk a következő együtthatót.

Horner az a = 2 helyen

$p(x)=2x^3-3x^2-8x+12$ , $a=2$ .

	2	−3	−8	12
$a=2$	$2$	$2\cdot2-3=1$	$1\cdot2-8=-6$	$-6\cdot2+12=0$

Az utolsó szám a maradék, $p(2)=0$ : a $2$ gyök. Az előtte állók a hányados együtthatói: $2x^2+x-6$ . Tehát

2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6)

Hiányzó tag: nulla együttható

Ha egy hatvány hiányzik ( $x^3+1$ ), a táblázatba $0$ -t kell írni a helyére: $1,\ 0,\ 0,\ 1$ . A leggyakoribb Horner-hiba a kihagyott nulla.

3. Racionális gyökök keresése

Honnan tudtuk, hogy a 2-t érdemes kipróbálni? Egész együtthatós polinom racionális gyökei nem lehetnek akármik:

Racionális gyökteszt

\text{ha } \frac{p}{q}\ \text{ gyök (egyszerűsített alakban), akkor } p\mid a_0\ \text{ és }\ q\mid a_n

A fenti polinomnál $a_0=12$ , $a_n=2$ : a jelöltek $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$ és ezek felei. Horner-rel sorban próbálva a 2 az első találat. A megmaradt $2x^2+x-6$ már másodfokú: $x=\frac{-1\pm7}{4}$ , azaz $\frac32$ és $-2$ . A teljes felbontás:

2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x-3)(x+2)

4. Gyöktényezős alak és a Viète-formulák

Az algebra alaptétele szerint egy $n$ -edfokú polinom a komplex számok fölött $n$ elsőfokú tényezőre bomlik:

Gyöktényezős alak

p(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)

Egy egyszerű példa

A $2x^2-8$ polinom gyökei $\pm2$ , a főegyütthatója 2, tehát $2x^2-8=2(x-2)(x+2)$ . A 2-es szorzót nem szabad elhagyni: a $(x-2)(x+2)=x^2-4$ egy másik polinom, hiába ugyanazok a gyökei. Az $x^2+4$ -nek viszont nincs valós gyöke, csak a komplexek közt bomlik fel: $(x-2i)(x+2i)$ .

Egy gyök többszörös, ha a tényezője többször szerepel; $k$ -szoros gyöknél a polinom és az első $k-1$ deriváltja is nulla ott. A gyöktényezős alakot kiszorozva az együtthatók a gyökök szimmetrikus kifejezései, ezek a Viète-formulák; harmadfokra:

x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3},\qquad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{a_1}{a_3},\qquad x_1x_2x_3=-\frac{a_0}{a_3}

Ellenőrzés a Viète-formulákkal

A gyökök $2,\ \frac32,\ -2$ . Összegük $\frac32$ , és $-\frac{a_2}{a_3}=-\frac{-3}{2}=\frac32$ . Szorzatuk $-6$ , és $-\frac{a_0}{a_3}=-\frac{12}{2}=-6$ . Rendben.

Valós együtthatós polinomnál a nem valós gyökök konjugált párokban jönnek, ezért a valós felbontás első- és másodfokú tényezőkből áll; ez az alapja a parciális törtekre bontásnak.

5. Magasabb fokú egyenletek trükkjei

Általános képlet csak negyedfokig van, és a harmad- és negyedfokú képletek használhatatlanul bonyolultak. A feladatokban ezért mindig van egy szerkezet, amit fel kell ismerni:

Négyzetes helyettesítés. $x^4-5x^2+4=0$ : $u=x^2$ , $u^2-5u+4=(u-1)(u-4)$ , tehát $x=\pm1,\pm2$ .
Racionális gyök + Horner. Egy gyök megtalálása után a fokszám eggyel csökken; harmadfokból másodfokú lesz.
Csoportosítás. $x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)$ .
Szimmetrikus (reciprok) egyenlet. $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ : $x^2$ -tel osztva és $u=x+\frac1x$ helyettesítéssel másodfokú lesz.

6. Tipikus hibák

Horner-táblában kihagyott nulla. Minden fokszámnak kell egy oszlop, a hiányzóknak is.
Előjel az osztónál. Az $(x-2)$ -vel osztásnál a Hornerbe $2$ kerül, nem $-2$ .
A főegyüttható elhagyása a gyöktényezős alakból. $2x^2+x-6=2\left(x-\frac32\right)(x+2)$ ; a 2 nélkül más polinom.
Racionális gyökteszt „minden gyököt megtalál”. Csak a racionális gyököket szűri; az $x^2-2$ -nek nincs racionális gyöke, mégis van kettő.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció