Gazdasági matematika

A Leontief-féle input–output modell

Ágazatok, amik egymás termékeit használják: a technológiai mátrix, a Leontief-inverz és a teljes kibocsátás kiszámítása adott végső kereslethez.

12 perc olvasás

1. A modell: ágazatok, amik egymás termékeit használják

Egy gazdaságban az ágazatok nem függetlenek: az acélgyártáshoz energia kell, az energiatermeléshez acél. Ha a háztartások adott mennyiséget akarnak fogyasztani (végső kereslet), az ágazatoknak ennél többet kell termelniük, mert egymást is ellátják. A Leontief-modell ezt egy mátrixegyenlettel írja le. Ebben a leckében azt szeretném megmutatni Neked, hogy a modell mögött egyetlen egyszerű mérleg áll, amit egy ágazattal fejben is meg tudsz oldani; a mátrix csak akkor kell, amikor több ágazat fogyasztja egymás termékeit.

A technológiai mátrix $A$ eleme, $a_{ij}$ : az $i$ -edik ágazat termékéből mennyi kell a $j$ -edik ágazat egy egységnyi kibocsátásához. Ha az $\mathbf x$ vektor az ágazatok teljes kibocsátása, akkor $A\mathbf x$ az, amit a termelés maga felemészt, és ami marad, az a végső kereslet $\mathbf d$ :

Leontief-modell

\mathbf x=A\mathbf x+\mathbf d\qquad\Longleftrightarrow\qquad(I-A)\,\mathbf x=\mathbf d\qquad\Longleftrightarrow\qquad\mathbf x=(I-A)^{-1}\mathbf d

Egy egyszerű példa: egyetlen ágazat

Képzeld el, hogy csak egy ágazat van, a pékség, és minden egységnyi kenyérhez 0,2 egységnyi kenyér kell (a pékek is esznek). Ha a lakosság 100 kenyeret akar, a $x=0{,}2x+100$ mérlegből $0{,}8x=100$ , tehát $x=125$ . A Leontief-inverz itt egyetlen szám, $\frac{1}{1-0{,}2}=1{,}25$ : minden végső kenyérhez 1,25-öt kell sütni. Több ágazatnál pontosan ugyanez történik, csak a $0{,}2$ helyén mátrix áll, ezért az osztásból inverz lesz.

Az $(I-A)^{-1}$ a Leontief-inverz. Egy inverz mátrix kiszámítása az egész feladat.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Kidolgozott példa két ágazattal

Acél és energia

$A=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}3\\0{,}4&0{,}1\end{pmatrix}$ : egy egység acélhoz 0,2 acél és 0,4 energia kell; egy egység energiához 0,3 acél és 0,1 energia. A végső kereslet $\mathbf d=(100;\,200)$ . Mennyit kell termelni?

$I-A=\begin{pmatrix}0{,}8&-0{,}3\\-0{,}4&0{,}9\end{pmatrix}$ , determinánsa $0{,}72-0{,}12=0{,}6$ .
Az inverz a $2\times2$ -es képlettel (átló csere, mellékátló előjelváltás, osztás a determinánssal):
$(I-A)^{-1}=\frac{1}{0{,}6}\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}3\\0{,}4&0{,}8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5&0{,}5\\ \frac23&\frac43\end{pmatrix}$
$\mathbf x=\begin{pmatrix}1{,}5&0{,}5\\ \frac23&\frac43\end{pmatrix}\begin{pmatrix}100\\200\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}250\\ 333{,}3\end{pmatrix}$
Ellenőrzés a mérleggel: $A\mathbf x+\mathbf d=(50+100+100;\ 100+33{,}3+200)=(250;\,333{,}3)=\mathbf x$ . Rendben. A 100 egység acél végső kereslethez 250-et kell gyártani: a többi a termelés saját fogyasztása.

3. Mit mond a Leontief-inverz?

Az inverz oszlopai multiplikátorok: a $j$ -edik oszlop azt mondja meg, mennyit kell az egyes ágazatoknak termelniük ahhoz, hogy a $j$ -edik termékből egy egységnyi végső keresletet ki lehessen elégíteni. A példában egy egység energia végső kereslete 0,5 acél és 1,33 energia termelést igényel, a közvetett hatásokkal együtt.

Ez a „közvetett hatásokkal együtt” a mértani sorból látszik: a közvetlen szükséglet $A\mathbf d$ , annak a megtermeléséhez $A^2\mathbf d$ kell, és így tovább. Ha a sajátértékek abszolút értékben 1-nél kisebbek, a sor konvergál:

Mértani sor mátrixokra

(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\cdots

Ugyanaz a képlet, mint az $\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+\cdots$ , csak mátrixra. A pékségen ez szó szerint látszik: 100 kenyérhez a pékeknek 20 kell, annak a megsütéséhez még 4, ahhoz 0,8, és így tovább: $100+20+4+0{,}8+\dots=100\cdot\frac{1}{1-0{,}2}=125$ . A Leontief-inverz ezt a végtelen „kör” hatást adja össze egy lépésben.

Mikor működik a modell? Produktivitás

Nem minden $A$ -hoz tartozik értelmes gazdaság: ha egy ágazat több acélt fogyaszt, mint amennyit termel, semmilyen kereslet nem elégíthető ki. A modell akkor produktív, ha minden nemnegatív keresletre nemnegatív kibocsátás jön ki; ennek egy elégséges feltétele, hogy az $I-A$ sarokfőminorai pozitívak (Hawkins–Simon-feltétel). A példában $0{,}8>0$ és $0{,}6>0$ : rendben.

4. A kereslet változásának hatása

Mivel a modell lineáris, a kereslet megváltozásának hatása külön számolható, az egész rendszer újraoldása nélkül:

Változás hatása

\Delta\mathbf x=(I-A)^{-1}\,\Delta\mathbf d

Tíz egységgel több acélkereslet

$\Delta\mathbf d=(10;\,0)$ : $\Delta\mathbf x=(1{,}5\cdot10;\ \tfrac23\cdot10)=(15;\,6{,}67)$ . Az acéltermelés 15-tel, az energiatermelés 6,67-dal nő, pedig energiából a végső kereslet nem változott: ennyi kell a plusz acél gyártásához.

Több ágazatnál az inverzet Gauss–Jordan-eliminációval számoljuk, vagy egyetlen kereslethez közvetlenül az $(I-A)\mathbf x=\mathbf d$ rendszert oldjuk meg; a valódi ágazati táblák több tíz vagy száz méretűek, és ugyanez a mátrixművelet fut rajtuk.

5. Tipikus hibák

$A-I$ az $I-A$ helyett. A mérleg $\mathbf x-A\mathbf x=\mathbf d$ ; a fordított előjel negatív kibocsátást ad.
Sor és oszlop felcserélése. Az $a_{ij}$ az $i$ termékből a $j$ ágazat egységnyi kibocsátásához kell: az oszlop az „vevő” ágazat. Ha a táblázat fordítva van megadva, transzponálni kell.
Közvetlen szükséglet mint teljes. Az $A\mathbf d$ csak az első kör; a teljes hatást az inverz adja.
Inverz ellenőrzés nélkül. A mérleg $A\mathbf x+\mathbf d=\mathbf x$ egy szorzás; minden feladat végén érdemes megnézni.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció