Lineáris algebra

Egyenesek és síkok egyenletei

Pont és irányvektor, pont és normálvektor: az egyenes és a sík felírása, távolságok, metszéspontok és szögek a térben.

13 perc olvasás

1. Az egyenes egyenlete

Ebben a leckében a térgeometria két alapalakzatát vesszük végig, és azt szeretném, hogy a végén egyetlen kérdést tegyél fel minden feladatnál: irányvektor vagy normálvektor kell? Ha erre tudsz válaszolni, a képletek maguktól jönnek. Egy egyenest egy pontja és egy irányvektora határoz meg: az egyenes pontjai a $P_0$ pontból az $\mathbf v$ tetszőleges számszorosával érhetők el.

Egyenes paraméteres egyenletrendszere

\mathbf r=\mathbf r_0+t\,\mathbf v\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=x_0+tv_1,\quad y=y_0+tv_2,\quad z=z_0+tv_3

Egy egyszerű példa: egyenes két ponton át

Az $A(1;2;3)$ és $B(3;2;7)$ pontokon átmenő egyenes irányvektora $\mathbf v=B-A=(2;0;4)$ , egy pontja $A$ , tehát $x=1+2t,\ y=2,\ z=3+4t$ . A $t=0$ az $A$ -t, a $t=1$ a $B$ -t adja, a $t=\frac12$ a felezőpontot, $(2;2;5)$ . Az $y=2$ végig állandó: az egyenes párhuzamos az $xz$ síkkal, ami az irányvektor nulla középső koordinátájából látszik.

A térben az egyenesnek nincs egyetlen egyenlete: egy egyenlet egy síkot ír le, az egyenes két sík metszete. A síkbeli egyenesnél viszont van: ott a normálvektoros $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ alak működik. Két ponton átmenő egyenes irányvektora a két pont különbsége.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A sík egyenlete

A síkot egy pontja és egy rá merőleges normálvektor határozza meg: a sík pontjai azok, amikre a $P_0$ -ból induló vektor merőleges a normálisra, vagyis a skaláris szorzatuk nulla.

Sík normálvektoros egyenlete

\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad Ax+By+Cz=D

Az utolsó alakból a normálvektor azonnal leolvasható: $\mathbf n=(A;B;C)$ . Ha a sík két irányvektorával vagy három pontjával van megadva, a normálist vektoriális szorzattal kapjuk.

Egy egyszerű példa: sík egy pontból és a normálisból

A $P_0(1;2;3)$ ponton átmenő, $\mathbf n=(2;-1;4)$ normálvektorú sík: $2(x-1)-1(y-2)+4(z-3)=0$ , kibontva $2x-y+4z=12$ . Ellenőrzés: $P_0$ behelyettesítve $2-2+12=12$ , rajta van. Fordítva is megy: a $3x+y-2z=5$ síkról ránézésre tudjuk, hogy a normálisa $(3;1;-2)$ .

Sík három ponton át

$P(1;0;0)$ , $Q(0;2;0)$ , $R(0;0;3)$ .

Két irányvektor: $\overrightarrow{PQ}=(-1;2;0)$ , $\overrightarrow{PR}=(-1;0;3)$ .
Normálvektor: $\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=(2\cdot3-0;\ 0-(-1)\cdot3;\ 0-2\cdot(-1))=(6;\,3;\,2)$ .
A $P$ ponttal: $6(x-1)+3y+2z=0$ , azaz $6x+3y+2z=6$ . Ellenőrzés a másik két ponttal: $Q$ : $6$ , $R$ : $6$ . Rendben.

3. Távolságok

Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges hossza, ami a normálvektorra vett vetületből jön; pont és egyenes távolsága egy paralelogramma magassága, ami a vektoriális szorzatból.

Távolságképletek

d(P,\text{sík})=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\qquad d(P,\text{egyenes})=\frac{|\overrightarrow{P_0P}\times\mathbf v|}{|\mathbf v|}

Egy egyszerű példa: pont és sík

Az origó távolsága a $z=4$ síktól nyilván 4. A képlettel: a sík $0x+0y+1z=4$ alakú, $d=\dfrac{|0+0+0-4|}{\sqrt{0+0+1}}=4$ . Egy kevésbé nyilvánvaló eset: a $(1;1;1)$ pont távolsága a $6x+3y+2z=6$ síktól $\dfrac{|6+3+2-6|}{\sqrt{36+9+4}}=\dfrac{5}{7}$ . A nevezőben a normálvektor hossza áll; nélküle a számláló csak egy előjeles szám lenne, nem távolság.

Két kitérő egyenes távolsága a két irányvektor vektoriális szorzatára vett vetületből jön: $d=\dfrac{|(\mathbf r_2-\mathbf r_1)\cdot(\mathbf v_1\times\mathbf v_2)|}{|\mathbf v_1\times\mathbf v_2|}$ , ami egy vegyes szorzat osztva egy területtel.

4. Metszéspontok, metszésvonalak, szögek

Egyenes és sík metszéspontja

Az $\mathbf r=(1;1;1)+t(1;1;-1)$ egyenes és a $6x+3y+2z=6$ sík.

Az egyenes koordinátáit a sík egyenletébe írjuk: $6(1+t)+3(1+t)+2(1-t)=6$ , azaz $11+7t=6$ , $t=-\frac57$ .
Visszahelyettesítve a metszéspont $\left(\frac27;\,\frac27;\,\frac{12}{7}\right)$ . Ellenőrzés: $\frac{12+6+24}{7}=6$ . Rendben.
Ha a $t$ kiesik és hamis egyenlet marad, az egyenes párhuzamos a síkkal; ha azonosság marad, benne fekszik.

Két sík metszésvonalának irányvektora mindkét normálisra merőleges, tehát $\mathbf v=\mathbf n_1\times\mathbf n_2$ ; egy pontját a két egyenlet közös megoldása adja (egy koordinátát szabadon választva). A szögeket mindig a skaláris szorzattal, a jellemző vektorokból számoljuk:

Alakzatok	Miből	Képlet
két egyenes	irányvektorok	$\cos\varphi=\dfrac{\|\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2\|}{\|\mathbf v_1\|\|\mathbf v_2\|}$
két sík	normálvektorok	$\cos\varphi=\dfrac{\|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2\|}{\|\mathbf n_1\|\|\mathbf n_2\|}$
egyenes és sík	irányvektor és normálvektor	$\sin\varphi=\dfrac{\|\mathbf v\cdot\mathbf n\|}{\|\mathbf v\|\|\mathbf n\|}$

Miért szinusz az egyenes és a sík szögénél

A normálvektor merőleges a síkra, tehát az egyenes és a normális szöge a keresett szög pótszöge; a koszinuszból így szinusz lesz. Az abszolút értékek mindenhol azért kellenek, mert az alakzatok szögét hegyesszögnek vesszük.

5. Tipikus hibák

Irányvektor és normálvektor keverése. Az egyeneshez irányvektor kell (benne fekszik), a síkhoz normálvektor (merőleges rá). A sík egyenletének együtthatói a normálist adják, nem egy irányt.
Térbeli egyenes egyetlen egyenlettel. Az $Ax+By+Cz=D$ mindig sík.
Távolságnál elfelejtett osztás. A számláló önmagában nem távolság; a normálvektor hosszával osztani kell.
Egyenes és sík szöge koszinusszal. Az irányvektor és a normális közti szög a pótszög; szinusz kell.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció