A komplex számok alapjai

1. Miért kellenek a komplex számok?

Ebben a leckében a legelejéről indulunk, és azt szeretném, hogy a végére ne egy furcsa trükknek lásd az $i$ -t, hanem egy természetes lépésnek. A számfogalom története ugyanis bővítések sorozata, és mindegyik bővítés oka ugyanaz: van egy egyenlet, ami az addigi számokkal nem oldható meg. A természetes számok közt nincs megoldása az $x+3=0$ -nak, ezért jöttek a negatív számok. Az egészek közt nincs megoldása a $2x=1$ -nek, ezért jöttek a törtek. A racionális számok közt nincs megoldása az $x^2=2$ -nek, ezért jöttek az irracionális számok. És a valós számok közt nincs megoldása ennek:

x^2+1=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x^2=-1

Valós szám négyzete sosem negatív, tehát a valósak közt ez az egyenlet megoldhatatlan. A komplex számok pontosan azért vannak, hogy ez az egyenlet is megoldható legyen. Bevezetünk egy új számot, a képzetes egységet, és az egyetlen dolog, amit elvárunk tőle, hogy a négyzete $-1$ legyen:

A képzetes egység

i^2=-1

Ez az egyetlen új szabály. Minden más, ami ebben és a következő leckékben jön, ebből az egy sorból következik: úgy számolunk az $i$ -vel, mint bármelyik betűvel, csak ahol $i^2$ kerül elő, azt $-1$ -re cseréljük.

Egy egyszerű példa: az i hatványai

Próbáljuk ki a szabályt: $i^3=i^2\cdot i=-i$ , $i^4=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1$ , $i^5=i^4\cdot i=i$ . A hatványok tehát négyesével ismétlődnek: $i,\ -1,\ -i,\ 1$ , és kezdődik elölről. Ha egy feladatban $i^{23}$ jön elő, elég a 23-at néggyel osztva a maradékot nézni: $23=4\cdot5+3$ , tehát $i^{23}=i^3=-i$ .

Ezzel rögtön negatív számból is tudunk gyököt vonni. Mivel $(2i)^2=4i^2=-4$ , ezért $\sqrt{-4}=2i$ , és általában:

\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\qquad (a>0)

Nem trükk, hanem egy nagyobb számhalmaz

Az $i$ ugyanolyan „valódi” szám, mint a $\sqrt{2}$ vagy a $-3$ : egyik sem egy kavics a kezedben, mindegyik egy jól definiált matematikai objektum, amivel következetesen lehet számolni. A komplex számok halmazát $\mathbb{C}$ jelöli, és a valós számok ennek egy részhalmaza: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az algebrai alak

Ha az $i$ -vel a megszokott módon szabad számolni, akkor szorozhatjuk valós számmal ( $3i$ ), és hozzáadhatunk valós számot ( $2+3i$ ). Kiderül, hogy ennél többre nincs is szükség: minden komplex szám felírható ebben az alakban.

Algebrai alak

z=a+bi,\qquad a,b\in\mathbb{R}

Egy egyszerű példa: rendezzünk algebrai alakra

A $2+3i-5+i^2\cdot 4$ kifejezés elsőre nem ilyen alakú, de az $i^2=-1$ miatt a $4i^2$ egyszerűen $-4$ , és a valós tagokat összevonva $(2-5-4)+3i=-7+3i$ . Bármilyen bonyolult kifejezés a végén mindig egy valós számra és egy $i$ -s tagra rendezhető: ez az alak a „végeredmény” a komplex számoknál.

Az $a$ a szám valós része, jele $\operatorname{Re} z$ ; a $b$ a képzetes része, jele $\operatorname{Im} z$ . Mindkettő valós szám. A képzetes rész tehát az $i$ előtti együttható, nem pedig az $i$ -vel együtt vett tag:

z=3-5i:\qquad \operatorname{Re} z=3,\qquad \operatorname{Im} z=-5\ (\text{nem } {-5i})

Két speciális eset, amit a jelölés is elárul:

ha $b=0$ , a szám valós: $z=a$ . Ezért van minden valós szám a komplexek közt is;
ha $a=0$ , a szám tisztán képzetes: $z=bi$ , például $i,\ -2i,\ \sqrt{3}\,i$ .

A legfontosabb, amit az algebrai alakról tudni kell, az az, hogy mikor egyenlő két komplex szám. Pontosan akkor, ha a valós részük is és a képzetes részük is megegyezik:

Egyenlőség

a+bi=c+di\qquad\Longleftrightarrow\qquad a=c\ \text{ és }\ b=d

Ez azt jelenti, hogy egy komplex egyenlet két valós egyenletet ér. Ez lesz a leggyakoribb eszközünk, amikor egy egyenletben komplex az ismeretlen.

Ismeretlen valós paraméterek

Milyen valós $x$ és $y$ esetén teljesül, hogy $(x+2)+(y-1)i=3-4i$ ?

A valós részek egyenlők: $x+2=3$ , tehát $x=1$ .
A képzetes részek egyenlők: $y-1=-4$ , tehát $y=-3$ .
Egyetlen komplex egyenletből két valós egyenlet lett, két ismeretlenre, és ez pontosan elég is volt.

A komplex számok közt nincs kisebb és nagyobb

A valós számok egy egyenesen ülnek, ezért bármely kettőről eldönthető, melyik a nagyobb. A komplex számok egy síkot töltenek ki, és nincs olyan rendezés rajtuk, ami a műveletekkel összeférne. A $2+3i<4+i$ felírásnak nincs értelme. Amit össze lehet hasonlítani, az a számok abszolút értéke, arról lentebb.

3. A komplex számsík

Egy komplex számot két valós szám határoz meg, egy pontot a síkon szintén kettő. Ez a megfeleltetés a komplex számok legfontosabb képe: a $z=a+bi$ számhoz az $(a;\,b)$ pontot rendeljük. A vízszintes tengely a valós tengely, ezen ülnek a valós számok; a függőleges a képzetes tengely, ezen a tisztán képzetesek. Ezt a síkot komplex számsíknak vagy Gauss-féle számsíknak hívják.

z=a+bi\ \longleftrightarrow\ (a;\,b)\qquad\text{például}\quad 3+2i\leftrightarrow(3;\,2),\quad -2i\leftrightarrow(0;\,-2),\quad 4\leftrightarrow(4;\,0)

Ugyanezt a pontot érdemes az origóból oda mutató vektorként is nézni. Ez a két kép, pont és vektor, egymást egészíti ki: a következő leckében az összeadás vektorösszeadásnak bizonyul, a szorzás pedig forgatva nyújtásnak.

A számsíkon a most következő két fogalomnak is szemléletes jelentése van, és ez a két kép többet ér, mint a képletük:

a konjugált a szám tükörképe a valós tengelyre;
az abszolút érték a szám távolsága az origótól, vagyis a vektor hossza.

4. A konjugált

A $z=a+bi$ szám konjugáltja az a szám, amiben a képzetes rész előjelét megfordítjuk. Jele a szám fölé húzott vonal.

Konjugált

\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi

A számsíkon ez a valós tengelyre tükrözés: a valós rész marad, a képzetes előjelet vált. Néhány azonnali következmény:

$\overline{\overline{z}}=z$ : kétszer tükrözve visszakapjuk az eredetit;
$\overline{z}=z$ pontosan akkor, ha $z$ valós, hiszen csak a valós tengely pontjai a saját tükörképeik;
$z+\overline{z}=2a=2\operatorname{Re} z$ és $z-\overline{z}=2bi=2i\operatorname{Im} z$ .

A konjugált igazi haszna azonban egy szorzatban van. Ha egy számot a saját konjugáltjával szorzunk, az $i$ kiesik, és nemnegatív valós számot kapunk:

z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2=a^2+b^2

Ez ugyanaz a nevezetes azonosság, mint a valósaknál az $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ , csak itt a $-b^2i^2$ tag $+b^2$ -re fordul. Erre épül majd az osztás: egy komplex nevezőt a konjugáltjával bővítve valós nevezőt kapunk.

Konjugált és a szorzat

Legyen $z=3-4i$ . Ekkor $\overline{z}=3+4i$ , és

z\overline{z}=(3-4i)(3+4i)=9+12i-12i-16i^2=9+16=25

A $25$ nem véletlenül ismerős a $3,4,5$ számhármasból: a következő fejezetben kiderül, hogy $z\overline{z}$ pontosan az abszolút érték négyzete.

5. Az abszolút érték

A $z=a+bi$ szám abszolút értéke (más néven modulusa) a hozzá tartozó pont távolsága az origótól. A számsíkon ez egy derékszögű háromszög átfogója, aminek a befogói $a$ és $b$ , tehát Pitagorasz tételéből:

Abszolút érték

|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

Az előző fejezet szorzatával összevetve azonnal adódik a komplex számok egyik legtöbbet használt összefüggése:

z\cdot\overline{z}=|z|^2

Valós számra a definíció a megszokott abszolút értéket adja vissza: $|-3|=\sqrt{9+0}=3$ . Néhány példa egy táblázatban, hogy lásd együtt a fogalmakat:

z	Re z	Im z	Konjugált	\|z\|
$3+4i$	$3$	$4$	$3-4i$	$5$
$-1+i$	$-1$	$1$	$-1-i$	$\sqrt{2}$
$-2i$	$0$	$-2$	$2i$	$2$
$-7$	$-7$	$0$	$-7$	$7$
$i$	$0$	$1$	$-i$	$1$

Amit az abszolút értékről érdemes tudni:

$|z|\ge 0$ , és $|z|=0$ csak $z=0$ esetén;
$|\overline{z}|=|z|$ és $|-z|=|z|$ : sem a tengelyes, sem a középpontos tükrözés nem változtat a távolságon;
$|z_1-z_2|$ a két pont távolsága a számsíkon, ugyanúgy, ahogy a számegyenesen;
háromszög-egyenlőtlenség: $|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$ . Az összeg abszolút értéke általában nem az abszolút értékek összege.

Ponthalmazok a számsíkon

Mivel $|z-z_0|$ a $z$ és a $z_0$ pont távolsága, az abszolút értékkel felírt feltételek geometriai alakzatokat adnak:

$|z|=2$ : az origó középpontú, 2 sugarú körvonal;
$|z-i|\le 1$ : az $i$ (vagyis a $(0;\,1)$ pont) középpontú, 1 sugarú zárt körlap;
$|z-1|=|z+1|$ : azok a pontok, amik az $1$ -től és a $-1$ -től egyenlő távol vannak, vagyis a képzetes tengely.

6. Tipikus hibák

$i^2=1$ vagy $i^2=-i$ . Az egyetlen szabály az, hogy $i^2=-1$ . Minden számolás végén nézd át, hogy minden $i^2$ -et lecseréltél-e.
Gyökvonás szabályai negatív számokra. A $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ csak nemnegatív számokra igaz. Ha ezt negatív számokra alkalmazod, az jön ki, hogy $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-4}=\sqrt{16}=4$ , holott $2i\cdot 2i=-4$ . Negatív számból előbb emeld ki az $i$ -t, és utána számolj.
A képzetes részbe belevett $i$ . $\operatorname{Im}(3+5i)=5$ , nem $5i$ . A képzetes rész mindig valós szám.
Konjugált helyett ellentett. $\overline{3+4i}=3-4i$ , de $-(3+4i)=-3-4i$ . A konjugálásnál csak a képzetes rész előjele fordul.
Abszolút érték gyök nélkül. $|3+4i|$ nem $3+4=7$ és nem is $3^2+4^2=25$ , hanem $\sqrt{25}=5$ . A $25$ az $|z|^2=z\overline{z}$ .
$z^2$ és $z\overline{z}$ összekeverése. $(3+4i)^2=9+24i+16i^2=-7+24i$ , ami komplex; $(3+4i)(3-4i)=25$ , ami valós. A négyzet nem az abszolút érték négyzete.

A következő lecke, a műveletek komplex számokkal, az itt bevezetett fogalmakkal számol végig: összeadás, szorzás, és a konjugáltra épülő osztás.