Analízis 3

Skalár- és vektormezők: gradiens, divergencia, rotáció

A nabla három művelete: mit mér a gradiens, a divergencia és a rotáció, hogyan számoljuk ki őket, és melyik azonosságot érdemes fejből tudni.

12 perc olvasás

1. Skalármező és vektormező

A skalármező a tér minden pontjához egy számot rendel: hőmérséklet, nyomás, potenciál, $\varphi(x,y,z)$ . A vektormező minden ponthoz egy vektort: sebesség egy áramló folyadékban, gravitációs vagy elektromos térerősség, $\mathbf F(x,y,z)=\bigl(P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\bigr)$ . A vektoranalízis három deriválási művelete e két típus között közlekedik, és mindhárom a nabla szimbolikus vektorral írható fel. Ebben a leckében mindhármat egy-egy szemléletes képpel és egy egyszerű számolt példával mutatom be, mert a képletek magolása helyett az visz előre, ha tudod, mit mérnek.

A nabla-operátor

\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\right)

Művelet	Jelölés	Miből mit csinál
Gradiens	$\operatorname{grad}\varphi=\nabla\varphi$	skalármező → vektormező
Divergencia	$\operatorname{div}\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf F$	vektormező → skalármező
Rotáció	$\operatorname{rot}\mathbf F=\nabla\times\mathbf F$	vektormező → vektormező

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A gradiens

A gradiens a kétváltozós esetből már ismerős: a parciális deriváltak vektora, ami a leggyorsabb növekedés irányába mutat, hossza a legnagyobb iránymenti derivált, és merőleges a szintfelületekre, a $\varphi=\text{állandó}$ felületekre.

Gradiens

\operatorname{grad}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\ \frac{\partial\varphi}{\partial y},\ \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)

Egy egyszerű példa: lineáris mező

$\varphi=x+2y+3z$ . A három parciális derivált 1, 2 és 3, tehát $\operatorname{grad}\varphi=(1;2;3)$ minden pontban ugyanaz. A szintfelületek az $x+2y+3z=c$ párhuzamos síkok, és az $(1;2;3)$ pontosan ezek normálvektora: a gradiens tényleg merőleges a szintfelületre, és arra mutat, amerre a $\varphi$ a leggyorsabban nő.

Gömbszimmetrikus mező

$\varphi=x^2+y^2+z^2=r^2$ : $\operatorname{grad}\varphi=(2x;2y;2z)=2\mathbf r$ . A szintfelületek gömbök, és a gradiens sugárirányú, tehát merőleges rájuk; hossza $2r$ : minél messzebb vagyunk, annál meredekebb a mező.

3. A divergencia

A divergencia azt méri, hogy egy pontból mennyi „folyik ki”: ha egy kis térfogatból több távozik, mint amennyi bejön, ott forrás van ( $\operatorname{div}>0$ ), ha fordítva, nyelő. Ezért hívják forrássűrűségnek. Képlete a komponensek saját változójuk szerinti deriváltjainak összege:

Divergencia

\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

Két mező divergenciája

$\mathbf F=(x^2;\,xy;\,z)$ : $\operatorname{div}\mathbf F=2x+x+1=3x+1$ .
A helyvektor-mező $\mathbf r=(x;y;z)$ : $\operatorname{div}\mathbf r=1+1+1=3$ . Minden pont forrás: a tér „tágul”.
Egy forgó mező, $\mathbf F=(-y;\,x;\,0)$ : $\operatorname{div}\mathbf F=0+0+0=0$ . Forrásmentes: a folyadék kering, de sehol nem keletkezik.

4. A rotáció

A rotáció az örvénylést méri: ha egy kis lapátkereket a mezőbe teszünk, forog-e, és milyen tengely körül. Az eredmény vektor: iránya a forgástengely, hossza a forgás erőssége. Képlete egy formális determináns, a vektoriális szorzat mintájára:

Rotáció

\operatorname{rot}\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ P&Q&R\end{vmatrix}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)

Forgó és nem forgó mező

$\mathbf F=(-y;\,x;\,0)$ : az első két komponens nem függ $z$ -től, a harmadik nulla, csak az utolsó koordináta marad: $\operatorname{rot}\mathbf F=(0;\,0;\,1-(-1))=(0;\,0;\,2)$ . A mező a $z$ tengely körül forog, és a rotáció mindenhol ugyanaz: merev forgás.
$\mathbf F=(y;\,x;\,0)$ : $\operatorname{rot}\mathbf F=(0;\,0;\,1-1)=\mathbf 0$ . Ez a mező örvénymentes, hiába „ferde”: valóban a $\varphi=xy$ gradiense.

5. Nabla-azonosságok

Két azonosság van, amit minden vizsgán kérdeznek, és mindkettő a vegyes parciális deriváltak felcserélhetőségéből következik:

A két nulla

\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi)=\mathbf 0,\qquad \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf F)=0

Egy egyszerű példa: ellenőrizzük a korábbi mezőkön

A $\varphi=xy$ gradiense $(y;\,x;\,0)$ , aminek a rotációját fentebb kiszámoltuk: $\mathbf 0$ . Az első azonosság rendben. A forgó mező, $\mathbf F=(-y;\,x;\,0)$ rotációja $(0;\,0;\,2)$ , ennek a divergenciája $0+0+0=0$ . A második is rendben. Ha egy feladatban egy gradiensmező rotációjára nem nullát kapsz, biztosan elszámoltál valamit: ez a két azonosság a leggyorsabb önellenőrzés.

Szavakkal: gradiensmező sosem örvénylik, rotációmező sosem forrásos. A harmadik kombináció nem nulla, hanem egy új operátor:

\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=\Delta\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}

Ez a Laplace-operátor; a $\Delta\varphi=0$ egyenlet a potenciálelmélet és a parciális differenciálegyenletek alapegyenlete. Szorzatokra is vannak szabályok, például $\operatorname{div}(\varphi\mathbf F)=\operatorname{grad}\varphi\cdot\mathbf F+\varphi\operatorname{div}\mathbf F$ .

Rotáció nulla: mikor van potenciál?

Az első azonosság megfordítása is igaz egyszeresen összefüggő tartományon (nincs benne lyuk): ha $\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$ , akkor van olyan $\varphi$ , hogy $\mathbf F=\operatorname{grad}\varphi$ . Az ilyen mező konzervatív, a $\varphi$ a potenciálja, és a munkája útfüggetlen; ezt a vonalintegrálnál használjuk ki.

6. Tipikus hibák

Divergencia mint vektor, rotáció mint szám. A divergencia skalár, a rotáció vektor; a gradiens vektor. A típus a legelső ellenőrzés.
Rossz változó szerinti derivált a divergenciában. Az $P$ -t $x$ , a $Q$ -t $y$ , az $R$ -t $z$ szerint; a keresztderiváltak a rotációba mennek.
Előjel a rotáció második komponensében. A determináns kifejtésénél a középső tag negatív: $P_z-R_x$ , nem $R_x-P_z$ .
$\operatorname{rot}\mathbf F=\mathbf 0$ automatikusan potenciált jelent. Csak egyszeresen összefüggő tartományon; az örvénymező $\frac{(-y;\,x;\,0)}{x^2+y^2}$ rotációja nulla, mégsincs potenciálja a $z$ tengely körül.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció