Gazdasági matematika

Határköltség, határbevétel és rugalmasság

Mit jelent a derivált a közgazdaságtanban: határköltség és határbevétel, profitmaximum, az átlagköltség minimuma és a kereslet árrugalmassága.

13 perc olvasás

1. A „határ-” fogalmak: a derivált közgazdasági neve

A közgazdaságtanban a derivált neve határ- valami: a határköltség a költségfüggvény deriváltja, és azt mondja meg, körülbelül mennyibe kerül még egy egység előállítása. A „körülbelül” a derivált lineáris közelítése: $C(q+1)-C(q)\approx C'(q)$ . Ebben a leckében azt szeretném megmutatni Neked, hogy a közgazdaságtan „határ-” fogalmai mögött semmi új nincs: ugyanaz a derivált, amit az analízisben tanultál, csak más néven. Az alábbi táblázatba a szótárat szedtem össze:

Függvény	Jelölés	Deriváltja
összköltség	$C(q)$	határköltség $MC=C'(q)$
bevétel	$R(q)=p\cdot q$	határbevétel $MR=R'(q)$
profit	$\pi(q)=R(q)-C(q)$	határprofit $\pi'=MR-MC$
hasznosság	$U(x)$	határhaszon $MU=U'(x)$

Egy egyszerű példa: mit jelent a határköltség

Legyen $C(q)=q^2+10q+100$ . A tizedik egység után a következő tényleges költsége $C(11)-C(10)=331-300=31$ . A határköltség $MC(q)=2q+10$ , a 10-nél $MC(10)=30$ . A kettő majdnem egyezik; a derivált a „még egy egység” költségét adja meg, csak simán, nem lépcsőnként. A 100-as tag (fix költség) a deriváltból eltűnt: a határköltséget nem érdekli, mennyibe került a csarnok, csak az, mennyibe kerül a következő darab.

A profit ott maximális, ahol a deriváltja nulla: a határbevétel egyenlő a határköltséggel. Amíg $MR>MC$ , még egy egység többet hoz, mint amibe kerül, érdemes többet termelni; ha $MR<MC$ , már ráfizetés.

Profitmaximum feltétele

\pi'(q)=0\iff MR(q)=MC(q),\qquad \pi''(q)<0

Versenyző vállalat rögzített áron

$C(q)=q^2+10q+100$ , az ár $p=70$ . Mennyit termeljen a cég?

$R=70q$ , $MR=70$ ; $MC=2q+10$ .
$MR=MC$ : $70=2q+10$ , $q=30$ . $\pi''=-2<0$ : maximum.
A profit: $\pi(30)=2100-(900+300+100)=800$ .

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az átlagköltség minimuma

Az átlagköltség az egy egységre jutó költség, $AC(q)=\frac{C(q)}{q}$ . A minimumát a hányadosszabállyal keressük, és egy szép szabály jön ki:

AC'(q)=\frac{C'(q)\,q-C(q)}{q^2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad C'(q)=\frac{C(q)}{q}\quad\Longleftrightarrow\quad MC=AC

Az átlagköltség ott minimális, ahol a határköltség görbéje metszi: amíg a következő egység olcsóbb az átlagnál, lehúzza az átlagot, utána felhúzza. Ugyanez az elv, mint egy osztályátlagé egy új jegy után.

Ugyanaz a költségfüggvény

$AC=q+10+\dfrac{100}{q}$ , $AC'=1-\dfrac{100}{q^2}=0$ , tehát $q=10$ . Ott $AC=30$ , és $MC(10)=30$ is. Rendben. (A profitmaximum $q=30$ -nál volt: a két optimum különböző kérdésre válaszol.)

3. Rugalmasság

A derivált mértékegységfüggő: „ha az ár 1 forinttal nő, a kereslet 2 darabbal csökken” mást jelent kenyérnél és autónál. A rugalmasság ezt százalékokkal küszöböli ki: hány százalékkal változik a mennyiség, ha az ár 1%-kal nő.

A kereslet árrugalmassága

\varepsilon=\frac{dQ/Q}{dP/P}=Q'(P)\cdot\frac{P}{Q(P)}

Egy egyszerű példa: ugyanaz a derivált, más rugalmasság

Legyen $Q(P)=100-2P$ , tehát $Q'(P)=-2$ minden árnál. Az $P=10$ árnál $Q=80$ , és $\varepsilon=-2\cdot\frac{10}{80}=-0{,}25$ : 1% áremelés csak 0,25% keresletcsökkenést okoz, rugalmatlan. Az $P=40$ árnál $Q=20$ , és $\varepsilon=-2\cdot\frac{40}{20}=-4$ : 1% áremelés 4% csökkenést, rugalmas. A derivált ugyanaz a $-2$ volt; a rugalmasság azt mondja meg, hogy ez a 2 darab az adott árnál és mennyiségnél soknak vagy kevésnek számít-e.

\|ε\|	Elnevezés	Ha az ár nő, a bevétel
$>1$	rugalmas	csökken
$=1$	egységnyi rugalmasságú	nem változik (maximális)
$<1$	rugalmatlan	nő

Lineáris kereslet

$Q(P)=100-2P$ .

$P=20$ : $Q=60$ , $\varepsilon=-2\cdot\frac{20}{60}=-\frac23$ , rugalmatlan: itt az áremelés növeli a bevételt.
$P=40$ : $Q=20$ , $\varepsilon=-2\cdot\frac{40}{20}=-4$ , rugalmas: az áremelés csökkenti a bevételt.
A bevétel $R(P)=P(100-2P)$ , $R'=100-4P=0$ , $P=25$ . Ott $Q=50$ és $\varepsilon=-2\cdot\frac{25}{50}=-1$ : a bevételmaximum pont az egységnyi rugalmasságnál van, ahogy a táblázat mondja.

Rugalmasság mint logaritmikus derivált

$\varepsilon=\dfrac{d\ln Q}{d\ln P}$ : a rugalmasság a log–log skálán mért meredekség. Ezért a $Q=aP^{-b}$ alakú keresletnek állandó a rugalmassága, $-b$ , és ezért adja a Cobb–Douglas-függvény kitevője a rugalmasságot (lásd a többváltozós alkalmazásoknál).

4. Monopólium: amikor az ár a mennyiségtől függ

Ha a cég egyedül van a piacon, az ár nem adott: a keresleti görbe, $P(q)$ , mondja meg, milyen áron lehet $q$ darabot eladni. A bevétel $R=P(q)\,q$ , és a határbevétel szorzatszabállyal:

MR=P(q)+P'(q)\,q<P(q)\qquad(\text{mert } P'<0)

A határbevétel kisebb az árnál: a plusz egység eladásához az összes korábbi egység árát is le kell vinni.

Monopólium optimuma

$P(q)=100-q$ , $C(q)=q^2+10q+100$ .

$R=100q-q^2$ , $MR=100-2q$ ; $MC=2q+10$ .
$100-2q=2q+10$ , $q=22{,}5$ , az ár $P=77{,}5$ .
Profit: $77{,}5\cdot22{,}5-(22{,}5^2+225+100)=1743{,}75-831{,}25=912{,}5$ . Kevesebbet termel drágábban, mint a versenyző cég tenné.

5. Tipikus hibák

Határköltség és átlagköltség keverése. Az $MC$ derivált, az $AC$ hányados; a profitmaximumhoz az előbbi kell.
Rugalmasság mint meredekség. A $Q'(P)$ önmagában nem rugalmasság; szorozni kell $\frac PQ$ -val, és az eredmény pontról pontra változik.
Az előjel elhagyása. A kereslet rugalmassága negatív; a „rugalmas” az abszolút értékre vonatkozik. Sok könyv az abszolút értéket nevezi rugalmasságnak: mindig nézd meg a konvenciót.
Monopóliumnál $MR=P$ . Csak rögzített árnál igaz; ha az ár a mennyiségtől függ, a szorzatszabály kell.
Második derivált nélkül. Az $MR=MC$ lehet profitminimum is; a $\pi''<0$ ellenőrzés hozzátartozik.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció